新高考数学二轮专题《平面向量》第3讲 平面向量中的范围、 最值问题（2份打包，解析版+原卷版）

第3讲 平面向量中的范围、 最值问题

一．选择题（共17小题）

1．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于　　

A． B． C． D．1

【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，

设点，，

则，，，，．

所以，

．

由于点在内（包含边界），目标函数为，如图所示，

当点为点时，取得最大值，其最大值为，

故选：．

2．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　

A．13 B．15 C．19 D．21

【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得，，，，

，，

，，，

，

由基本不等式可得，

，

当且仅当即时取等号，

的最大值为13，

故选：．

3．已知，，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得，，，，

，，，，

，

，，，

，

当且仅当，即，，时，取等号，

由可得，由可得，

的最大值为13，最小值为．

则的范围是，．

故选：．

4．已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：如图所示，设，，则．

由于，与的夹角为，可得中，，．

由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上的动点．

由图可令，

则．

．

故选：．

5．设向量，的夹角定义： 若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为　　

A．2 B． C． D．

【解析】解：设，，

则，

，与的夹角为，

中，，，

由正弦定理可得：的半径为1，

则点为圆上与不重合的动点，

设，

由正弦定理可得，，，

则

，

当时，取得最大值，且为．

故选：．

6．已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为　　

A．2 B． C． D．

【解析】解：如图所示，设，．

则．，与的夹角为，

中，，．

由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上与点重合的动点．

由图可令：，．

，当时取等号．

的最大值为．

故选：．

7．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由题意得：

，

，

，

由二次函数知，当上式取最小值时，，

，，

解得．

的取值范围为．

故选：．

8．已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为　　

A． B．， C．， D．

【解析】解：由题意可得，，

，

由二次函数知，当上式取最小值时，，

由题意可得，求得，

，

故选：．

9．设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：向量、满足：，，的夹角是，．

若与的夹角为钝角，

则，且与不共线，

即，且，

即，且．

求得，，即，，，

故选：．

10．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解析】解：点在直线上运动，存在实数使得，，，

，．

，

当且仅当时，上式取得最小值，

．

故选：．

11．已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，

设，，则，，

，，，

的面积为1，即有，

则

．

当且仅当时，取得最大值1．

故选：．

12．已知向量，均为单位问量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为　　

A． B．1 C． D．2

【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为．设，，．由向量，向量，均为单位问量

，，

，．

设，，．

向量满足与的夹角为，

．

由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角．

可知：当时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，取得最大值，

在中，由正弦定理可得：．

，取得最大值取得最大值是2．

故选：．

13．已知平面向量，，，满足，．若，，

则　　

A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值

【解析】解：

的最大值为

故选：．

14．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是　　

A．1 B．2 C． D．

【解析】解：由题意可得，

可得，

，，

即为，，

当，即，同向时，

的最大值是．

故选：．

15．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　

A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0

【解析】解：，，

，最大值为4，最小值为0．

故选：．

16．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是　　

A． B． C．， D．

【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，；

向量满足，

，

，

即，

它表示圆心为，半径为的圆；

又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示：

且，

；

即的取值范围是，．

故选：．

17．设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为　　

A． B． C．1 D．4

【解析】解：，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，

，

则，

则，

当且仅当时，取等号，

故选：．

二．填空题（共7小题）

18．在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　，　．

【解析】解：由题意可得和的夹角为，设，，，

，

故当时，取得最小值为，当时，取得最大值为3，

故的取值范围为，

19．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为　　．

【解析】解：由向量，，与的夹角为，

可设，，，，，

由，

得；

化为，

所以点在以为圆心，以1为半径的圆的上；

且表示圆上的点到点的距离，

如图所示：

由图形知，的最小值为．

故答案为：．

20．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是　　，向量的取值范围是　　．

【解析】解：（1）设与的夹角为，则，

，

当，上式有最小值为，

的最小值为，的最小值为3，

，解得．

又，，，此时．

（2）由（1）可知，，

与的夹角为，且，，，

不妨设，，，，

向量的取值范围是．

故答案为：；．

21．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　且　．

【解析】解：，，且与的夹角为锐角，

，解得，

但当，即时，两向量同向，应舍去，

的取值范围为：且，

故答案为：且．

22．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是　　．

【解析】解：以和做平行四边形．

则

因为为的中点

所以且反向

，

设，，

其对称轴

所以当时有最小值

故答案为

23．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于　　．

【解析】解：，

只考虑，

则，

当且仅当时取等号．

则的最大值等于．

故答案为：．

24．已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，，，若，则的最小值为　1　．

【解析】解：．

，．

．

当时，取得最小值1．

的最小值为1．

故答案为：1．

三．解答题（共1小题）

25．设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．

【解析】解：两向量、满足，，、的夹角为，

不妨设，，

则，，．

向量与向量的夹角为，，

向量，

化为，

解得或．

实数的取值范围是或．