专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

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【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
【题型2 裂项相消巧妙变形问题】
【题型3 分组求和必记常见结论】
【题型4 含类求和问题】
【题型5 含绝对值求和问题】
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》
注意：列举时最后一项必须是
已知{}的首项，，（）求通项公式。
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解→简称《构造法》
结论:
已知数列中, ,,求的通项公式.
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解→简称《构造法》
结论:
已知：，时，，求的通项公式。
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六步 反解→简称《直接除+构造法》
结论 ：
已知中，，（）求。
型，可化为的形式。
待定系数法，其中
在数列{}中，，当， ① 求通项公式.
题型1 错位相减求和无需错位直接出答案
错位相减；
形式必须是
则
求和：
已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
1．已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，，并求的通项公式；
(2)记求.
2．记.
(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；
(2)记是的导函数，求.
3．设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
4．已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
5．设等比数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
6．已知数列的前项和为.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
7．设数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
8．已知是各项均为正数的数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
裂项相消巧妙变形问题
裂项相消求和
① ②
③ ④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨⑩
在数列中，，又，求数列的前项的和.
求证：
已知，若数列的前项和，则________．
1．已知是等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且，求的前项和．
2．在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，
3．已知各项均为正数的等比数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．求证：．
4．已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．
5．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
6．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
7．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
8．设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
分组求和必记常见结论
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
③ ④
⑤
求数列的前项和：，
求数列的前项和.
记正项等比数列满足，.等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
1．已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.
3．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
4．已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
5．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
6．已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
7．在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.
8．已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
含类进行求和问题
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；
第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由
求出 ；
第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.
第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
已知数列的通项公式，求数列的前项和.
已知数列的通项公式，求数列的前项和.
1．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
2．已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．在数列中，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
4．已知数列满足：，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
5．设是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
6．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和：
(3)设，求数列的前项和．
7．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
8．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
含绝对值求和问题
给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时
如果数列为等差数列，为其前项和，那么有：
①若则有

②若则有
如果数列为等比数列，为其前项和，那么有：

已知各项都为正数的等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求.
已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的值.
在公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
1．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
2．设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
3．已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
4．已知正项等比数列满足是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
5．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
6．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
7．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
8．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.