湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期2月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期2月阶段检测数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期2月阶段检测数学试题原卷版docx、湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期2月阶段检测数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
2025 年 2 月
时量：120 分钟 满分：150 分 命题：高一数学备课组
二､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解.
【详解】因为 ，即小于 3 的元素符合题意， ，符合题意，A、C 错误，B 正确；对
于 D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故 D 错.
故选：B
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将特称命题否定为全称命题即可.
【详解】特称命题的否定为存在命题，存在变任意，范围不变，结论变相反.
则命题“ ， ”的否定是
“ ， .”
故选：C.
3 已知 ，则 （ ）
第 1页/共 16页
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整体代换法诱导公式化简计算即得.
【详解】由 ，则 .
故选：A.
4. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】 ， ， ，
所以 .
故选：C
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数 奇偶性，结合 时函数变化趋势，及排除法确定函数大致图象.
【详解】由 ，且定义域为 R，故 为奇函数，排除 B、D；
时， 都趋向于 ，且 增长快于 ，所以 趋向于 0，排除 C.
故选：A
第 2页/共 16页
6. 将函数 图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】先根据平移得出 ，再应用函数是奇函数得出 进而求
出最小值即可.
【分析】根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：B
7. 已知函数 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即 a 的范围是 .
故选：B.
8. 已知函数 ，且 ，则实数 a 的取值范围为（ ）
第 3页/共 16页
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数 ，则 ，然后判断函数 的单调性及奇偶性，结合
单调性及奇偶性可求.
【详解】解：令 ，则 ，
因为 ， ，
∴ 为奇函数，
又因为 ，由复合函数单调性知 为 的增函数，
∵ ，则 ，
∴ ，
，
∴ ，解得 或 ，故
故选：D.
三､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
9. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则（ ）
A.
B.
C. 不等式 的解集是
D. 不等式 与 的解集相同
【答案】AB
【解析】
第 4页/共 16页
【分析】依题意 和 为方程 的两根，利用韦达定理得到方程组，即可求出 、 的值，
再解一元二次不等式和分式不等式即可.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 或 ，
所以 和 为方程 的两根，所以 ，解得 ，故 A 正确，B 正确；
不等式 即 ，所以 ，即 ，
解得 或 ，所以不等式 的解集为 ，故 C 错误；
不等式 等价于 ，解得 或 ，故不等式 的解集为
或 ，所以 D 错误；
故选：AB
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则存在唯一实数 使得
B. “ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 已知 为平面内两个不共线的向量，则 可作为平面的一组基底
D. 若点 为 的重心，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 注意 、 为零向量，则 不唯一，即可判断；B 根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出
关系判断；C 根据基底的性质判断；D 由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断.
【详解】A：若 、 为零向量，满足前提，但 不唯一，错；
B：对于 ，如非零向量 ，显然此时 不成立；
对于 ，必有 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，对；
C：由 为不共线的向量，若 ， ，显然 无解，
第 5页/共 16页
所以 也不共线，故 可作为平面的一组基底，对；
D：由重心是中线的交点，如下图示 为平行四边形， 过 的中点，
则 ，且 ，故 ，对.
故选：BCD
11. 如图，函数 的部分图象，则（ ）
A.
B. 将 图象向右平移 后得到函数 的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出 ，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.
【详解】对于 A，观察图象， ， 的最小正周期 ，解得 ，
由 ，得 ，而 ，则 ，
所以 ，A 正确；
第 6页/共 16页
对于 B，将 图象向右平移 后得到函数 ，B 错误；
对于 C，当 时， ，而正弦函数 在 上单调递增，
因此 在区间 上单调递增，C 正确.
对于 D，函数 的图象对称轴为 ，
当 与 关于直线 对称时， 的最大值与最小值的差最小，
此时 ， ，当 为偶数时， ，而 ，
当 为奇数时， ，而 ，最大值与最小值的差为 1；
当 或 时，
函数 在 上单调，最大值与最小值的差最大，
，当 或 时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为 ，D 正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：给定 的部分图象求解解析式，一般是由函数图象
的最高（低）点定 A，求出周期定 ，由图象上特殊点求 .
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，若 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示列式计算得解.
【详解】依题意， ，则 ，所以 .
故答案为：
13. 函数 的单调递增区间为___________
第 7页/共 16页
【答案】
【解析】
【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数 的单调递增区间.
【详解】对于函数 ，由 ，
可得 ，
所以，函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 有 6 个零点，则 的取值
范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象，进行分析， 最多有两个零点，根据一个零点对应 最多 4
个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】
由题可得函数图象，
当 或 时， 有两个解；
当 时， 有 4 个解；
第 8页/共 16页
当 时， 有 3 个解；
当 时， 有 1 个解；
因为 最多有两个解.
因此，要使 有 6 个零点，则 有两个解，
设为 ，则存在下列几种情况：
有 2 个解， 有 4 个解，即 或 ，显然 ，
则此时应满足 ，即 ，解得 ，
有 3 个解， 有 3 个解，设 即 ，
则应满足 ，无解，舍去，
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数 图象，
利用数形结合的方法求解.
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知 ：关于 的方程 有实数根， ： ．
（1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
第 9页/共 16页
【解析】
【分析】（1）由命题 是真命题，可得命题 是假命题，再借助 ，求出 的取值范围作答.
（2）由 是 的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【小问 1 详解】
因为命题 是真命题，则命题 是假命题，即关于 的方程 无实数根，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
由（1）知，命题 是真命题，即 ，
因为命题 是命题 的必要不充分条件，则 ，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
16. 已知 ．
（1）求 的周期；
（2）若 ，其中 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化简函数 ，再求函数的周期；
（2）由（1）知 ，再根据三角恒等变换 ，即可化简求值.
【小问 1 详解】
第 10页/共 16页
所以 的周期为 .
【小问 2 详解】
，
∴ ，
由 得 ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴
.
17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以 30 天计），第 天每股的交易价格满足函数关系
（单位：元），第 天的日交易量 （万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
① ；② ；③ ；④ .
10 15 20 25 30
第 11页/共 16页
50 55 60 55 50
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量 （万股）
与时间第 天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第 天的日交易额 的函数关系式，并求其最小值
.
【答案】（1）选择模型②，
（2） ，441（万元）
【解析】
【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式；
（2）首先写出 的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值.
【小问 1 详解】
由表格数据知，当时间 变换时， 先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②，
由 ，可得 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 与时间 的变化的关系式为 .
【小问 2 详解】
由（1）知：
所以 .
第 12页/共 16页
当 时，由基本不等式，可得 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
当 时， 减函数，
所以函数的最小值为 ，
综上，当 时，函数 取得最小值 441（万元）.
18. 已知 为偶函数， .
（1）求实数 的值；
（2）若 时，函数 的图象恒在 图象的上方，求实数 的取值范围；
（3）已知函数 在 上的最大值与最小值之和为 2025，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）2034
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出 值.
（2）问题转化为 ， 恒成立，分离参数求出最值即可得解.
（3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解.
【小问 1 详解】
函数 为偶函数， 得 恒成立，
即 恒成立，而 不恒为 0，
所以 .
小问 2 详解】
当 时，函数 的图象恒在 图象的上方，则 ， 恒成立，
第 13页/共 16页
即 ，则 对 恒成立，
函数 ， ，
又函数 在 R 上单调递减， 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，
，于是 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
依题意， ，
由 ，得 ，则当 时， ，当 时， ，
于是 ，解得 ，
所以实数 的值为 2034.
19. 已知函数 且 的定义域为 ．
（1）当 时，求 ；
（2）将满足 总有 的函数 称为“类线性函数”，若函数
为“类线性函数”，求实数 的值；
（3）已知 ，试问是否存在实数 ，使得函数 在 上的值域为
？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由，
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）当 时，可得 ，分为 ， 两种情况解不等式即可；
（2）根据“类线性函数”的概念可得 ，利用对数
和指数幂的运算性质求解；
第 14页/共 16页
（3）根据题中条件及 的单调性可得 是方程 的两个不同的实数根，
设 ，则方程 有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解．
【小问 1 详解】
当 时， ，即 ，
当 时， ，得 ，解得 ；
当 时， ，得 ，解得 ，
故当 时， 的定义域 为 ；
当 时， 的定义域 为 ．
【小问 2 详解】
由题可知函数 的定义域为 ，则 恒成立，故可得 ．
根据“类线性函数”的概念可知， ，总有 ，
即 ，
则 ，
所以 ，
即 ，
所以 对于 恒成立，
又 不恒为 0，所以 ．
【小问 3 详解】
存在．
易知当 时， 的定义域为 ，
因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，
第 15页/共 16页
所以 在其定义域 上为增函数．
由题意可知， ，即 ，
所以 是方程 的两个不同的实数根，
即 是方程 的两个不同的实数根．
设 ，则方程 有两个不同的实数根．
设 ，其对称轴为 ，
则 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
第 16页/共 16页