四川省成都市师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试题（Word版附解析）

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一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平方化简集合 B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合 ，又集合 ，
所以 .
故选：C
2. 设 为虚数单位，则复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出复数 ，即得解.
【详解】解：由题得 ，
所以复数 的共轭复数为 .
故选：A
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出向量 的坐标，利用平面向量的模长公式求出 的值，可得出 的坐标，再利用平面
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向量的模长公式可求得 的值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
故选：B.
4. 已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个单
位长度得到函数 的图象，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出 的解析式，再由图象平移确定 的解析式，进而求函数值.
【详解】由图知 ，则 ，
由 ，则 ，可得 ，
又 ，则 ，故 ，
由题意 ，故 .
故选：B
5. 设点 ， 分别是双曲线 （ ）的左、右焦点，过点 且与 x 轴垂直的直线 l 与双
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曲线 C 交于 A，B 两点．若 的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线 方程求得 ，再利用三角形面积公式求出 ，即可求渐近线
方程.
【详解】点 ,将 代入 ，可得 ，
解得 ，所以 ,
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 ，
故选:D.
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 的方程，求出解后可求圆锥的体
积.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 即 ，
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故 ，故圆锥的体积为 .
故选：B.
7. 在一次考试中有一道 4 个选项的双选题，其中 B 和 C 是正确选项，A 和 D 是错误选项，甲、乙两名同学
都完全不会这道题目，只能在 4 个选项中随机选取两个选项．设事件 “甲、乙两人所选选项恰有一个
相同”，事件 “甲、乙两人所选选项完全不同”，事件 “甲、乙两人所选选项完全相同”，事件
“甲、乙两人均未选择 B 选项”，则（ ）
A. 事件 M 与事件 N 相互独立 B. 事件 X 与事件 Y 相互独立
C. 事件 M 与事件 Y 相互独立 D. 事件 N 与事件 Y 相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以 ， ， ， ，
因为事件 与事件 互斥，所以 ，又 ，
所以事件 M 与事件 N 不相互独立，故 A 错误；
，故 B 错误；
由 ，则事件 M 与事件 Y 相互独立，故 C 正确；
因为事件 N 与事件 Y 互斥，所以 ，又 ，
所以事件 N 与事件 Y 不相互独立，故 D 错误.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出 ， ， ， ，再根据互斥、相互独
立事件的乘法公式对选项一一判断即可.
8. 在 中，角 的对边分别为 ，若 的平分线 的长为 ，
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则 边上的高线 的长等于（ ）
A. B.
C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 可得 的值，进而可求得 、 的值，结合余弦定理可得
，由等面积法 可求得 .
【详解】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由 可得 ，解得 .
故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9. 下面命题中是真命题的有（ ）
A. 中，若 ，则
B. 若一个扇形所在圆 半径为 2，其圆心角为 2 弧度，则扇形的周长为 4
C. 函数 的最小值为 4
D. 函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为 .
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边可判断 A，利用扇形公式 结合周长可判断 B，利用正弦值可能为负数
可判断 C，利用分段函数单调性可判断 D.
【详解】对于 A 选项， 中，若 ，由正弦定理可得 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B 选项，若一个扇形所在圆的半径为 2，其圆心角为 2 弧度，则扇形的弧长为 ，
故扇形的周长为 ，故 B 错误；
对于 C 选项，若 ，则 ，故 C 错误；
对于 D 选项，因为函数 在 上单调递减，如图所示
所以 ，解得 ，故 D 正确.
故选：AD.
10. 已知椭圆的方程为 ，斜率为 的直线不经过原点 （ 为坐标原点），且与椭圆相交于 A，
B 两点，M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 OM 垂直
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B. 若点 M 的坐标为 ，则直线 AB 的方程为
C. 若直线 AB 的方程为 ，则点 M 的坐标为
D. 若直线 AB 的方程为 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆的中点弦的性质可知 ，依此将各个选项的坐标及方程代入即可判断正误
.
【详解】对于 A，根据椭圆的中点弦的性质知， ，所以 A 不正确；
对于 B， ，根据 ，知 ，所以直线 AB 的方程为 ，即
，所以 B 正确；
对于 C， ，由 ，得 ，所以 C 不正确；
对于 D，若直线 AB 的方程为 ，与椭圆方程 联立，得 ，整理得
，解得 或 ，所以 ，所以 D 正确．
故选：BD．
椭圆的中点弦的性质总结：设 为椭圆 弦 AB（AB 不平行于 y 轴）的中
点，O 为坐标原点，则 ．
证明：设 ， ，则 ，且 ， ，两式相减得，
，整理得 ，因为 是弦 AB 的中点，所以
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，所以 ．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题，牢记相关结论，对快速解题有帮助.
11. 如图，在棱长为 正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点， 为底面
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 为 的中点时，
B. 若 在线段 上运动，三棱锥 的体积为定值
C. 存在点 ，使得平面 截正方体所得的截面面积为
D. 当 为 的中点时，三棱锥 的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ，以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ，利用向量
的坐标运算即可证明；对于 ，当点 与点 重合时，当点 与点 重合时，等体积法转化即可得三棱锥
的体积；对于 ，当 为 中点时，平面 截正方体所得的截面为正六边形 ，
可得截面面积；对于 ，设 的外接圆半径为 ，三棱锥 的外接球半径为 ，由
可求外接球半径，根据球的表面积公式即可判断.
【详解】对于 选项，以 为坐标原点，建立如图 1 所示的空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
所以 ， ，
因 ，所以 ，故 选项正确；
对于 选项，当点 与点 重合时，如图 2 所示， ，
当点 与点 重合时，如图 3 所示， ，
所以三棱锥 的体积不是定值，故 选项错误；
对于 选项，当 为 中点时，平面 截正方体所得的截面为正六边形 ，如图 4 所示，其
中 ， ， 为相应边的中点，则正六边形 的边长为 ，
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所以该截面的面积为 ，故存在点 ，符合题意，故 选项正确；
对于 选项，当 为 的中点时，如图 5 所示，易知 平面 ，
因为 ， ，
所以由余弦定理的推论得 ，
所以 ，设 的外接圆半径为 ，
则 ，所以 ，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 选项正确，
故选：ACD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 从一批棉花中随机抽测了 8 根棉花的纤维长度（单位： ），其数据为 88，89，76，101，121，89，
90，90，则该组数据的第 60 百分位数为__________.
【答案】90
【解析】
【分析】根据第 60 百分位数的计算方法求解即可.
【详解】将该组数据从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121，
由 8×0.6=4.8，故该组数据的第 60 百分位数为第 5 个数，即 90.
故答案为：90.
13. 等差数列 的前 n 项和为 ，公差为 d，已知 且 ．则使 成立的最小正整
数 n 的值为______．
【答案】9
【解析】
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【分析】先由 求得 ，由 求得 的取值范围，从而求得正确答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，由 ，可得 ，即 ，
所以使 成立的最小正整数 n 的值为 9.
故答案为：
14. 已知函数 ，记 为函数 的 2 次迭代函数，
为函数 的 3 次迭代函数，…，依次类推，
为函数 的 n 次迭代函数，则 ______； 除以 17
的余数是______.
【答案】 ①. ②. 0
【解析】
【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前 项和公式即可推出 fnx 的表达式；将 化
为 ，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.
【详解】由题意， ，
所以
又 为正整数，
所以 除以 17 的余数为 0，
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故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ， ，讨论函数 的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程；
（2）将函数求导，根据参数 进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性.
【小问 1 详解】
， ，则 ，
则 ，即切线斜率 ，
故切线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ， ，
，
当 时， ，由 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，
①当 时， ，当 或 时， ，
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即函数 在 和 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减；
②当 时，则对任意的 ，即函数 在 上单调递增；
③当 时， ，
当 或 时， ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时， ，即函数 在 上单调递减.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
16. 已知数列 满足 ， ， 为数列 的前 项和．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得 ，故可得 是等比数列；
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（2）由（1）结合等比数列的通项公式可求 ；
（3）利用分组求和法可求 .
【小问 1 详解】
对 整理有： ，
等式两边同时除以 可得 ，
等式两边再同时减 得 ，即 ，
又由 ，可得 ，故 ，
则数列 是首项为 ，公比为 等比数列．
【小问 2 详解】
由（1）得 的通项公式为 ，
得 ，所以 ．
【小问 3 详解】
由（2）知 ，
所以
．
17. 某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有 的概率发左旋球，有 的概率发右旋球，且该运
动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球
运动员能成功接左旋球的概率是 ，能成功接右旋球的概率是 .在某次训练的连续两次接发球
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中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量 ，成功接到右旋球的次数为随机变量 .
（1）若 ，求该运动员两次接发球均成功的概率；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解；
（2）分别求出 的分布列，进而求得 ，再根据 求解 p 的取值范围即可．
【小问 1 详解】
设该运动员两次接发球均成功为事件 ，则
【小问 2 详解】
易知 ，则
，
且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 .
18. 如图，圆柱 的体积为 ，侧面积也为 ，AB 为 的直径，C，D 分别为上、下底面圆
周上的点，且直线 CD 与 交于点 O．
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（1）求圆柱 的高；
（2）证明： ；
（3）若直线 AC 与下底面所成角的正切值为 ，求平面 ACD 与平面 BCD 夹角的余弦值．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）应用圆柱的体积及侧面积公式计算求参即可；
（2）结合题意，可通过证明 ， 得到四边形 为平行四边形，即可得 为线
段 的中点；
（3）利用线面角可得相应长度，从而可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面 与平面 的法向
量，最后利用空间向量夹角公式计算即可得解.
【小问 1 详解】
设圆柱 的高为 ， 的半径为 ，
因为圆柱 的体积为 ，侧面积也为 ，
所以 ，
所以 ，
所以圆柱 的高为 .
【小问 2 详解】
连接 ，如图所示，
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因为线段 与线段 交于 点，所以 ， 四点共面，
又因为圆柱 的上下底面平行，圆 平面 ，圆 平面 ，所以
，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ；
【小问 3 详解】
延长 交 于点 ，连接 ，因为 在 上， 为 的直径，
所以 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与下底面所成的角，直线 AC 与下底面所成角的正切值为 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 两两垂直，如图所示，以 为坐标原点，
的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 .
所以 ， ，
所以 ，
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设平面 的法向量为 ，
，则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，则 ，
令 ，则 ，
设平面 与平面 所成的锐角为 ，
所以 ，
即平面 与平面 所成锐角的余弦值为 .
19. 已知 A､B 为椭圆 =1(a>b>0)和双曲线 =1 的公共顶点，P，Q 分别为双曲线和椭圆上不
同于 A，B 的动点，且满足 ，设直线 AP､BP､AQ､BQ 的斜率分别为
k1､k2､k3､k4.
（1）求证：点 P､Q､O 三点共线；
（2）当 a=2，b= 时，若点 P､Q 都在第一象限，且直线 PQ 的斜率为 ，求△BPQ 的面积 S；
（3）若 F1､F2 分别为椭圆和双曲线的右焦点，且 QF1 PF2，求 k12+k22+k32+k42 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）8.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆和双曲线图像的对称性及向量的加法化简得到 从而证明点 P､Q､O 三点
共线；（2）由题意得直线 PQ 的方程为 将直线方程分别于椭圆及双曲线联立得到点 PQ 的坐标，进
而求得线段 PQ 的长度，再联立椭圆与双曲线的方程求得点 B 的坐标，根据点到直线的距离公式求得三角
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形的高，最后根据三角形的面积公式求解即可；（3）首先根据点 P 与点 Q 的线性关系求得λ2= ，接
着化简 和 ，又由于 k1k2= ，k3k4=﹣ ，所以得到 k12+k22+k32+k42 的值.
【详解】解：（1）证明：因为 A，B 为椭圆与双曲线的公共点，P，Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A，B
的动点，
又因为 ，
所以 ，即
所以点 P，Q，O 三点共线.
（2）设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线 PQ 的方程为
联立 ，解得 x=± ，y=± ，
所以 P( ， )，
同理 ，解得 x=± ，y=± ，
解得 Q( ， )，
则|PQ|=3﹣ ，
又因为 a=2，b= ，
联立 ，解得 B(±2，0)，
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所以点 B 到直线 PQ 的距离 d= ，
则 .
（3）因为 ，设 ， ，
所以 ，
因为 ，所以
又 ，⇒ ，
因为 QF1 PF2，
所以|OF1|=λ|OF2|，
所以λ2= ，
所以 = • = ，
所以
同理(k3+k4)2=4，
而 k1k2= ，
又 x12=a2+ y12，
所以 k1k2= ，
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同理 k3k4=﹣ ，
所以 k12+k22+k32+k42=8.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形．
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