湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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2025 年 4 月
时量：120 分钟 满分 150 命题：李瑞林 审定：王定希
一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，每个小题只有一个正确答案）
1. 已知 为虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
2. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【详解】对于 A， ，是反比例函数，是奇函数又在区间 上单调递减，不符合题意；
对于 B， ，是幂函数，既是奇函数又在区间 上单调递增，符合题意；
对于 C， ，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于 D， ，其定义域为 ，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：B．
3. 等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
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A. 21 B. 28 C. 36 D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出公比，得到 ，进而求出答案.
【详解】设 公比为 ，
则 ，所以 ，
所以 .
故选：A
4. 圆心为 且与抛物线 的准线相切的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得准线方程以及圆心到准线的距离，即可求得圆的方程.
【详解】易知抛物线 的准线方程为 ；
圆心 到准线 的距离为 ，所以该圆的半径为 3；
所以圆的方程为 .
故选：D
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
B. 若事件 相互独立， ，则 ；
C. 对具有线性相关关系的变量 ，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 ，若样本点的中
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心为 ，则实数 的值是 ；
D. 若决定系数 越大，则两个变量的相关性越强.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态曲线可判断 A 选项；利用并事件的公式计算判断 B 选项；利用经验回归方程过样本中心
点计算 C 选项；根据决定系数 的意义判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项， 随机变量 服从正态分布 ， 均值 ，
正态曲线的对称轴为 ，
， ，
由对称性知， ， ，故 A 正确；
对于 B 选项，若事件 相互独立，
则 ，故 B 错误；
对于 C 选项，经验回归方程过样本中心点，将 代入 中得，
，解得 ，故 C 正确；
对于 D 选项，决定系数 越大，回归模型的拟合效果越好，两个变量的相关性越强，故 D 正确.
故选：B.
6. 已知双曲线 若直线 与 没有公共点，则 的离心率的范围为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线与直线 的位置关系即可得解.
【详解】双曲线 渐近线 ，
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双曲线与直线 没有公共点，则 .
又因为双曲线离心率大于 1，所以 C 选项符合题意.
故选：C
7. 在 中 ， ， ， 点 M 为 所 在 平 面 内 一 点 且 ， 则
的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以 所在直线为 轴，以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系，设出点 的坐标，写出各个
点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.
【详解】在三角形 中，由余弦定理 ，故 为钝角；
又 ，故 点在三角形 底边 的高线上，
则以 所在直线为 轴，以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系如下所示：
又 ，则 ，
故 ， ；
则 ，设 ，
，
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故 ，当且仅当 时取得等号；
也即 的最小值为 .
故选：C.
8. 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数分析函数单调性，再判断函数的对称性，可得原不等式转化为 ，
利用单调性解不等式即可.
【详解】 的定义域为 ，
，所以 ，
所以 的图象关于 对称，
由 ，所以 ，
即 ，
由于 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
故选：A
二、多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，每小题有多项符合题目要求，全部选
对得 6 分.选错得 0 分，部分选对得部分分）
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 且 ，则
C. 不等式 对一切实数 恒成立，则
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D. “ ”是“ ”的一个必要不充分条件
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A 选项，通过给 代入特殊值即可判断；对于 B 选项，利用不等式的可乘性，可加性证明
即可判断；对于 C 选项，要对二次项系数 要分 两种情况讨论，即可判断，对于 D 选项，先解
出不等式 ，再按照必要不充分条件的定义即可判断.
【详解】对于 A 选项，当 时， ，
故 A 错误，是假命题；
对于 B 选项，若 且 ，则 ，
所以 ，即 ，
不等式的两边同时除以 ，可得 ，
故 B 正确，是真命题；
对于 C 选项，不等式 对一切实数 恒成立，
①当 时，原不等式可化为 ，恒成立，
②当 时，须满足 ，解得 ，
综上①②可知 ，故 C 错误，是假命题；
对于 D 选项，解不等式 可得 ，
由 ，但是由 不一定能推出 ，
所以 是 的一个必要不充分条件，
即“ ”是“ ”的一个必要不充分条件，
故 D 正确，是真命题；
故选：AC
10. 已知 中，角 所对的边分别为 ， 的面积记为 ，若
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，则（ ）
A.
B. 的外接圆周长为
C. 的最大值为
D. 若 为线段 的中点，且 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，根据正弦定理将 变形，再结合三角形中 ，
可得 ，再结合角 的范围，即可求出角 ；
对于 B，先由正弦定理求出 ，再根据圆的周长公式计算即可判断；
对于 C，先由余弦定理求出 的最大值，再根据三角形的面积公式计算即可判断；
对于 D，分析出当 时三角形恰好为等边三角形，再求出等边三角形的中线长即可判断.
【详解】对于 A，因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，
又因为在 中， ，
所以可得 ，因为 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，由正弦定理可知 ，
所以外接圆的周长为 ，故 B 错误；
对于 C，因为 ， ，所以在 中
由余弦定理可知 ，
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即 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，
的最大值为 ，故 C 正确；
对于 D，由选项 C 可知，当 时， 必为等边三角形，
此时中线 ，故 D 错误.
故选：AC
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点，点 满足
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 平面
B. 若 平面 ，则动点 的轨迹长度为
C. 若 ，则四面体 的体积为定值
D. 若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，运用反证法，假设结论成立，经过推理得到 平面 ，与事实矛盾，排除 A；
对于 B，利用动线构造平面 与平面 平行，即可判断点 的轨迹为线段 ；对于 C，由
推理得到 三点共线，而 平面 ，故得四面体 的体积为定值；对于 D，
根据题意，确定三棱锥 外接球球心为 中点 ，从而求得其半径，即得其体积.
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【详解】
对于 A，如图 1，假设 平面 ，因 平面 则 ；
四边形 是正方形， ，
又 平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
由 ， 可得 平面 ，
显然该结论不成立，故 A 错误；
对于 B，如图 2，取 ， 的中点 ， 连接 ， ， ，
，且 ，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， ， ，
四边形 是平行四边形， ，
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， 分别是 ， 的中点， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ，
平面 ， 点 在平面 内，
点 又在平面 内， 点 的轨迹为线段 ，
， ，故 B 正确；
对于 C，如图 2， ， ，
又 ， ， ，
， ， 三点共线，
点 在 上， 平面 ，
点 到平面 的距离为定值，
又 的面积为定值，
四面体 的体积为定值，故 C 正确；
对于 D：如图 3， 为正方形 的中心， ，
的外心为 的中点，又 ，
的外心为 中点 ，
又 平面 平面 ， 点 即为三棱锥 的外接球的球心，
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其半径 ，
此外接球的体积 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分）
12. 在 的展开式中，常数项为__________.
【答案】672
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果.
【详解】由题意得 ，
令 ，解得 ，故常数项为 .
故答案为：
13. 已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】变形后用余弦二倍角公式进行求解.
【详解】 .
故答案为：
14. 高斯取整函数 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如， ， ．有如下
四个结论：
①若 ，则 ；
②函数 与函数 无公共点；
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③ ；
④所有满足 的点 组成区域的面积为 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据 的取值范围，分别求出 ， 的值，判断①；作出函数 与
函数 的图像，即可判断②；对 的取值分类讨论，即可判断③；对 的取值分类讨论，求出
点 组成区域的面积，判断④．
【详解】对于①：若 ，则 ，则 ，
，
即 ，故①正确；
对于②：函数 与函数 的图象如图所示，
由图可得函数 与函数 无公共点，故②正确；
对于③：当 时， ，
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当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，故③错误；
对于④：当 时， ，此时 组成区域的面积为 1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为 1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为 1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为
，
综上点 组成区域的面积为 ，故④正确．
故答案为：①②④.
四、解答题（本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查 200 人购买情况，得到如下列表：
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新能源汽车 款 新能源汽车 款 总计
男性 100 20
女性 50 30 80
总计 50 200
（1）求 ；
（2）根据小概率值 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取
4 人，设被抽取的 4 人中购买了 款车的人数为 ，求 的数学期望.
附： .
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）
（2）可以认为选购车的款式与性别有关
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据列联表的数据直接求解即可；
（2）先零假设，然后计算 ，再进行独立性检验即可；
（3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可.
【小问 1 详解】
， ；
【小问 2 详解】
零假设为 ：选购新能源汽车的款式与性别无关联，
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根据列联表中的数据，可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 ；
【小问 3 详解】
随机抽取 1 人购买 款车的概率为： ，
的可能取值有 0，1，2，3，4，依题意 服从 ， ，
因此， .
16. 如图，已知四边形 为等腰梯形， 为以 为直径的半圆弧上一点，平面 平面 ，
为 的中点， 为 的中点， ， .
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，先证四边形 为平行四边形，然后由线线平行可得
线面平行；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据已知可得 平面 ，过点 作直线 的垂线交 于点
，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ，则 且 ，
又 且 ，所以 且 ，
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所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作直线 的垂线交 于点 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 为直径，所以 ，
所以 ， ， ，
在等腰梯形 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
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所以 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17. 已知函数 .
（1）当 时，求 的极小值；
（2）若 存在唯一极值点 ，证明： .
【答案】（1）极小值 .
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后分析单调性可得；
（2）方法一，求导后利用函数有唯一极值点确定 的关系，再构造函数 利用导数分析单调性即可；
方法二，以前步骤同方法一，然后分 ， ， 三种情况结合二次函数的性质分析函数
的单调性和极值，当 时再构造函数 求导分析单调性.
【小问 1 详解】
的定义域为 .
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当 时， ， .
令 得， 或 .
当 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取极小值 .
【小问 2 详解】
方法一： ， .
当 时， 与 同号.
因为 的图象关于 对称，又 存在唯一极值点 ，
如图可得 ，所以 ，
所以 ，故 .
将 代入得
，
构造 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以
方法二：以前步骤同方法一.
易知 在 单调递减，在 单调递增.
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（i）当 时， ， 在 单调递增，
函数 无极值点.
（ii）当 时，令 可得 ， .
由于 ，故 在区间 单调递增， 单调递减， 单调递增，从而有
两个极值点，不合题意.
（iii）当 时， ，故 在区间 单调递减， 单调递增，恰有唯一极值
点 ，符合题意.
所以 .
设 ， ， ，
所以 在 单调递减， ，
故 .
18. 已知椭圆 的短轴长为 2，且过点 ，设点 为椭圆在第一象限内
一点．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为 A，下顶点为 ，线段 交 轴于点 ，线段 交 轴于点 ，若 的面
积是 的 6 倍，求 点的坐标；
（3）点 关于原点的对称点为 ，点 ，点 为 中点， 的延长线交椭圆于点 S，当 最
大时，求直线 方程．
【答案】（1）
（2） 或
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组求出 得解；
（2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于 点的坐标的方程，求解即可；
（3）利用直线 斜率之积为常数，转化为 斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本
不等式求解即可．
【小问 1 详解】
由题意， ，则 ，
椭圆方程为：
【小问 2 详解】
如图，
设 ，则 ，
对 ，令 ，
所以由相似三角形可得： ，
所以 ，
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又因为 ，所以 ， ，
解得 或 ，所以对应的 分别为 或 ，
所以 或 ．
【小问 3 详解】
设 ，
则 ，
则 ．
又因为 ，
所以 ，则 ，
设 ，直线 倾斜角为 ，直线 倾斜角为 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，此时 ，
所以 直线方程为 ．
【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于 点的坐标的方程，求解即可；
第三问关键是将 最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题.
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19. 设 ，已知无穷数列 的各项均为正整数，且 ，记数列 的前 n 项所构成的集合为
，对于任意正整数 n，从集合 中任取不同的若干项(取出的项数大于等于 1，如果项
数是 1，运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集
合为 ，且 ，则称数列 为完美数列.
（1）分别判断数列 和 是否为完美数列，不需要说明理由;
（2）若等差数列 是完美数列，求 公差的所有可能取值;
（3）若从集合 中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且 为完美
数列.证明：
【答案】（1） 是完美数列，而 不是
（2）1 和 2； （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据完美数列的定义进行判断.
（2）根据等差数列的知识、完美数列的定义进行分析，从而求得 公差的所有可能取值.
（3）先求得 ，然后利用 以及放缩法来求得正确答案.
小问 1 详解】
数列 是完美数列，而 不是完美数列；
， ， ，
则 ，集合 的元素是 到 间的正整数，
可以从集合 中任取不同的若干项，
进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成，
所以 完美数列.
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， ， ，
当 时， ，
从集合 中任取不同的若干项，
进行加法或减法运算得不到 ，
所以 不是完美数列.
【小问 2 详解】
设 的公差 ，考虑 ，则 ， ，而 ，不符合题意
.由（1）可知数列 是完美数列，故 的公差可能是
又数列 是完美数列，故 的公差可能是 2；
因为 ， ， ， ，
故 中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合 ，
假设 中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合 ，
若 ，则当 时，
，
且 若 ，
则 若 ，
则 中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
可以得到 ，
则 N 可由 中若干项之间进行加法或减法运算后,
得到故 中若干项之间进行加法或减法运算后,
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所得的数的绝对值能够构成集合 ，
结论得证.
故 的公差可能是 1 和 2；
【小问 3 详解】
记 ，由题意知，集合 按上述规则，
总共会产生 个正整数;而集合 ，
按上述规则产生的 个正整数中，除 1，2， ， 这 个正整数外，
还有 ， ， ，
共 个数.所以
因为 ，所以
又因为当 时，
而 也满足
所以
因此 .
【点睛】思路点睛：
小问 1：遇到判断数列是否为完美数列的问题，直接依据定义，分别计算数列的 和 ，然后判断 中
的元素能否由 中元素经过规定运算得到.
小问 2：对于等差数列与完美数列结合的问题，先从公差的取值范围入手进行分析，再结合已知的完美数
列实例确定可能的公差值，最后通过数学归纳法进行证明.
小问 3：处理数列和不等式的问题，先根据条件找出数列的递推关系，求出通项公式，再对数列和进行放
缩，利用相关公式证明不等式.
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