湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测试数学试卷（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，设等差数列的前项和为，若，，则，在的展开式中，常数项为，阳春三月，草长莺飞，下列四个命题中，正确的为等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分 命题：彭琼洋 审题：杨果
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．复数满足（为虚数单位），在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
3．设随机变量的分布列为，，2，3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某品牌客车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：
若与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为（ ）
A．7.55千元B．8.7千元C．9.7千元D．10.25千元
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．34B．35C．36D．38
6．在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．15D．16
7．阳春三月，草长莺飞．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们列队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2名男宝不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有（ ）
A．144种B．216种C．288种D．432种
8．在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数，对正整数、、，把记作，并规定，．则的数量级为（ ）
参考数据：，．
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。部分选对的得部分分，选错的得0分。
9．在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ）
A．B．越大，则越大
C．D．
10．下列四个命题中，正确的为（ ）
A．甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．
B．相关系数，表明两个变量的相关程度较弱．
C．若由一个列联表中的数据计算得的值约为7.103，那么有的把握认为两个变量有关．
D．用最小二乘法求出一组数据，（，…，）的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，（，…）的残差是指．
11．已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象
B．与的图象关于直线对称
C．与有相同的最大值
D．当时，与都在区间上单调递增
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线：的倾斜角为，则________．
13．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则________．
14．已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有7个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（，2，3），则的最大值与最小值的和为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在中，角、、的对边分别为、、．
（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；
（2）若，，求的取值范围．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）点在棱上，设，若二面角的余弦值为，求的值．
17．（本小题满分15分）
华为Mate60Pr的问世，代表了华为在智能手机技术领域的最新成果，展示了其在通信技术、人工智能、摄像头技术等方面的创新能力，带动了上下游产业链的发展，推动自主创新方面的决策和能力．华为下游的某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数的分布列；
（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将获得华为集团给予该企业一定的资金援助，否则将没有资金援助．请问该企业能否拿到资金援助？请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求异面直线和所成角的余弦值；
②是否存在，使折叠后的周长为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，证明：；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．
长沙市明德中学高二3月阶段测试
数学试卷
满分：150分；时间：120分钟；命题：彭琼洋；审题：杨果
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
6．【答案】B
解：的二项展开式的通项公式为，
当，2时，可得的展开式中，常数项为．
7．【答案】C
解：第一步：先将3名母亲全排，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将捆绑在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法．
不同的排法种数有：种．
8．【答案】C
解：因为，
则，
同理可得，
因为，则，则，
所以，，
因为，即，
即，即的数量级为．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．【答案】AC
解：因为，所以，A正确；
当时，，当时，，B不正确；
因为，所以，C正确；
根据正态曲线的对称性，D不正确．
故选AC．
10．【答案】CD
解：A由甲的数据可知它的中位数为45，乙的中位数为，故A错误；
B相关系数时，两个变量的相关程度较强，故B错误；
C由于的值约为7.103，在6.635与7.879之间，故有的把握认为两个变量有关，故C正确；
D用最小二乘法求出一组数据，（，…，）的回归直线方程后要进行残差分析，
相应于数据，（，…，）的残差是指，故D正确．
11．【答案】AC
解：对于A，，
将图象上所有的点向右平移个单位长度可得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，时，，其中，
最大值为，
，其中，
最大值为，
时，，
，
时，，
，
综上所述，与有相同的最大值，故C选项正确；
对于D，当时，，，
当，两函数在区间上单调递增，
当，两函数在区间上单调递减，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
解：，
，
13．18
依题意，，
则．
14．132
解：集合，由集合，，满足①每个集合都恰有7个元素；②可知最小的三个数为1，2，3，21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时最小值为12；则的最小值为．
同理可知最大的三个数为21，20，19；
含有21集合中的元素，有21，18，17，16，15，14，13；这样特征数最大，为34；
含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；
含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；
则的最大值为，
所以的最大值与最小值的和为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
解：（1）在中，，
，又为锐角，则，
由余弦定理得，即，解得（负值舍去），
；
（2）方法一：在中，，，
由正弦定理得，
则，
，，
，
．
方法二：在中，，，
由余弦定理可得，即，
，
又由两边之和大于第三边可得，
16．（本小题15分）
解：（1）取中点，连接，，
，，四边形为平行四边形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，，平面，
平面．
（2）取中点，连接，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，，正方向为，轴正方向，作轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
，
设平面的法向量，
则，令，
解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
解得：，满足，．
17．（本小题15分）
解：（1）设计算机4次生成的数字之和为，则，
则，，
的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为
（2）设表示事件“第天该企业产品检测选择的是智能检测”，
表示事件“第天该企业产品检测选择的是智能检测”，
由全概率公式可知
，
则，，即，，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以恒成立，
所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到资金援助．
18．（本小题17分）
解：（1）因为的周长为8，离心率为，
所以，，，，
所以椭圆的方程为
（2）①由直线：与联立求得，
（因为点在轴上方）以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
记异面直线和所成角为，则；
②设，在新图形中对应点记为，，由，，故，
设折叠前，．直线方程为，
直线与椭圆联立方程，得，
，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系；
，，
，
（i）
即，
所以（ii）
由（i）（ii）可得，
，
．
，
，，
解得，，所以
19．（本小题17分）
解：（I）证明：当时，，
要证，即证，
设，，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即成立，
所以成立；
（II），
因为对任意的，在上单调递减，
所以恒成立，即，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，又因为，，
所以，使得，即，
当时，，可得，所以在上单调递减；
当时，，可得，
所以在上单调递增，
所以，
由，可得，
令，则，
又由，所以在上单调递增，
所以，可得，所以，即，
所以，即得．使用年限（年）
2
3
4
5
6
维护费用千元
2
2.5
4.5
5
6.5
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
B
D
C
C
题号
9
10
11
答案
AC
CD
AC
1
2
3