专题08 三角形与全等三角形【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

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1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
2．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
4．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
5．（2021·河北·中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．
故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
6．（2020·河北·中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．
7．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
8．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可
【详解】过点C作于，在上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；
点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，
点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）；
故选：B
【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称
9．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
10．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE＝ ．
【答案】 是 /
【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB与CD是垂直的，
故答案为：是；
（2）AB=2，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴，即，
∴，
∴AE=AB=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（ ）
A．5B．8C．9D．16
【答案】D
【分析】本题考查三角形边的性质，抓住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的规律即可求解．
根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别确定x的取值范围，再取交集，再由等腰三角形定义即可求解．
【详解】解：∵上面三角形的三边长分别为9，8，x，
∴，
即，
∵下面三角形的三边长分别为5，16，x，
∴，
即，
∴，
∵图中三角形有一个是等腰三角形，
∴x只能取16，
故选：D．
12．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下：
①量出；
②在点右侧取一点，使点满足；
③将向右翻折，向左翻折．
若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设，
，
，
将向右翻折，向左翻折，
，
符合三角形三边关系，
，
即，
解得，
解得，
故选D．
13．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有方法一可行B．只有方法二可行
C．方法一、二都可行D．方法一、二都不可行
【答案】C
【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行．
【详解】解：图2中，∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；方法一可行；
图3中，由题意知，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；方法二可行；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键．
14．（2024·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉先完成B．琪琪先完成
C．嘉嘉、琪琪同时完成D．无法判断
【答案】B
【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图所示标注字母，
∵攀爬点都是某个圆的八等分点．
∴由图得，，
∴比较与的大小即可，
在中，，
∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程，
∵他们同时出发且攀岩速度相同，
∴琪琪先完成，
故选：B．
15．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，，则m的值为5或6．
若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以．
故选：C．
16．（2024·河北廊坊·三模）数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程，线段是中线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查图形折叠的性质，三角形中线的定义，
根据作图分别分析选项可得，选项不可得是的中线；选项可得；选项可得是的中点；选项可得，由此可判断为正确答案．
牢固掌握三角形中线的定义，掌握图形折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：、沿折叠，点落在边上的点处，则是的中点，
不是的中线，故选项不符合题意；
、沿折叠，点落在边上的点处，
，不能得到，故选项不符合题意；
、沿折叠使点与点重合，
，
是的中点，
是的中线，故选项符合题意；
、沿折叠，点落在三角形外的点处，
，不能得到，
选项不符合题意；
故选：．
17．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，
图③中，线段是的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
18．（2024·河北邯郸·三模）观察发现：在三角形中，大角对大边，小角对小边．
猜想证明：
如图1，在中，．
求证： ．
证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2．
∴，
∴（②）．
在中，（③），
∴（④），
∴．
列说法不正确的是 （ ）
A．①处的垂直平分B．②表示等角对等边
C．③表示三角形的两边之和大于第三边D．④表示等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可判断①，根据等腰三角形的性质可判断②，根据三角形的三边关系可判断③，根据等量代换可判断④，从而可得答案．
【详解】证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2．
∴，
∴（②）．
在中，（③），
∴（④），
∴．
①处的垂直平分；②表示等角对等边；③表示三角形的两边之和大于第三边；都正确，不符合题意；
④表示等量代换，故④不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系的应用，等量代换，掌握基础知识是解本题的关键．
19．（2024·河北秦皇岛·一模）在中，只用无刻度直尺和圆规比较与的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法：
方法一：作的高和角平分线，若点在线段上，则说明．
方法二：作边中垂线，若与边相交（不包括点），则说明
下列说法正确的是（ ）
A．方法一可行，方法二不可行B．方法二可行，方法一不可行
C．两种方法都可行D．两种方法都不可行
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，分别画出图形，结合角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理进行判断即可得出答案．
【详解】解：方法一：如图所示，
平分，
，
，
，
，，
，，
，，
；
方法二：如图所示，
垂直平分，
，
，
，
；
综上所述，两种方法都可行，
故选：C．
20．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，，为边上一动点（不与，两点重合），连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，则点与点之间的距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．
点沿运动时，当折叠落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断．
【详解】如图所示，连接，
根据折叠的性质，我们可以得到，
，
，
根据三角形三边关系，
可以得到，
当折叠落在时，
此时为最小值，
故取值范围为：
故选：D
21．（2024·河北邯郸·三模）如图，将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
22．（2024·河北邯郸·三模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（ ）．
A．B．C．D．无法比较与的大小
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
先由旋转的性质得，再由三角形外角性质即可求解．
【详解】解：由旋转可得：，
∴，
∵，
∵，
∴，即．
故选：A．
23．（2024·河北石家庄·三模）如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（ ）
甲的作法： 乙的作法： 丙的作法
A．只有甲对B．只有乙和丙对C．只有甲和丙对D．甲，乙，丙都对
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图以及圆周角定理，三角形内角和性质，平角概念，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据垂直平分线得出，结合等边对等角即可判断甲；根据圆周角定理得出，结合平角概念进行列式计算，即可判断乙；作一个角等于已知角，结合，即可判断丙；即可作答．
【详解】解：∵甲的作法是做的垂直平分线
∴
∵
∴
则甲对；
∵乙的作法：作的垂直平分线，且以为直径作圆
∴
∴
则乙对；
丙的作法是作
∴
则丙对；
故选：D．
24．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确D．两人都错误
【答案】A
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
25．（2024·河北张家口·三模）如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是（ ）

A．只有甲可以B．只有乙可以C．甲、乙都不可以D．甲、乙都可以
【答案】D
【分析】本题考查尺规作图，根据垂直平分线的性质、角平分线的性质证明即可．
【详解】如图

甲：由作图可得：是的垂直平分线，
∴
∴是等腰三角形；
乙：由作图可得：是的角平分线
∴
∵
∴是等腰三角形；
故选：D．
26．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（ ）．
A．只有①B．①②都对C．只有②D．①②都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据它们的性质分别证明即可得出答案．
【详解】解：①当时，如图，
∵是的平分线，
∴
∴是线段的垂直平分线，
∵点是上的一点，
∴，故①正确，
②当时，过点作垂足分别为如图，
∵是的垂直平分线，
∴
连接，则,
∴与重合，
∴是的平分线，
∴故②正确，
综上，正确的结论是①和②，
故选：B．
27．（2024·河北邯郸·三模）如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，长为半径画弧；
（2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接，与交于点E，连接．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分．
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
利用作法可判断垂直平分，则可对②③进行判断；利用“”可对①进行判断；通过说明可对④进行判断．
【详解】解：由作法得，
则垂直平分，点与点关于点对称，
而点与点不关于对称，所以②错误，③正确；
利用为公共边，
所以，所以①正确；
由于与不平行，
则，
而，
则，所以④错误．
故选：B．
28．（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（ ）
A．甲错乙对B．甲对乙错C．甲、乙都对D．甲、乙都错
【答案】C
【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确．
【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确．
根据作图可得，则
利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确；
∵
∴，
∵是角平分线，
∴
又∵
∴
∴
故选：C．
29．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答．
【详解】过作轴于点E，如图，连接，
根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，
即垂直平分线段，
∴，
∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，
∵，
∴，
∴在等边中，，，
∴，
∴在中，，
∵垂直平分线段，，
∴在等边中，，
∴，
∴根据旋转可得：，
∴，
∴，
∴点A的对应点的横坐标是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识，
30．（2024·河北唐山·二模）如图，在等边中，，，，则（ ）

A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质得出，，进而利用平行线的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：三角形是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
31．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答．
【详解】由题意可知，，
又，且点D为边的中点，
．
故选：A．
32．（2024·河北石家庄·二模）如图，，，与交于点C，点D是的中点，．若，，则的长是（ ）

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，
，
点D是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
33．（2024·河北唐山·三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，求得正方形的面积为．
【详解】解：由题意可得，
由正方形、、的面积依次为、、，
得，
求得正方形的面积为．
故正确
故答案为：
34．（2024·河北保定·二模）如图，等边的顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，将沿着数轴正半轴滚动，且每次滚动后，的边都落在数轴上，则下列说法错误的是（ ）
A．滚动一次后，点C落在数轴上表示“1”的点处
B．的顶点不可能和数轴上表示“16”的点重合
C．滚动五次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“7”和“9”
D．在滚动过程中，顶点A可与数轴上表示“101”的点重合
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质，数轴两点的距离，图形规律的探究，根据顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，即可得到等边三角形的性质，进而得到每滚动一次，所在数轴上两点的距离都为2，即的顶点和数轴上表示“（n为正整数）”的点重合，据此逐一判断即可．
【详解】解：等边的顶点A，B在数轴上，表示的数分别为和，
即，
，
每次滚动后，的边都落在数轴上，
每滚动一次，所在数轴上两点的距离都为2，
的顶点和数轴上表示“（n为正整数）”的点重合，
A、，滚动一次后，点C落在数轴上表示“1”的点处，故正确，不符合题意；
B、，解得：，
n不为正整数，
的顶点不可能和数轴上表示“16”的点重合，故正确，不符合题意；
C、，
滚动五次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“7”和“9”，故正确，不符合题意；
D、在滚动过程中，每滚动三次，同一个顶点会落在数轴上，
点在滚动过程中，表示的数为，
，
解得，n不为正整数，
在滚动过程中，顶点A不可与数轴上表示“101”的点重合，故错误，符合题意；
故选：D．
35．（2024·河北石家庄·三模）已知等边三角形，边长为2，点P在边上，点P关于边的对称点为M，N，线段的长范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了 解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识点，利用辅助线构造特殊直角三角形是解题的关键．连接交于，连接交于，过点作于点，设，则，，，根据等边三角形的性质结合轴对称的性质可得出、的长度，进而得出、的长度，利用勾股定理得出的表达式，最后根据二次函数的性质求取值即可；
【详解】如图2，连接交于，连接交于，过点作于点，
设，
是等边三角形，，
∴，
，则，，，
点关于直线、的对称点分别为、，
，，
又，，
∴
，，
则，
，
当时，有最小值为3，当或2，有最大值为，
故选：C；
36．（2024·河北邯郸·二模）在中，，，点D在直线AB上，，则的度数是（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内和与外角和的性质等知识点，分两种情况，当D在的延长线上，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，即可得到；当D在延长线上，由等腰三角形的性质求出，即可得到，于是即可得到的度数，熟练掌握其性质，分两种情况讨论是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，，
如图，当D在的延长线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当D在延长线上，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数是或．
故选：B．
37．（2024·河北石家庄·一模）对于题目：“在中，，分别以A，B为圆心，以长为半径的两条弧相交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（ ）
A．淇淇说得对，的另一个值是B．淇淇说的不对，只能等于
C．嘉嘉求的结果不对，应等于．D．两人都不对，应有3个不同的值
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等，画出图形，注意分情况讨论是解题的关键．根据题意画出图形，分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：中，，
，
∴；
如图，当点在上方时：
由作图可知：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在下方时：
同理：，
；
∴淇淇说得对，的另一个值是，
故选A．
38．（2024·河北沧州·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，．
强强得出的结论是：当时，；
晴晴得出的结论是：当时，；
琪琪得出的结论是：当时，．
根据这三个人的结论，判断下面说法正确的是（ ）
A．只有强强和琪琪得出的结论都对B．只有强强和晴晴得出的结论都对
C．只有晴晴和琪琪得出的结论都对D．这三个人得出的结论都对
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线作图，角平分线性质，全等三角形判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐项判断即可．
【详解】解：由作图过程可知，平分，
，
，，
，
故强强得出的结论是正确的，符合题意；
，
，
，
，
故晴晴得出的结论是正确的，符合题意；
而当时，得不到．
故琪琪得出的结论是错误的，不符合题意；
综上所述，只有强强和晴晴得出的结论都对．
故选：B．
39．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到．
（1）的面积为 ；
（2）阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键：
（1）借助网格求面积即可；
（2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可．
【详解】解：（1）的面积为：；
故答案为：；
（2）设与的交点为，与的交点为，
根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上，
∴点G和点H是两个相邻格点的中点
∴，，
由平移的性质可知，，
∴，
，
，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
40．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则
【答案】 /90度
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出，
【详解】解：由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：；．
41．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
(1)求证：．
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
（1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度数为．
42．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
【答案】 ； ．
【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解；
本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】（）阴影部分的面积是，
故答案为：；
（）由题意得：，图中是梯形，
∵，，高为，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
两式相加得：，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可知：阴影部分面积为，
故答案为：．
43．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，，
(1)如图，若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到内的点处，求证；
(2)在图中，在旋转过程中，
①当，，三点在同一直线上时，求的长．
②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，直接写出的长__________．
【答案】(1)证明见解析．
(2)①或；
②或．
【分析】（1）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明；
（2）①分两种情况求解：当为上的点；当为上的点；
②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边．
【详解】（1）解：根据旋转性质可得：，，
是等腰直角三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）解：①当，，三点在同一直线上时，有两种可能：
点为上的点，此时；
点为上的点，此时．
故当，，三点在同一直线上时，或．
②，，
即，
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能：
、是直角边，此时；
是直角边，是斜边，此时．
故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或．
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定．
44．（2024·河北唐山·二模）等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使．
(1)如图1，延长到点，使，连接，．
①求证：；
②若，求的度数；
(2)如图2，连接，若，，则__________．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)
【分析】（1）①证明全等得，再根据平行线的判定可得出结论；
②延长交的延长线于，根据等边三角形性质得，，进而可求出，再由①，得，由此得，据此可得的度数；
（2）延长到是，连接，，先求出，，由勾股定理得，根据得，再根据，得，然后由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）①证明：在和中，
，
，
，
∴；
②解：延长交的延长线于，如图1所示：
为等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，
由①可知：，
，
，即，
又，
，
；
（2）解：延长到是，连接，，如图2所示：
由（1）②可知：，
为等边三角形，且边长为2，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
由（1）①可知：，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
45．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、．
填空：
（1）①线段、的数量关系为 ．
②线段、的位置关系为 ．
推广：
（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3）2或6
【分析】（1）根据平分，和旋转的性质，可以证明，可证垂直平分线是，即可解决问题；
（2）结论不变．如图②中，只要证明，即可解决问题；
（3）分点D在线段上，点D在线段的延长线上时，两种情形讨论，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图①中，
∵平分，
∴，
∵由旋转可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线是，
∴．
故答案为：，；
（2）结论：（1）中的结论仍然成立．
理由：如图②中，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线是，
∴；
（3）①如图，
当点D在线段上时，
∵在等边三角形中，．作平分交于点，
∴，，
，
由旋转可知，，
是等边三角形，
，
，
∴；
∴垂直平分线是，
，
，
，
，
，
，
在中，，即，
（负值舍去），
；
②如图，
当点D在线段的延长线上时，
同理可得：是等边三角形，垂直平分线是，即，
，
，
，
，
，
在中，，即，
（负值舍去），
；
综上，的长度为2或6．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形及证明等边三角形解决问题．嘉嘉：
作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心
淇淇：
作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心