湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期第一学月阶段测试（2月）数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期第一学月阶段测试（2月）数学试卷（原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
命题：高二数学备课组 审定：高二数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
4. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A. 36种B. 48种C. 96种D. 108种
5. 在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数，若在区间上是单调函数，且，则的值为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知双曲线左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的面积是15D. 若，则外接圆半径是
11. 定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 的值是19
C. 函数有三个零点
D. 过只可以作两条直线与图象相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中，所有项的系数和为______．
13. 已知圆与圆交于两点，且平分圆周长，则的值为______．
14. 为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
（1）求；
（2）求．
16. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.
（1）试确定点位置，使得平面；
（2）求点到平面距离的最大值.
17. 设是等差数列，是等比数列，公比大于．已知．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，若，求．
18. 已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.
（1）求点轨迹的方程；
（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.
19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．