成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试题【含答案】

这是一份成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期二诊模拟考试数学试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， 已知向量，，若，则， 设点，分别是双曲线， 下面命题中是真命题的有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，则复数的共轭复数是
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
5. 设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A 事件M与事件N相互独立B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y相互独立
8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A. B.
C. 2D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面命题中是真命题的有（ ）
A. 中，若，则
B. 若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4
C. 函数的最小值为4
D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为.
10. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M的坐标为，则直线AB的方程为
C. 若直线AB的方程为，则点M的坐标为
D. 若直线AB方程为，则
11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为的中点时，
B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________.
13. 等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．
14. 已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，，讨论函数的单调性.
16. 已知数列满足，，为数列的前项和．
（1）求证：数列等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列前项和．
17. 某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有的概率发左旋球，有的概率发右旋球，且该运动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球运动员能成功接左旋球的概率是，能成功接右旋球的概率是.在某次训练的连续两次接发球中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量，成功接到右旋球的次数为随机变量.
（1）若，求该运动员两次接发球均成功的概率；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．
（1）求圆柱的高；
（2）证明：；
（3）若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．
19. 已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
参考答案与详细解析
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平方化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合，又集合，
所以.
故选：C
2. 设为虚数单位，则复数的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出复数，即得解.
【详解】解：由题得，
所以复数的共轭复数为.
故选：A
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式求出的值，可得出的坐标，再利用平面向量的模长公式可求得的值.
【详解】因为，，所以，
则，解得，
因为，所以．
故选：B.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.
【详解】由图知，则，
由，则，可得，
又，则，故，
由题意，故.
故选：B
5. 设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线方程求得，再利用三角形面积公式求出，即可求渐近线方程.
【详解】点,将代入，可得，
解得，所以,
所以，
所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为，
故选:D.
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为.
故选：B.
7. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以，，，，
因为事件与事件互斥，所以，又，
所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；
，故B错误；
由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；
因为事件N与事件Y互斥，所以，又，
所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可.
8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面命题中是真命题的有（ ）
A. 中，若，则
B. 若一个扇形所在圆半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4
C. 函数的最小值为4
D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边可判断A，利用扇形公式结合周长可判断B，利用正弦值可能为负数可判断C，利用分段函数单调性可判断D.
【详解】对于A选项，中，若，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B选项，若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为，
故扇形的周长为，故B错误；
对于C选项，若，则，故C错误；
对于D选项，因为函数在上单调递减，如图所示
所以，解得，故D正确.
故选：AD.
10. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M的坐标为，则直线AB的方程为
C. 若直线AB的方程为，则点M的坐标为
D. 若直线AB的方程为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆的中点弦的性质可知，依此将各个选项的坐标及方程代入即可判断正误.
【详解】对于A，根据椭圆的中点弦的性质知，，所以A不正确；
对于B，，根据，知，所以直线AB的方程为，即，所以B正确；
对于C，，由，得，所以C不正确；
对于D，若直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，整理得，解得或，所以，所以D正确．
故选：BD．
椭圆的中点弦的性质总结：设为椭圆弦AB（AB不平行于y轴）的中点，O为坐标原点，则．
证明：设，，则，且，，两式相减得，，整理得，因为是弦AB的中点，所以，所以．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，牢记相关结论，对快速解题有帮助.
11. 如图，在棱长为正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为的中点时，
B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，利用向量的坐标运算即可证明；对于，当点与点重合时，当点与点重合时，等体积法转化即可得三棱锥的体积；对于，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，可得截面面积；对于，设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，由可求外接球半径，根据球的表面积公式即可判断.
【详解】对于选项，以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
因，所以，故选项正确；
对于选项，当点与点重合时，如图2所示，，

当点与点重合时，如图3所示，，
所以三棱锥的体积不是定值，故选项错误；
对于选项，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，如图4所示，其中，，为相应边的中点，则正六边形的边长为，

所以该截面的面积为，故存在点，符合题意，故选项正确；
对于选项，当为的中点时，如图5所示，易知平面，
因为，，
所以由余弦定理的推论得，
所以，设的外接圆半径为，
则，所以，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确，
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________.
【答案】90
【解析】
【分析】根据第60百分位数的计算方法求解即可.
【详解】将该组数据从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121，
由8×0.6=4.8，故该组数据的第60百分位数为第5个数，即90.
故答案为：90.
13. 等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】先由求得，由求得的取值范围，从而求得正确答案.
【详解】因为，，
所以，
又，由，可得，即，
所以使成立的最小正整数n的值为9.
故答案为：
14. 已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______.
【答案】 ①. ②. 0
【解析】
【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前项和公式即可推出fnx的表达式；将化为，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.
【详解】由题意，，
所以
又为正整数，
所以除以17的余数为0，
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，，讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程；
（2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性.
【小问1详解】
，，则，
则，即切线斜率，
故切线方程为，即；
【小问2详解】
函数的定义域为，，
，
当时，，由，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，
①当时，，当或时，，
即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减；
②当时，则对任意的，即函数在上单调递增；
③当时，，
当或时，，即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
16. 已知数列满足，，为数列的前项和．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列；
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可求；
（3）利用分组求和法可求.
【小问1详解】
对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为等比数列．
【小问2详解】
由（1）得的通项公式为，
得，所以．
【小问3详解】
由（2）知，
所以
．
17. 某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有的概率发左旋球，有的概率发右旋球，且该运动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球运动员能成功接左旋球的概率是，能成功接右旋球的概率是.在某次训练的连续两次接发球中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量，成功接到右旋球的次数为随机变量.
（1）若，求该运动员两次接发球均成功的概率；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解；
（2）分别求出的分布列，进而求得，再根据求解p的取值范围即可．
【小问1详解】
设该运动员两次接发球均成功为事件，则
【小问2详解】
易知，则
，
且，
所以，
因为，所以，所以，即的取值范围为.
18. 如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．
（1）求圆柱的高；
（2）证明：；
（3）若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）应用圆柱的体积及侧面积公式计算求参即可；
（2）结合题意，可通过证明，得到四边形为平行四边形，即可得为线段的中点；
（3）利用线面角可得相应长度，从而可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面与平面的法向量，最后利用空间向量夹角公式计算即可得解.
【小问1详解】
设圆柱的高为，的半径为，
因为圆柱的体积为，侧面积也为，
所以，
所以，
所以圆柱的高为.
【小问2详解】
连接，如图所示，

因为线段与线段交于点，所以，四点共面，
又因为圆柱的上下底面平行，圆平面，圆平面，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以；
【小问3详解】
延长交于点，连接，因为在上，为的直径，
所以，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
所以为直线与下底面所成的角，直线AC与下底面所成角的正切值为，
因为，所以，所以.
因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点，
的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
所以，，
所以，
设平面的法向量为，
，则，
令，则，
设平面的法向量为，
则有，则，
令，则，
设平面与平面所成的锐角为，
所以，
即平面与平面所成锐角的余弦值为.
19. 已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.
（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）8.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆和双曲线图像的对称性及向量的加法化简得到从而证明点P､Q､O三点共线；（2）由题意得直线PQ的方程为将直线方程分别于椭圆及双曲线联立得到点PQ的坐标，进而求得线段PQ的长度，再联立椭圆与双曲线的方程求得点B的坐标，根据点到直线的距离公式求得三角形的高，最后根据三角形的面积公式求解即可；（3）首先根据点P与点Q的线性关系求得λ2=，接着化简和，又由于k1k2=，k3k4=﹣，所以得到k12+k22+k32+k42的值.
【详解】解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，
又因为，
所以，即
所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±，
所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±，
解得Q(，)，
则|PQ|=3﹣，
又因为a=2，b=，
联立，解得B(±2，0)，
所以点B到直线PQ的距离d=，
则.
（3）因为，设，，
所以，
因为，所以
又，⇒，
因为QF1PF2，
所以|OF1|=λ|OF2|，
所以λ2=，
所以=•=，
所以

同理(k3+k4)2=4，
而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，
同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．