(2020-2022)中考数学真题分类汇编专题12 三角形（教师版）

这是一份(2020-2022)中考数学真题分类汇编专题12 三角形（教师版），共66页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题12 三角形
一、单选题
1．（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（　　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】
利用三角形具有稳定性直接得出答案．
【详解】
解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．
2．（2022·广西玉林）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是(     )


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
【详解】
解：如图所示，过点A作AO⊥BC，


用刻度尺直接量得AO更接近2cm，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．
3．（2022·江苏宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（       ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（2022·湖南邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（       ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5．（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
【详解】
解：A、，不能组成三角形，此项不符题意；
B、，不能组成三角形，此项不符题意；
C、，能组成三角形，此项符合题意；
D、，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
6．（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7．（2021·四川宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】
根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
8．（2021·山东泰安）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
9．（2020·山东淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（        ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．（2020·广东深圳）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
【点睛】
本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
11．（2020·福建）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（   ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】
∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
12．（2020·四川巴中）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．
【详解】
解：∵，AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．
13．（2020·广西贺州）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
【分析】
先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
则在中，，
故选：A．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
14．（2020·四川广安）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）

A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】
解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】
此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
15．（2020·山东济南）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，

∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2020·山东烟台）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（       ）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【分析】
由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
【详解】
解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝＝1.7，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．
17．（2020·山东淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（        ）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
18．（2020·湖南益阳）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
19．（2021·广西河池）如图，，是的外角，，则的大小是（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的外角性质直接求解即可．
【详解】
是的外角，，，
．
．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．
20．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
21．（2021·广西贵港）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】
解：如图，取的中点，连接，．

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
22．（2021·辽宁本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】
平分,,
,

点F为的中点

的周长为:

故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
23．（2022·青海）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（       ）

A．5 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
【详解】
解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．
24．（2022·辽宁大连）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（       ）

A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【分析】
由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可得，从而可得答案．
【详解】
解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，

∴
∵，

∴
∴


故选C
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题的关键．
25．（2022·湖南）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】
解：将绕点顺时针旋转得，连接，

，，，
是等边三角形，
，
∵，，
，
，
与的面积之和为
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
26．（2022·黑龙江）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（       ）

A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【分析】
连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
【详解】
解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．

【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
27．（2022·四川乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（       ）

A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】
先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】
解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，

∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
28．（2022·内蒙古包头）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（       ）


A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】
如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案．
【详解】
解：如图，过作于


由，

结合旋转：

为等边三角形，



∴A到的距离为3．
故选C
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
29．（2021·内蒙古鄂尔多斯）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
二、填空题
30．（2022·云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
【答案】40°或100°
【分析】
分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
31．（2022·青海西宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=________．

【答案】
【分析】
根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，据此即可求解．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，
则∠BAC=60°，AC=3，BC=3，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，
则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3，
∴∠C′AE=45°，
而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形，
∴AC=AC′=EC′=3
∴B′E= B′C′- EC′=33．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
32．（2021·吉林长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为_______度．

【答案】
【分析】
根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解．
【详解】
设交于点G








故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．
33．（2020·湖北）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______．

【答案】
【分析】
由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】
解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
34．（2020·山东日照）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．

【答案】25°##25度
【分析】
延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．
【详解】
解：如图，延长EF交BC于点G，

∵直尺，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3＝65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
35．（2020·江苏常州）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．

【答案】30
【分析】
根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
36．（2020·辽宁辽宁）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．

【答案】2
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
37．（2021·新疆）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．

【答案】
【分析】
由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．
【详解】
解：,
,
垂直平分


．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．
38．（2021·山东聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．

【答案】
【分析】
由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴，
∴，
∴CE：AD：BF=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
56．（2022·北京）如图，在中，平分若则____．

【答案】1
【分析】
作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：如图，作于点F，

∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．
39．（2022·山东青岛）如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）
①
②点E到的距离为3
③
④

【答案】①④##④①
【分析】
根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④
【详解】
解：∵
∴，故①正确；
如图，过点作于，于，


，
平分，
，
是的角平分线，
，
，
，故②不正确，
.将沿折叠使点C与点E恰好重合，
，
设，则，
中，，．
，
解得，
故③不正确，


设，则，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①④
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三线合一，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
40．（2022·河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．

【答案】或##或
【分析】
连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】
如图，连接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，

在中，

故答案为：或．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
41．（2022·青海西宁）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________．
【答案】或
【分析】
分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°，
分两种情况：
当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示：

∵∠BAD=90°，
∴PE==5；
当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示：

∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴PB==4，
∴底边AP=；
综上，等腰三角形AEP的底边长是或
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
42．（2022·辽宁锦州）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．

【答案】
【分析】
先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从而求得的面积．
【详解】
解：如下图所示，设与交于点O，连接和，


∵点D为的中点，，
∴,，是的角平分线，是，
∴，
∴
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∵，
∴
∴，,
∴ ．
【点睛】
本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键．
43．（2022·广西贵港）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．

【答案】
【分析】
先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数．
【详解】
解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°；
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
44．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．


【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）．

【答案】370
【分析】
延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解．
【详解】
解：如图，延长交于点，连接，


，，，
，，

是等边三角形，
,
,
在中，，，
，，
，
中，，，
，


，
，
中，

是等腰直角三角形

由阅读材料可得，
路线的长比路线的长少．
故答案为：370．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．
45．（2022·湖北荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______．

【答案】
【分析】
先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】
解： ，

如图，连结
由作图可得：是的垂直平分线，







故答案为：
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
三、解答题
46．（2022·贵州铜仁）如图，点C在上，．求证：．

【答案】见解析
【分析】
直接根据一线三垂直模型利用AAS证明即可．
【详解】
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
47．（2022·吉林）如图，，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】
先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得．
【详解】
证明：在和中，，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
48．（2022·广西柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)见解析
【分析】
(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
(1)
解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
(2)
证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
49．（2021·贵州铜仁）如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）


（1）你选的条件为____________、____________，结论为____________；
（2）证明你的结论．
【答案】(1)，，；(2)见解析
【分析】
(1)选择，作为条件，可得到结论；
(2)利用对顶角相等，得到，再由角角边证明△AOC≌△BOD即可．
【详解】
解：(1)选择的条件为，，需要证明的结论为：；
(2)由对顶角相等可知：，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形的判定方法是解决本题的关键．
50．（2021·广西柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．


证明：在和中，

∴
∴____________
【答案】，，，
【分析】
根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．
【详解】
证明：在和

∴
∴
【点睛】
本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．
51．（2020·四川广安）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和．
　　　　　　　　　
【答案】作图和对应的四边形两条对角线长度的和见解析
【分析】
根据三线合一即可求出BD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，然后根据拼成不同的四边形分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理结合网格分别求出对角线的长即可求出结论．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，AD是BC边上的高，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度
∴BD=BC=3个单位长度
∴AD=个单位长度
①按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AC=4个单位长度，另一条对角线BC=个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度
故答案为：个单位长度；
②按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AB=5个单位长度，另一条对角线CD=5个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为10个单位长度
故答案为：10个单位长度；
③按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线BD=3个单位长度，另一条对角线AC=个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度
故答案为：个单位长度．
④按如下图所示拼成的四边形，

一条对角线BD=个单位长度，另一条对角线AC=2×=个单位长度
∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度
故答案为：个单位长度．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题和四边形的拼法，掌握三线合一、利用勾股定理求网格中线段的长是解题关键．
52．（2020·广西柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．

【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定．全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，H.L．
53．（2020·辽宁鞍山）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】
连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
54．（2020·吉林）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接．

求证：．
【答案】证明见详解
【分析】
根据SAS即可证得．
【详解】
证明：∵，
∴∠A=∠EDB，
在△ABC和△DEB中，
，
∴（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
55．（2022·青海西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．

【答案】(1)
(2)
(3)，9
【分析】
（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，∴根据题意得，，∴原式．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
56．（2022·甘肃兰州）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．


小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0

请你通过计算，补全表格：______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；


(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
(4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
【答案】(1)3.2
(2)答案见解析
(3)y随x的增大而减小
(4)1.67
【分析】
（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图像；
（3）根据图像直接得出结论；
（4）利用表格和图像估算出AM的长度．
(1)
解：如图，


在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，
过点C作CM'⊥AB于M，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，
∴CM'＝，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝，
当a＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
(2)
解：如图所示，


(3)
解：由图像知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
(4)
解：如图，直线OD的解析式为，


借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键．
57．（2022·山东青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．


【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】
（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
(1)
解：如图，过点A作AE⊥BC，


则，
∵AE=AE，
∴．
(2)
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
(3)
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
58．（2021·贵州黔西）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．

（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（3）正确，见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；
（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°
【详解】
解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
（2）由（1）可知△ABD≌△ACE
则∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFE＝120°，
过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，
∴由面积相等可得AM＝AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．
59．（2021·广西河池）如图，是的外角．

（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）若，求证：．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）正确地利用尺规作出AE即可；
（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.
【详解】
解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；

（2）∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，
∵AE是∠CAD的角平分线，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
【点睛】
本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
60．（2021·贵州黔东南）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．


【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；
（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，

∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．
∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，
∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，
∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．