辽宁省鞍山市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省鞍山市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）．
1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程；
B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程；
D、方程，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
故选：A．
2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.是中心对称图形；
B.不是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选A．
3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
，故选：A．
4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点．
故选：A．
5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
又．
∴，且．
故选：C．
6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，，，
，故D选项正确；
，
，，，故A、C选项正确，
，故B选项结论错误，
故选：B．
7. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】∵方程的两个根为，
∴，
∴，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点B的对应点记为点，过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图，
则，
∴，
由旋转的性质可得出：，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵A，B两点的坐标分别为，，
∴，
∴，，
即点．
故选∶A．
9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”

若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论：
①；
②四边形是菱形；
③△BDG的面积是；
④；其中正确是（ ）
A. ①②③④B. ①②④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】四边形是正方形，
，，，
由旋转可得：，，，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，
≌，
，
，故①正确；
≌，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，故②正确；
，，
，
，
，
，
，故③正确；
根据正方形的性质可求出，
，
，
故④正确；
综上可知，①②③④都正确．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】，
移项得 ，
因式分解得 ，
∴或，
∴．
故答案为：
12. 如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________．
【答案】
【解析】，都是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
13. 已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为___________．
【答案】14或16
【解析】，
，
，
或，
，
∵是等腰三角形，
∴或，
∴或，
①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
②当等腰三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
综上，这个三角形的周长为14或16，
故答案为：14或16．
14. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______．
【答案】11
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：11．
15. 关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________．
【答案】
【解析】令，则方程可转化为，
∵关于的方程的解是（为常数，），
∴关于的方程的解是，
∴或，
∴或，
∴方程的解是，
故答案为：．
三、解答题（共75分，第16题10分，第17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分）
16. 按规定方法解方程：
（1）；（公式法）
（2）； （因式分解法）
（1）解：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
∴或
∴．
17. 在如图所示的正方形网格中有，，．
（1）试在图中作出以为旋转中心，顺时针方向旋转后的图形；
（2）若点的坐标为，点的坐标为，是关于点中心对称的图形，请在图中画出平面直角坐标系与并写出两点的坐标．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，平面直角坐标系与即为所求．
则由图可知，．
18. 已知：关于的方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根．
（1）解：，
∴，
∵方程总有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一个根为3，
∴，
解得，
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为1；
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为9；
∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9．
19. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
（1）解：由旋转的性质得，，，
等边三角形，
，
，
即，
为等边三角形，
；
（2）解：由旋转的性质得，，，
为等边三角形，
，
，
，
中，由勾股定理得：．
20. 2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个．
（1）求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率；
（2）从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？
（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得：
，
解得：，
∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：每个钥匙扣应降价8元．
21. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证：
（1）
（2）．
（1）证明：，
，
即，
又，
；
（2）证明：，
，
又，
，
，
．
22. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．问题情境：在菱形中，，为边上一点（与点不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为．
操作感知：（1）取，如图1，射线与射线交于点，请你补全下面两个问题的答案：
①线段与的数量关系是________________；
②线段的数量关系是__________________；
猜想论证：（2）取，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段与的数量关系与（1）①相同…
但线段的数量关系好像不再成立…
我发现线段之间好像具有与（1）②类似的数量关系…
请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明．
拓展探究：（3）测量得到，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边所在直线上时，请你直接写出的值．
解：（1）①∵在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
②由上已得：是等边三角形，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2），证明如下：
如图，在上截取，连接，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）∵旋转角为，
∴分以下三种情况：
①当点落在菱形的边所在直线上时，
如图，过点作于点，
∵在菱形中，，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴在中，；
②当点落在菱形的边所在直线上时，
如图，过点作于点，过点作于点，连接，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在中，；
③如图，当点落在菱形的边所在直线上时，
∴，
∴；
综上，的值为7或25或．
23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
【初步思考】
（1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________．
【尝试应用】
（2）若关于的一元二次方程为
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标；
②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为．
③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
观察下列式子：解：
∵
∴
∴的最小值是4
请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值；
拓展提高】
（3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由．
解：（1），
因式分解，得，
解得（满足），
则这个方程的衍生点的坐标为，
故答案为：．
（2）①∵这个方程根的判别式为，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
，
因式分解，得，
解得（满足），
∴该方程的衍生点的坐标为．
②∵该方程的衍生点的坐标为，
∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为，
故答案为：．
③∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为7．
（3）将代入直线得：，
∴直线的图象经过定点，
要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，
则关于的方程的两个根为，
∴，
∴，，
故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，．/元
3
6
/个
460
520