新高考数学二轮复习高分突破训练第13讲 三角函数的性质与变换（2份，原卷版+解析版）

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1.常见三角函数的值域类型：
（1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域
（2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理
2.正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：；单调减区间：
3.余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间： ； 单调减区间：
4.正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
5.的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。
6.函数图像的平移变换：
（1）：的图像向左平移个单位
（2）：的图像向右平移个单位
（3）：的图像向上平移个单位
（4）：的图像向下平移个单位
7.函数图像的放缩变换：
（1）：的图像横坐标变为原来的
（2）：的图像纵坐标变为原来的倍
典型例题：
例1．（2022·广东五华·一模）已知函数．
(1)若且，求的值；
(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．
例2．（2022·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，．
(1)求；
(2)求函数的值域．
例3．（2022·浙江·高三期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知，若函数在区间[0，]上恰好有两个零点，求a的取值范围.
例4．（2022·湖南永州·二模）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求；
(2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中常数.
(1)令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.
(2)求出（1）中的对称中心和对称轴.
(3)若在上单调递增，求的取值范围.
例6．（2022·全国·高三专题练习）在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.
设函数，且满足___________.
(1)求ω的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.
过关练习：
1．（2022·河南安阳·二模（文））已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，当时，取得最大值，且在区间上为减函数，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．的图象关于直线对称
D．的单调递减区间是
5．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））已知函数，若函数的图象与直线在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的图象的对称轴方程为（）
C．的单调递减区间为（）
D．的解集为（）
8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1B．-1C．0D．1或-1
9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点对称
C．在上的最大值为
D．的单调递减区间为
10．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设，若函数的图象关于原点对称，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知函数的最大值为M，若存在实数m，n，使得对任意实数x总有成立，则M·|m－n|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数，（，）的部分图象如图所示，若对任意，恒成立，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））已知函数）的最小正周期为，且f(x)图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·陕西武功·二模（文））函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·云南保山·模拟预测（理））若函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确结论的个数是（ ）
①函数在区间上是减函数；
②函数的图象的一条对称轴为；
③将函数的图象向右平移个单位长度后的图象关于y轴对称；
④函数的最小正周期为．
A．4B．3C．2D．1
16．（2022·云南昭通·高三期末（理））把的图象向左平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对成立，则
①的一个单调递增区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为.其中，
判断正确的序号是（ ）
17．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
18．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知函数，将函数图象上所有点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）若是函数图象上的一点，则就是函数图象上的相应的点，则，A的值分别为（ ）．
A．，B．3，C．，3D．3，3
20．（2022·广东高州·二模）把函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的函数是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
21．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．在在单调递增
B．，，
C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象
D．若在上有且仅有两个极值点，则a的取值范围为
22．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．在为增函数，在为减函数
C．对于恒成立
D．函数的最大值为
23．（2022·江苏海门·高三期末）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是周期为π的周期函数B．
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)在区间上单调递减
24．（2022·广东中山·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
25．（2022·福建漳州·一模）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象的最小正周期为
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
三、填空题
26．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
27．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
28．（2022·贵州贵阳·高三期末（理））将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为___________.
29．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数f（x）＝sin的图象向左平移a（a>0）个单位长度得到函数g（x）＝cs 2x的图象，则a的最小值为________.
四、解答题
30．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知向量．记．
(1)求的对称中心；
(2)若，求的取值范围．
31．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数，.
(1)求；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值集合.
32．（2022·浙江·模拟预测）已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
33．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））现有下列三个条件：
①函数f(x)的最小正周期为π；
②函数f(x)的图象可以由y＝sinx－csx的图象平移得到；
③函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离．
从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答．
已知向量，ω＞0，函数．且满足_________．
(1)求f(x)的表达式；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，＝2，求csA的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
34．（2022·全国·高三专题练习）求函数，的值域.
35．（2022·北京密云·高三期末）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．
(1)求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．
条件①：的最小正周期为；
条件②：的最大值与最小值之和为0；
条件③：．
36．（2022·四川·高三学业考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.