高中物理人教版 (2019)必修 第二册万有引力理论的成就导学案

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册万有引力理论的成就导学案，共6页。学案主要包含了活动方案，检测反馈等内容，欢迎下载使用。

1. 理解“计算天体质量”的基本思路．
2. 认识重力与万有引力的关系．
3. 认识万有引力定律的科学成就．
eq \a\vs4\al(活动一：掌握天体质量和密度的计算方法)
1. 卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他测量时选择的研究对象是谁？依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
2. 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r.
(1)求出太阳的质量，并根据结果进一步理解开普勒第三定律．
(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？
总结：(1) 计算中心天体质量的两种方法
①重力加速度法
a. 已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G eq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝ eq \f(gR2,G).
b. 说明：g为天体表面的重力加速度．未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
②“卫星”环绕法
a. 将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由 eq \f(GMm,r2)＝m eq \f(4π2,T2)r，可得中心天体质量为M＝ eq \f(4π2r3,GT2).
b. 注意：用“卫星”环绕法，只能得到中心天体的质量，不能得到环绕卫星的质量．
(2) 天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3).
①将M＝ eq \f(gR2,G) 代入上式解得ρ＝ eq \f(3g,4πGR).
②将M＝ eq \f(4π2r3,GT2) 代入上式解得ρ＝ eq \f(3πr3,GT2R3).（若是近地卫星，轨道半径r等于中心天体半径R，有r＝R，则ρ＝ eq \f(3π,GT2)）
3. 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
eq \a\vs4\al(活动二：探究重力与万有引力的关系)
1. 探究重力与纬度的关系．
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，质量为m的物体分别放在A、B、C处．地球在不停地自转，自转的角速度为ω，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动．
(1)在图中分别画出三处物体的受力示意图．
(2)写出地球极点（A处）重力与万有引力、支持力的关系．
(3)写出赤道上（C处）重力与万有引力的关系．
(4)定性分析其他位置（B处）重力与万有引力的关系．
(5)总结重力大小与纬度的关系．
(6)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小．在忽略地球自转的情况下，写出地面上重力与万有引力的关系．
2. 探究重力与高度的关系．
如图所示，地球的质量为M，半径为R，质量为m的物体离地面的高度不同．
(1)写出地面附近重力与万有引力的关系．
(2)若物体距离地面的高度为h，写出重力与万有引力的关系．
(3)总结重力加速度、重力大小与高度的关系．
eq \a\vs4\al(活动三：体会万有引力理论的迷人魅力)
阅读教材“发现未知天体”和“预言哈雷彗星回归”两部分，体会万有引力理论的科学成就，回答下列问题．
1. 关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( )
A. 天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律经过大量计算后发现的
B. 在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差
C. 海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律经大量计算而发现的
D. 冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的
2. 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（如图所示）.天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右．
(1)请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍？
(2)若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比．
1. 地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A. 物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B. 赤道处的角速度比南纬30°大
C. 地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D. 地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
2. 已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量是( )
A. 月球的质量 B. 地球的质量
C. 地球的半径 D. 地球的密度
3. 将物体由赤道向两极移动，则( )
A. 它的重力减小 B. 它随地球转动的向心力增大
C. 它随地球转动的向心力减小 D. 向心力方向、重力的方向都指向地心
4. 地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为 eq \f(g,2)，则该处距地球表面的高度为( )
A. （ eq \r(2)－1）R B. R C. eq \r(2)R D. 2R
5. 太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，与普通电梯类似，不同的是，它的作用并不是让乘客往返于楼层之间，而是将人和物体送入空间站．假设太空电梯竖直向上匀速运动，它从地面上带了重25 N的植物种子，当太空电梯上升到某高度时发现种子的重力“变成”了16 N．已知地球的半径为R，不考虑地球的自转，则此时太空电梯距地面的高度约为( )
A. R B. eq \f(R,4) C. eq \f(R,8) D. eq \f(R,16)
6. 地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，可估算地球的平均密度为( )
A. eq \f(3g,4πRG) B. eq \f(3g,4πR2G) C. eq \f(g,RG) D. eq \f(g,RG2)
7. 为了计算地球的质量必须知道一些数据，下列各组数据加上已知的引力常量G，可以计算地球质量的是( )
A. 人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
B. 月球绕地球运行的周期T和地球的半径R
C. 地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离r
D. 地球自转周期T和地球的平均密度ρ
8. 随着空间探测技术的发展，中国人的飞天梦已经成为现实．某质量为m的探测器关闭发动机后被某未知星球捕获，在距未知星球表面一定高度的轨道上以速度v做匀速圆周运动，测得探测器绕该未知星球运行n圈的总时间为t.已知星球的半径为R，引力常量为G，则该未知星球的质量为( )
A. eq \f(v2R,G) B. eq \f(v3t,2nπG) C. eq \f(v2t,2nπG) D. eq \f(nv3,2πtG)
9. 一物体在地球表面上的重力为16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的示重为9 N，g取10 m/s2，则此时火箭离地面的高度是地球半径R的( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 0.5倍
10. 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A. 1－ eq \f(d,R) B. 1＋ eq \f(d,R) C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R))) eq \s\up12(2) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d))) eq \s\up12(2)
11. 若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：（不考虑月球自转的影响）
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度．
12. 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ eq \f(1,30) s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解．计算时星体可视为均匀球体．（引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2）
课题2 天体运动的分析与计算
1. 理解天体运动问题的基本思路．
2. 理解天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．
3. 会解决宇宙双星问题．
eq \a\vs4\al(活动一：进行天体运动的分析与计算)
1. 两条思路
(1)环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动所需要的向心力由万有引力提供，即F万＝Fn，如图所示．
(2)在中心天体附近时，物体受到的万有引力等于物体的重力，即F万＝mg.
2. 地球半径为R0，地面的重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则下列说法错误的是( )
A. 卫星的线速度为 eq \f(\r(2R0g),2)
B. 卫星的角速度为 eq \r(\f(g,8R0))
C. 卫星的加速度为 eq \f(g,2)
D. 卫星的加速度为 eq \f(g,4)
活动二：归纳天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
1. 仔细观察天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系，归纳结论．
eq \f(GMm,r2)＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3))) 一定四定，越高越 （选填“快”或“慢”）
总结：(1)关系口诀：“高轨低速长周期，低轨高速短周期”．(2)比较关系前，如果题目上没有轨迹图应该根据题意先画出轨迹图，这样便于比较．
2. 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离．下列说法中正确的是( )
A. 地球公转的周期大于火星公转的周期
B. 地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C. 地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D. 地球公转的角速度大于火星公转的角速度
eq \a\vs4\al(活动三：解决宇宙双星问题)
两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示. 已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L.
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；
(2)试写出它们角速度的表达式；
(3)总结解决双星问题的注意点．
提示：仔细分析天体运动半径和天体距离的关系后再做题，不要写错关系式．
1. 如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A. 速度大 B. 向心加速度大
C. 运行周期短 D. 角速度小
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（第1题） （第2题） （第3题）
2. 如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等且小于c的质量，则( )
A. b所需向心力最大
B. b、c的周期相等且大于a的周期
C. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D. b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
3. 如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法中正确的是( )
A. 物体A和卫星C具有相同大小的加速度
B. 卫星C的运行速度小于物体A的速度
C. 可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方
D. 卫星B在P点运行的加速度大于卫星C的加速度
4. 甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的是( )
A. 由v＝ eq \r(gR) 可知，甲的速度是乙的 eq \r(2) 倍
B. 由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C. 由F＝G eq \f(Mm,r2) 可知，甲的向心力是乙的4倍
D. 由 eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2 eq \r(2) 倍
5. 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．已知地球的公转周期为1年，下列说法正确的是( )
A. 太阳对各小行星的引力相同
B. 各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C. 小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D. 小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
6. 火星探测任务“天问一号”于2020年7月23日成功发射．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A. 轨道周长之比为2∶3 B. 线速度大小之比为 eq \r(3)∶ eq \r(2)
C. 角速度大小之比为2 eq \r(2)∶3 eq \r(3) D. 向心加速度大小之比为9∶4
7. 如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，设质量分别用m1、m2表示，且m1∶m2＝5∶2，则可知( )
A. m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶5
B. m1、m2做圆周运动的角速度之比为5∶2
C. 双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D. 双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小
8. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A. 质量之比mA∶mB＝1∶2
B. 角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C. 线速度大小之比vA∶vB＝1∶2
D. 向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
9. 由于潮汐等因素影响，月球正以每年约3～5 cm的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动，如图所示．多年以后，地球( )
A. 与月球之间的万有引力变大
B. 绕O点做圆周运动的周期不变
C. 绕O点做圆周运动的角速度变小
D. 绕O点做圆周运动的轨道半径变小
第3节 万有引力理论的成就
课题1 万有引力理论的成就
【活动方案】
活动一：
1. (1)地球表面的物体．若忽略地球自转的影响，在地球表面上的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G eq \f(Mm,R2)，得M＝ eq \f(gR2,G)；
ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3g,4πGR).
2. (1)由 eq \f(Gm地M太,r2)＝m地 eq \f(4π2,T2) r，知M太＝ eq \f(4π2r3,GT2).
(2)由密度公式ρ＝ eq \f(M太,\f(4,3)πR eq \\al(3,太))可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．
3. (1)设卫星的质量为m，天体的质量为M.
卫星贴近天体表面运动时有G eq \f(Mm,R2)＝m eq \f(4π2,T eq \\al(2,1))R，解得M＝ eq \f(4π2R3,GT eq \\al(2,1))，
根据数学知识可知天体的体积为V＝ eq \f(4,3)πR3，
故该天体的密度为ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(4π2R3,GT eq \\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3π,GT eq \\al(2,1)).
(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有G eq \f(Mm,(R＋h)2)＝m eq \f(4π2,T eq \\al(2,2))(R＋h)，M＝ eq \f(4π2(R＋h)3,GT eq \\al(2,2))，
ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(4π2(R＋h)3,GT eq \\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3π(R＋h)3,GT eq \\al(2,2)R3).
活动二：
1. (1)均只受万有引力和支持力，如图所示．
(2) mg＝F万＝G eq \f(Mm,R2)＝FN.
(3) G eq \f(Mm,R2)－FN＝mRω2，FN＝mg，
所以 G eq \f(Mm,R2)－mg＝mRω2.
(4)重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G eq \f(Mm,R2)，重力的方向偏离地心．
(5)地面上的物体的重力随纬度的升高而变大．
(6)mg＝G eq \f(Mm,R2).
2. (1)mg＝G eq \f(Mm,R2).
(2)mg＝G eq \f(Mm,(R＋h)2)(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度).
(3)距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
活动三：
1. B 天王星是通过观察发现的，A错误，B正确；海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的，C、D错误．
2. (1) eq \f(a3,r3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T哈,T地))) eq \s\up12(2)，
T哈＝(2 061－1 986)年＝75年，
T地＝1年，
eq \f(a,r)＝ eq \r(3,752)＝17.78.
(2)由开普勒第二定律得v1>v2，
a＝ eq \f(\f(GMm,r2),m)＝ eq \f(GM,r2)， eq \f(a1,a2)＝ eq \f(r eq \\al(2,2),r eq \\al(2,1)).
【检测反馈】
1. A 由F＝G eq \f(m1m2,R2)可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确．地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错误．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误．地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误．
2. B 由天体运动规律知G eq \f(Mm,R2)＝m eq \f(4π2,T2)R，可得地球质量M＝ eq \f(4π2R3,GT2)，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故B正确．
3. C 地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分解为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力．万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，D错误．物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，A、B错误，C正确．
4. A 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，分别列式 eq \f(GMm,R2)＝mg，G eq \f(Mm,(R＋h)2)＝m eq \f(g,2)，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝( eq \r(2)－1)R，A正确．
5. B 物体静止在地面时，根据重力等于万有引力有G eq \f(Mm,R2)＝mg＝25 N，物体在某高度时有G eq \f(Mm,(R＋h)2)＝mg′＝16 N，联立解得h＝ eq \f(R,4)，故B正确．
6. A 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G eq \f(mm地,R2)，则m地＝ eq \f(gR2,G)，又V＝ eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝ eq \f(m地,V)＝ eq \f(3g,4πRG)，A正确．
7. A 根据周期公式得vT＝2πR，根据牛顿第二定律得G eq \f(Mm,R2)＝m eq \f(v2,R)，解得M＝ eq \f(v2R,G)＝ eq \f(v2,G)· eq \f(vT,2π)＝ eq \f(v3T,2πG)，A正确；对月球，根据牛顿第二定律得G eq \f(Mm,(R＋h)2)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)(R＋h)，因为地月间的距离未知，所以无法求解，B错误；对地球，根据牛顿第二定律得G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(v2,r)，只能求出太阳质量，地球质量被约去而无法求解，C错误；地球自转周期T和同步卫星周期相等，所以对于同步卫星有G eq \f(Mm,(R＋h)2)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)(R＋h)，或根据密度公式得ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3)，方程组中均有未知量，故无法求解，D错误．
8. B 由题知，探测器绕该未知星球运行n圈的总时间为t，则周期为T＝ eq \f(t,n)，设探测器的轨道半径为r，则有v＝ eq \f(2πr,T)，解得轨道半径为r＝ eq \f(vt,2πn)，探测器绕该未知星球做匀速圆周运动，设该未知星球的质量为M，根据万有引力提供向心力，则有G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(4π2,T2)r，联立解得M＝ eq \f(v3t,2nπG)，故B正确，A、C、D错误．
9. B 在地表万有引力相当于重力，mg＝ eq \f(GMm,R2)＝16 N，在火箭中mg′＋ma＝9 N，解得mg′＝1 N， eq \f(GMm,(R＋H)2)＝mg′， eq \f((R＋H)2,R2)＝ eq \f(mg,mg′)＝ eq \f(16,1)，解得H＝3R.故此时火箭离地面的高度是地球半径R的3倍.B正确．
10. A 设地球的密度为ρ，地球的质量为m地，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝ eq \f(Gm地,R2).地球质量为m地＝ eq \f(4,3)πR3ρ，则g＝ eq \f(Gm地,R2)＝ eq \f(\f(4,3)GπR3ρ,R2)＝ eq \f(4,3)πGρR.因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到的引力即为半径等于R－d的球体在其表面产生的万有引力，则矿井底部处的重力加速度g′＝ eq \f(4,3)πGρ(R－d)，矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为 eq \f(g′,g)＝1－ eq \f(d,R)，A正确，B、C、D错误．
11. (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，h＝ eq \f(1,2)g月t2，月球表面的自由落体加速度大小g月＝ eq \f(2h,t2).
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G eq \f(Mm,R2)＝mg月，月球的质量M＝ eq \f(2hR2,Gt2).
(3)月球的密度ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3h,2πRGt2).
12. 设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体自转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物质质量为m，则有
eq \f(GMm,R2)＝mω2R，
ω＝ eq \f(2π,T)，
M＝ eq \f(4,3)πR3ρ，
由以上各式得
ρ＝ eq \f(3π,GT2)，
代入数据解得
ρ＝1.27×1014 kg/m3.
课题2 天体运动的分析与计算
【活动方案】
活动一：
1. (1)g′的含义：离中心天体球心距离r(或离中心天体表面h高度)处的重力加速度 a的含义：离中心天体球心距离r(或离中心天体表面h高度)处的向心加速度 左边r含义：中心天体M和环绕天体m球心间的距离 右边r含义：环绕天体m的轨道半径(r＝R＋h)
(2)gR2 g的含义：中心天体表面的重力加速度(地球表面的重力加速度常用值为 9.8 m/s2) R的含义：中心天体的半径
2. C 由 eq \f(GMm,(2R0)2)＝man＝m eq \f(v2,2R0)＝mω2(2R0)及GM＝gR eq \\al(2,0)，可得卫星的向心加速度an＝ eq \f(g,4)，角速度ω＝ eq \r(\f(g,8R0))，线速度v＝ eq \f(\r(2R0g),2)，所以A、B、D正确，C错误．故选C.
活动二：
1. 慢
2. D
活动三：
(1)双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G eq \f(m1m2,L2)，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示．
分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程，
对m1有G eq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1①，
对m2有G eq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2②，
由①②得 eq \f(r1,r2)＝ eq \f(m2,m1)；
由线速度与角速度的关系v＝ωr，
得 eq \f(v1,v2)＝ eq \f(r1,r2)＝ eq \f(m2,m1).
(2)由①得r1＝ eq \f(Gm2,L2ω2)，
由②得r2＝ eq \f(Gm1,L2ω2)，
又L＝r1＋r2，
联立解得ω＝ eq \r(\f(G(m1＋m2),L3)).
(3)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；两星的运动周期、角速度相同；两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
【检测反馈】
1. D 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝Fn，所以G eq \f(Mm,r2)＝man＝ eq \f(mv2,r)＝ eq \f(4π2mr,T2)＝mrω2，即an＝ eq \f(GM,r2)，v＝ eq \r(\f(GM,r))，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3)).因为r1＜r2，所以v1＞v2，an1＞an2，T1＜T2，ω1＞ω2，D正确．
2. B 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，由F引＝G eq \f(m地m,r2) 知b所受的万有引力最小，故A错误；由 eq \f(Gm地m,r2)＝ eq \f(4π2mr,T2) 得T＝2π eq \r(\f(r3,Gm地))，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由 eq \f(Gm地m,r2)＝man得an＝ eq \f(Gm地,r2)，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由G eq \f(m地m,r2)＝m eq \f(v2,r) 得v＝ eq \r(\f(Gm地,r))，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D错误．
3. C 根据加速度公式a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，物体A的加速度小于卫星C，A错误；根据速度与周期的关系式，v＝ eq \f(2πr,T)， 卫星C的运行速度大于物体A的速度，B错误；卫星B会经过赤道上空，所以可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方，C正确；根据牛顿第二定律得G eq \f(Mm,r2)＝ma，卫星B在P点运行的加速度等于卫星C的加速度，D错误．
4. D 甲、乙两颗人造卫星质量相等，设卫星质量为m，地球质量为M，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有 eq \f(GMm,r2)＝m eq \f(v2,r)可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的速度是乙的 eq \f(\r(2),2)倍，故A错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有 eq \f(GMm,r2)＝ma可得a＝ eq \f(GM,r2)，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心加速度是乙的 eq \f(1,4)倍，故B错误；由F＝G eq \f(Mm,r2)可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心力是乙的 eq \f(1,4)倍，故C错误；由开普勒第三定律 eq \f(r3,T2)＝k可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的周期是乙的2 eq \r(2)倍，故D正确.
5. C 太阳对小行星的引力F＝G eq \f(Mm,r2)，由于各小行星轨道半径和质量关系均未知，故不能得出太阳对各小行星的引力相同的结论，故A错误；小行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G eq \f(Mm,r2)＝ma＝m eq \f(v2,r)＝ eq \f(4π2mr,T2)，解得a＝ eq \f(GM,r2)，v＝ eq \r(\f(GM,r))，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，根据T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的公转周期，即均大于1年，故B错误；根据a＝ eq \f(GM,r2) 可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，故C正确；根据v＝ eq \r(\f(GM,r))可知小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，故D错误．
6. C 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有 eq \f(GMm,r2)＝m eq \f(v2,r)，得v＝ eq \r(\f(GM,r))，则 eq \f(v火,v地)＝ eq \r(\f(r地,r火))＝ eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有 eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，则 eq \f(ω火,ω地)＝ eq \r(\f(r eq \\al(3,地),r eq \\al(3,火)))＝ eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由 eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝ eq \f(GM,r2)，则 eq \f(a火,a地)＝ eq \f(r eq \\al(2,地),r eq \\al(2,火))＝ eq \f(4,9)，故D错误．
7. A 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，设为ω，则有 eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得 eq \f(r1,r2)＝ eq \f(m2,m1)＝ eq \f(2,5)，根据v＝ωr知 eq \f(v1,v2)＝ eq \f(r1,r2)＝ eq \f(2,5)，故A正确；双星具有相同的角速度，则m1、m2做圆周运动的角速度之比为1∶1，故B错误；根据万有引力提供向心力，有G eq \f(m1m2,L2)＝m1 eq \f(4π2,T2)r1＝m2 eq \f(4π2,T2)r2，得Gm2T2＝4π2r1L2，Gm1T2＝4π2r2L2，联立得G(m1＋m2)T2＝4π2L3，得T＝ eq \r(\f(4π2L3,G(m1＋m2)))，双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C、D错误．
8. C 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A星有G eq \f(mAmB,L2)＝mAω2rA，对B星有G eq \f(mAmB,L2)＝mBω2rB，联立得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1.根据双星的条件有角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr得线速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，C正确，A、B、D错误．
9. C 多年以后，地球和月球间距离变大，两星的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力提供向心力， eq \f(GM1M2,L2)＝M1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r1＝M1ω2r1， eq \f(GM1M2,L2)＝M2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r2＝M2ω2r2，联立可得 eq \f(G(M1＋M2),L2)＝ eq \f(4π2L,T2)＝ω2L，r1＝ eq \f(M2L,M1＋M2)，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，则地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球绕O点做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确．