2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，若(1−i)(2+ai)是纯虚数，则实数a=( )
A. −4B. −2C. 1D. 2
2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=1xB. f(x)=x3C. f(x)=lg2|x|D. f(x)= x
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4=3，a2+a5=6，则S6=( )
A. 27B. 24C. 21D. 18
4.圆心为(2, 3)且与抛物线y2=4x的准线相切的圆的方程是( )
A. (x+2)2+(y+ 3)2=16B. (x+2)2+(y+ 3)2=9
C. (x−2)2+(y− 3)2=16D. (x−2)2+(y− 3)2=9
5.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量X服从正态分布X～N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(30)若直线3x+4y=0与C没有公共点，则C的离心率的范围为( )
A. (1, 54)B. (0, 54)C. (1, 54]D. [54,+∞)
7.在△ABC中，CA=CB= 5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅BC=0，则AM⋅CM的最小值为( )
A. 0B. −1625C. −45D. −165
8.已知函数f(x)=ex−4−e4−x+x，则满足f(2m−2)+f(m+1)>8的m的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. (12,+∞)C. (−∞,13)D. (−∞,7)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是( )
A. 若a>b，则1ab>0且c>0，则ab>a+cb+c
C. 不等式kx2+kx−1−1时，f′(x)与g(x)=2x2+2x+a同号．
因为g(x)=2x2+2x+a的图象关于x=−12对称，又f(x)存在唯一极值点x0，
如图可得g(−1)≤0，所以a≤0，
所以g(0)≤0，故x0≥0．
将a=−(2x02+2x0)代入得：
f(x0)+x02=2x02+aln(x0+1)=2x0[x0−(x0+1)ln(x0+1)]．
构造ℎ(x)=x−(x+1)ln(x+1)，x∈[0,+∞)，
则ℎ′(x)=−ln(x+1)≤0，
所以ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即x0−(x0+1)ln(x0+1)≤0，
所以f(x0)+x02≤0．
18.解：(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的短轴长为2，且过点(1, 32)，
所以b=1,1a2+34=1，所以a=2，
因此椭圆方程为：x24+y2=1．
(2)如图，

设P(x0,y0)，那么PA：y=y0x0+2(x+2),PB：y=y0+1x0x−1，
对y=y0+1x0x−1，令y=0⇒xD=x0y0+1，
S△PABS△PCD=12|PA|×|PB|sin∠APB12|PC|×|PD|sin∠APB=|PA|×|PB||PC|×|PD|，
因此根据相似三角形性质可得：S△PCDS△PAB=x0x0+2x0−x0y0+1x0=16，
因此x0=2y0+15y0−1，
又由于x024+y02=1，因此(y0+15y0−1)2+y02=1，y0>0，
解得y0=45或y0=35，因此对应的x0分别为x0=65或x0=85，
因此P(85,35)或(65,45)．
(3)设S(m,n)，
那么kPS=n−y0m−x0,kQS=n+y0m+x0，
那么kPS⋅kQS=n2−y02m2−x02=n2−(1−x024)4−4n2−x02=−14．
又由于kQS=y02+y0x0−(−x0)=34y0x0=34kPQ，
因此kPQ⋅kPS=−13，那么kPS=−13kPQ，
设k=y0x0>0，直线PQ倾斜角为β，直线PS倾斜角为α，
因此∠QPS=α−β，
那么tan∠QPS=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−32(k+13k)≤−32×2 3=− 3，
由于∠QPS=α−β∈(π2,π)，因此∠QPS≤2π3，此时k= 33，
因此QP：y= 33x．
19.解：(1)数列an=n是完美数列，而bn=n2不是完美数列；
(2)设{an}的公差d≥3，考虑A2={a1,a2}，则2>a1=1，22，不符合题意．
由(1)可知数列an=n是完美数列，故an的公差可能是1．
又数列an=2n−1是完美数列，故an的公差可能是2；
因为1=a1，2=a2−a1，3=a2，4=a1+a2，
故A 2={a1,a2}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合B2={1,2,3,4}，
假设An={a1,a2,⋯,an}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合Bn={1,2,⋯,a1+a2+⋯+an}，
若1+a1+a2+…+an≤N≤a1+a2+…+an+1，
则当n≥2时，N−an+1≥1+a1+a2+⋯+an−an+1=1+n2−(2n+1)=n(n−2)≥0，
且N−an+1≤a1+a2+⋯+an.若N−an+1=0，
则N=an+1；若1≤N−an+1≤a1+a2+⋯+an，
则An={a1,a2,⋯,an}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
可以得到N−an+1，
则N可由An+1={a1,a2,⋯,an+1}中若干项之间进行加法或减法运算后，
得到故A n+1={a1,a2,⋯,an+1}中若干项之间进行加法或减法运算后，
所得的数的绝对值能够构成集合Bn+1={1,2,⋯,a1+a2+⋯+an}结论得证．
故{an}的公差可能是1和2．
(3)证明：记Sn=a1+a2+⋯+an，由题意知，集合{a1,a2,⋯,an}按上述规则，
总共会产生Sn个正整数；而集合{a1,a2,⋯,an,an+1}，
按上述规则产生的Sn+1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，
还有an+1，an+i+i，|an+1−i|(i=1,2,⋯,Sn)共2Sn+1个数．
所以Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1．
因为Sn+1+12=3(Sn+12)，所以Sn+1=(S1+12)×3n−12=12×3n+1−12．
又因为当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(12×3n−12)−(12×3n−1−12)=3n−1．
而a1=1也满足an=3n−1．
所以an=3n−1(n≥1)．
因此k=1n1ak+1=k=1n13n−1+1=12+k=2n13n−1+1