2023-2024学年山东省威海市经开区八年级（下）期中数学试卷（五四学制） (含解析)

这是一份2023-2024学年山东省威海市经开区八年级（下）期中数学试卷（五四学制） (含解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
2．下列方程中，是一元二次方程的
A．B．
C．D．
3．若实数，在数轴上的对应点如图，则化简的结果为
A．B．C．D．
4．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
5．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
6．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是
A．4045B．4044C．2022D．1
7．已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长，，求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则边上的高为
A．B．C．D．
9．已知一元二次方程．下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
10．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，，若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
二、填空题（3*6＝18分）
11．若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．化简的结果是 ．
13．若，则 ．
14．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为 ．
15．如图，在边长为的正方形中，将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，连接，则的长为 ．
16．如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题（共72分）
17．适当的方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积．
19．已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，，，其中，并且，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
20．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为，另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
21．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元．
（2）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆 间房有游客居住（用含的代数式表示）；
（3）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
22．我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点、分别是正方形的边、上的点，且．
（1）小明观察图形发现，，，于是将绕点顺时针旋转得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程；
（2）如图3，若点、分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．
23．如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
24．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转．
特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点，如图②．根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点顺时针旋转，连接，点是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
参考答案
一、单选题（3*10＝30分）
1．下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意；
．，所以选项不符合题意．
故选：．
2．下列方程中，是一元二次方程的
A．B．
C．D．
解：、，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
、，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
、，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意．
故选：．
3．若实数，在数轴上的对应点如图，则化简的结果为
A．B．C．D．
解：，
，，
．
故选：．
4．春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房9.63亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是
A．B．
C．D．
解：第一天票房约为3元，且平均每天票房的增长率为，
第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元．
根据题意得：．
故选：．
5．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得：
，
即．
故选：．
6．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是
A．4045B．4044C．2022D．1
解：把代入方程得：，即，
，是方程的两个实数根，
，，
则原式
．
故选：．
7．已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：如图：
图①：根据作图痕迹可知，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
图②：由作图痕迹可知，平分，但没有相关痕迹确定的位置，
故不能得到四边形为菱形，
图③：由作图痕迹可知，，，
无法证明，
无法证明四边形是菱形；
图④：由作图痕迹无法确定和的位置，
无法证明四边形是菱形．
故只有①能证明四边形是菱形．
故选：．
8．我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长，，求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则边上的高为
A．B．C．D．
解：由题意得，，，，
，
边上的高为，
故选：．
9．已知一元二次方程．下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
解：①若，方程有一根为1，又，则，正确；
②由两根关系可知，，整理得：，正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；
④由，，所以④正确．
故选：．
10．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，，若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
解：如图，连接，
，是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
设阴影部分面积为，
，全等，
，故的面积可求；
，
延长交于点，则四边形是矩形，
，，
，故平行四边形的面积可求；
剩余部分的面积正方形的面积，故选项正确；
故选：．
二、填空题（3*6＝18分）
11．若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
解：由题意得：且，
解得：且，
，
故答案为：．
12．化简的结果是 6 ．
解：，
，
，
，
故答案为：6．
13．若，则 6 ．
解：设．则
，即，
解得，或（不合题意，舍去）；
故．
故答案为：6．
14．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为 2 ．
解：如图，连接，
四边形为正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
则的长度为2．
故答案为：2．
15．如图，在边长为的正方形中，将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，连接，则的长为 ．
解：如图，过点作于，于，则，
四边形为正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 13 ．
解：连接，由题意可得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，交延长线于，
由题意可得：，，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：13．
三、解答题（共72分）
17．适当的方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1），
，，，
△，
，
，；
（2），
原方程可变为：，
分解因式得：，
或，
解得：，．
（3），
分解因式得：，
或，
解得：，．
18．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32．
（1）求正方形和正方形的边长；
（2）求阴影部分的面积．
解：（1）正方形的边长为：，
正方形的边长为：；
（2），，，
；
；
又，
，
．
19．已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，，，其中，并且，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【解答】（1）证明：关于的方程，
△
，
则无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为1，3，3，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，，
当时，
此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，
当时，此时三边长为1，3，3，周长为，
综上所述，的周长为7．
20．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为，另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
解：（1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：．
整理得：．
解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
答：长为10米，宽为8米；
（2）设宽为米，根据题意得：，
，
解得：（舍去），，
答：小路的宽为1米．
21．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空 2 间房，每天的利润是 元．
（2）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆 间房有游客居住（用含的代数式表示）；
（3）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
解：（1）当定价为200元时，（间，
（元，
故答案为：2，8640；
（2）当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房，
此时宾馆间房有游客居住，
故答案为：；
（3）设宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房价定为元，则此时宾馆间房有游客居住，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为350元．
22．我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点、分别是正方形的边、上的点，且．
（1）小明观察图形发现，，，于是将绕点顺时针旋转得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程；
（2）如图3，若点、分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．
解：（1）将绕点顺时针旋转得到，如图2所示：
四边形为正方形，
，，
旋转后点与点重合，，，，，
，
点，，在同一条直线上，
，，
，
又，
，
在和△中，
，
△，
，
即；
（2）线段、、之间的数量关系是：，证明如下：
四边形为正方形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，如图3所示：
旋转后点与点重合，点落在线段上，且，，，
，
，，
，
，
在△和中，
，
△，
，
即．
23．如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，即，
解得：．
24．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转．
特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点，如图②．根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点顺时针旋转，连接，点是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
解：（1）如图1，
延长，交于，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
点是的中点；
（2）如图2，
是等腰直角三角形，理由如下：
延长，交的延长线于点，设和交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
点和点重合，即：与的交点恰好也是中点，
，，
，，
是等腰直角三角形；
（3）如图3，
仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长至，是，连接，延长和，交于点，
，，
，
，，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形．