辽宁省鞍山市高新区2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省鞍山市高新区2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷（原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，试卷满分120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
2. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 图①和图②主视图相同B. 图①和图③主视图不相同
C. 图①和图③左视图相同D. 图①和图④俯视图相同
5. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 4
7. 如图，将一个含角的三角尺放在直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，顶点分别在反比例函数和上的图象上，则的值为（ ）
A. B. 12C. D.
8. 如图，平面内有一点；用尺规按①到③的步骤操作：①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作直线，交半圆于点；③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接．结论I：点为的中点；结论Ⅱ：四边形为菱形．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为8，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________．
12. 在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼战机亮相进行了飞行表演．歼作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目．它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径能达到1350000米，可以实现滑跃起飞和弹射起飞的不同版本打造．数据1350000用科学记数法表示为___________．
13. 如图，在中， ，，是的中点，分别以、为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是___________．
14. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，是第一象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接，交直线于点．则的最大值为___________．
15. 如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为______．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？
18. 为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人；
（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
19. 一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）两地之间距离是_____________ ，_____________；
（2）结合图象，求线段所在直线的解析式？
（3）货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案）
20. 如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上．
（1）求灯杆高度；（结果保留根号）
（2）求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
22. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；
（2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上E点处．若，，求的长；
（3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”．
（1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号）
① ② ③ ④
（2）在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式；
（3）已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式；
（4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．