专题12 三角形-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河南专用）

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1. （2024·河南·统考中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【详解】解：∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
2．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
3.（2022·河南·统考中考真题）15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】或##或
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
4.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为______ ．
【答案】12或2-3
【详解】解：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB边于点E，如图，
由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分线段DD'．
则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴BC=AC⋅tanA=1×tan60°=3．
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，
∴CE=32．
∴A'E=A'C-CE=1-32．
在Rt△A'D'E中，
∵cs∠D'A'E=A'EA'D'，
∴A'EA'D'=12，
∴A'D'=2A'E=2-3．
②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，
由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；
则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．
∵∠D'A'C=60°，∠A'CD'=30°，
∴∠A'D'C=90°，
∴A'D'=12A'C=12×1=12．
综上，线段A'D'的长为：12或2-3．
故答案为：12或2-3．
5.（2020·河南·统考中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，


如图，当落在上时，


由




故选
一、单选题
1．（2024·河南周口·一模）如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】如图所示，连接，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴是等边三角形
∵点是的中点，
∴
∴
∴
∴．
∴的最小值为6．
故选：C．
2．（2024·河南驻马店·二模）如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（ ）
A．B．5C．10D．
【答案】A
【详解】连接， 如图
∵，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，

故选： A.
3．（2024·河南新乡·三模）如图，在中，，按如下步骤作图，①以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·信阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
5．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【答案】D
【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出，
∴，
∵法线垂直于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故选：D．
6．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
，
．
故选：B．
7．（2024·扶沟·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）

图1 图2
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设蜡烛火焰的高度是，
，
，
由相似三角形的性质得到：，
解得．
即䇎烛火焰的高度是．
故选：B．
8．（2024·南阳·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
∴≌
∴，
∴．
故选：D．
9．（2024·新乡·二模）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴，；选项A、B正确；
∵，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵，，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴，选项D错误；

∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故选：D
10．（2024·鹤壁·三模）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
A．B．C．a-bD．b-a
【答案】C
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
11．（2024·驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，
，
∵，
∴与位似比为，
点的坐标是，点E在第一象限，
点E的坐标是，即，
∴点的横坐标是10．
故选：D．
12．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【详解】解：∵点，分別是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
13．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，已知点，，点在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如解图所示．
，
∵，，
∴．
由折叠的性质，可知，，．
∴．
∴在中，．
∴．
∴在中，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴点的坐标为，
故选：A．
二、填空题
14．（2024·河南新乡·一模）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ．
【答案】4
【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：4．
15．（2024·河南新乡·三模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为 ．
【答案】或/或
【详解】解：∵，，，，
∴，，，
∵
∴，
①当时，如图，过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴；
②当时，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
16．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ．
【答案】4
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，

∴，
∴在中，，
即．
故答案为：4
17．（2024·河南安阳·三模）如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，
∴．
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：5．
18．（2024·新郑·二模）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．

【答案】（2，3）
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．
19．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为 ．

【答案】6
【详解】解：取的中点G，连接，如图，

∵D是的中点，G是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
三、解答题
20．（2024·河南鹤壁·一模）喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系．
(1)请根据小明的思路完成以下作图与填空：
①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：．
证明：垂直平分，
______．
．
在中，，
，______．
．
______．
．
．
(2)通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______．
【答案】(1)①见解析；②，，
(2)2.5
【详解】（1）解：①作图如下：
证明：垂直平分，
．
．
在中，，
，．
．
．
．
．
故答案为：，，；
（2）解：设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴边上的中线长为2.5．
故答案为：2.5．
21．（2024·河南周口·二模）如图，一根电线杆垂直于地面，电线穿过电线杆顶点，一端固定在点，另一端固定在点．已知点距离地面，点距离地面，点，到电线杆的水平距离分别为与，从点看点的仰角为．
(1)求电线杆的高度．
(2)求电线的总长度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】(1)电线杆的高度为
(2)
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
由题意得：．
，
，
，
电线杆的高度为；
（2）解：如图2，过点作于点，
在中，，
，
，
电线的总长度．
22．（2024·河南周口·三模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答．
(1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______．
(2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：．
(3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)的长为或6
【详解】（1）解：设点P的坐标是，
由题意得：
∴，
解得：
∴点P的坐标是
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：；
（2）证明：，
，
．
在和中，，
，
，，
．
（3）解：是底角为的等腰三角形，，为的中点，
，．
①当时，如图1．
，，
．
又，
同理，
，
，，
，．
又，
，
；
②当时时，如图2．
，，
四点共线，
，
，
又，
是等边三角形，
综上所述，的长为或6．
23．（2024·许昌·二模）综合与实践
如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，．
(1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______；
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________．
【答案】(1)，
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析
(3)或
【详解】（1）解：∵在中，，，点为的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：
如图，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．
，，．
，
，，
，
，
，
，
又，
，
．
又，，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
又点是的中点，
，；
（3）解：如图所示，当点E在上方时，在的延长线上截取，连接，
同理可证，
，，
，
又∵，
∴在同一直线上，
由题意得，可得是等腰直角三角形，则，
又∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵点F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∴；
如图，当点E在下方时，在的延长线上截取，连接，
同理可证，
，，
，
又∵，
∴在同一直线上，
由题意得，可得是等腰直角三角形，则，
又∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵点F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，的长度为或，
故答案为：或．
24．（2024·河南驻马店·二模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动．
(1)问题发现
如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M．
请直接写出的度数为______；
(2)类比探究
如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究：
点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？
若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数；
(3)拓展应用
如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值．
【答案】(1)
(2)不变， 理由见详解
(3)长的最小值为，最大值为
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：不变， 理由如下：
∵在等边中，，
又由条件得．
，
，
；
（3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，
即的大小始终不变，
因此点的运动轨迹是过点三点的圆，
连接，连接并延长交于 ，交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值，
此时；
当圆心点和点之间时， 即时，有最大值，
此时．
25．（2024·河南周口·一模）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点A作于点D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
26．（2024·河南周口·二模）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题．
(1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______
(2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，连接，
，，D是的中点
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
证明：如图，延长到点G，使，连接，，
，，
垂直平分，
；
D是的中点，
，
在和 中，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
；
（3）解：如图，延长到点G，使，连接，，，
，，
垂直平分，
，
D是的中点，
，
在和 中，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，
在中，，，
，
设，则，
，
，
，
解得，
．
27．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
【答案】(1)等边对等角，
(2)①证明见解析；②
(3)或
【详解】（1）解：∵，D是的中点，
∴．
∴．（依据：等边对等角）
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴G是的中点，
∴为中位线．
∴，．
∴．
故答案为：等边对等角，；
（2）①证明：∵，，
∴，
又，
∴；
②如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴点为的中点．
在中，．
∵是中点，．
在与中，∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴；
（3）解：当时，过D作于H，

则，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，
则，
同理：，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，过M作于G，

则，
又，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的面积是为或．
故答案为：或．
28．（2024·河南安阳·二模）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明．
(1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
【答案】(1)①③
(2)详见解析
【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①；
故答案为：①③
（2）若添加①；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
若添加③；
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴．
29．（2024·河南商丘·二模）综合与实践
在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．
问题初探
（1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则____．
探究迁移
（2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：．
拓展应用
（3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1），，，
，
，，
，
D恰好为的中点，
，
，
将绕点D按逆时针方向旋转得到，
，，
；
（2）证明：如图，过点D作交于点H．
，，
．
，
，，
，，
．
将绕点D按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，，
．
又，，
，
，
，
．
（3）．
提示：如图，在上截取，连接．
平分，
．
又，
，
，
，
当M，，D三点共线，且时，有最小值，如图．
，，
．
由题可知，，．
，
．
，
，
，
．
又，
B，Q，D三点共线，
．
，
，，
，
，
，
，
．
30．（2024·河南郑州·三模）在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，．
(1)如图1，当，点P在内部时，探索与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；
(3)当时，若点E，F分别是，的中点，点P在直线上，当点C，P，D在同一直线上时，求的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，
(3)或
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
；
（2）解：如图中，设交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
∴直线与直线相交所成的小角的度数为；
（3）解：如图，当点在线段上时，延长交的延长线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，设，则，，
；
如图中，当点在线段上时，同法可证：，
设，则，，
，
；
综上所述：的值为或．