辽宁省鞍山市铁东区鞍山市第二中学2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省鞍山市铁东区鞍山市第二中学2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了 下列计算正确是等内容，欢迎下载使用。
1. 稀土是钪、钇、镧系种元素总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年我国稀土勘探在四川凉山取得新突破，预期新增稀土资源量万吨．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 9
7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）
A B. 或C. 或D.
9. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共5小题15分）
11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是_________
12. 如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为_________．
13. 如图，正方形的边长为6，边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点在第一象限内，反比例函数的图象与正方形的两边，分别相交于点，．若的面积为10，则的值为______．
14. 如图1，在正方形中，动点P以1cm/s的速度自D点出发沿方向运动至A点停止，动点Q以2cm/s的速度自A点出发沿折线运动至C点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记的面积为，且S与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为_____cm2．
15. 如图：在四边形中，，，点在线段上移动，且，与相交于点，若，，与相交于点，三角形中，，则的正弦值为________．
三．解答题（共8题）
16. （1）计算：；
（2）化简求值：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点．

（1）求的值；
（2）求的面积．
18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：，部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全频数分布直方图；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19. 某村为了提高广大农户生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元．
（1）分别求出与，与之间的函数解析式；
（2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价；
（3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元．
20. 小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
（1）求的大小；
（2）求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，，）
21. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的长为，求图中阴影部分的面积．
22. 实践操作：
（1）在矩形中，，，点在上，连接绕点顺时针旋转90度点的对应点恰好在上．求的值；
（2）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点在上，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原，当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并求当时的菱形的面积；
拓展延伸：
（3）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点，折痕为，点与点重合，点在直线上且，线段与射线交于点，射线与射线交于点．直接写出线段的长度．
23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
鞍山二中2025年02月26日九年数学验收
一．选择题（共10小题30分）
1. 稀土是钪、钇、镧系种元素的总称，素有“工业味精”之美誉，是我国重要的战略矿产资源．年我国稀土勘探在四川凉山取得新突破，预期新增稀土资源量万吨．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示数，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数，的值与小数点移动的数位相同，据此即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可．
【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、幂乘方、单项式的除法、同底数幂的乘法等知识．根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B
4. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意；
故选：C．
5. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，解分式方程等知识点，根据概率公式正确列出方程是解题的关键．
根据“概率所求情况数与总情况数之比”，列方程求解即可．
【详解】解：设黄球的个数为个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
即：黄球的个数是个，
故选：C．
6. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例可得，进而可求解，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【详解】五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
，即：，
解得：，
故选C．
7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键．
根据题意列方程组即可．
【详解】解：根据题意列方程组得，，
故选： A．
8. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比解答即可．本题考查了位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比，熟练运用位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵以点为位似中心，把缩小为原来的，点的坐标为，
∴当在原点的同侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴当在原点的两侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴点的坐标为或，
故选．
9. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，过点B作轴于C，则，进而可得，求出，据此可得答案．
【详解】解：∵点A坐标为，
∴，
如图所示，过点B作轴于C，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点B的横坐标为，
故选：D．
10. 如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由长方形和可得，再根据作图可得直线是线段的垂直平分线，得出的度数，再利用求出的度数，最后在利用三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图，连接，
长方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由作图可得，直线是线段垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
．
故选：A．
二．填空题（共5小题15分）
11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是_________
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：设方程的两个实数根为，，
则，
∴，
令，即，
解得：，
∵方程有实数根，
∴，
即：，
综上所述：．
故答案为：1．
12. 如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键．
连接，由旋转的性质可得，，，，进而可得是等边三角形，于是可得，，则，即是直角三角形，由勾股定理可得，由此即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
由旋转的性质可得：，，，，
是等边三角形，
，，
，
为直角三角形，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
13. 如图，正方形的边长为6，边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点在第一象限内，反比例函数的图象与正方形的两边，分别相交于点，．若的面积为10，则的值为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
首先得到，设，，根据代入求解即可．
【详解】∵正方形的边长为6，
∴
设，，
∴，，，
∵的面积为10，
∴
∴
解得
∵反比例函数的图象在第一象限
∴．
故答案为：24．
14. 如图1，在正方形中，动点P以1cm/s的速度自D点出发沿方向运动至A点停止，动点Q以2cm/s的速度自A点出发沿折线运动至C点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记的面积为，且S与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为_____cm2．
【答案】
【解析】
【分析】由图1和图2可知：动点P沿方向运动，动点Q沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点Q运动到点B时，的面积逐渐最大，最大面积是 ，当动点Q沿方向运动，的面积逐渐变小，设正方形的边长为acm，运动了t秒的面积最大，由题意可知：，得，，当时，，点Q在线段上，由三角形面积的求法，即可得答案．
【详解】解：由图1和图2可知：动点P沿方向运动，动点Q沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点Q运动到点B时，的面积逐渐最大，最大面积是，当动点Q沿方向运动，的面积逐渐变小，
设正方形的边长为acm，运动了t秒的面积最大，由题意可知：
，
当，的面积最大，
，
，（舍去），，
当时，，
，可知点Q在线段上，
，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的应用，三角形的面积，解题的关键是求出的面积最大时，，判断点Q在线段上．
15. 如图：在四边形中，，，点在线段上移动，且，与相交于点，若，，与相交于点，三角形中，，则的正弦值为________．
【答案】或
【解析】
【分析】设，则，根据题意得出，则有，由得到，得出是等腰直角三角形，进而推出，得到，再利用三角形的内角和定理得出，得到，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：，
设，则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，；
①当，即时，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
在中，；
②当，即时，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
在中，；
综上所述，的正弦值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，结合题目条件找出图中的等腰三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生．
三．解答题（共8题）
16. （1）计算：；
（2）化简求值：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简，负指数幂，零次幂，分式的混合运算，掌握二次根式的化简，分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）化简二次根式，负指数幂，零次幂，再根据加减法即可求解．
（2）首先计算括号内的部分，并将除法转化为乘法，然后根据分式乘法运算法则计算求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点．

（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）将代入得，，计算求解即可；
（2）由题意知，点横坐标为，则点横坐标为，当，，可知，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，解得；
∴的值为12；
【小问2详解】
解：由题意知，点横坐标为，
∴点横坐标为，
当，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为9．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于求出坐标．
18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌的情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：，部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全频数分布直方图；
（2）求所抽取学生成绩的中位数；
（3）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】（1）7，补全图形见解析
（2）85 （3）120
【解析】
【分析】本题主要考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出C等级的人数，并补全频数分布直方图；
（2）根据中位数定义求解即可；
（3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可得出结论．
【小问1详解】
解：（人）
C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个，即84，85，
所以，中位数是；
【小问3详解】
解：（人），
即估计成绩为A等级的人数为120人．
19. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元．
（1）分别求出与，与之间的函数解析式；
（2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价；
（3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元．
【答案】（1）；
（2）该食品的售价为30元/千克
（3）售价为35元时，每天获利最大为1350元
【解析】
【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出；
（2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求；
（3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为：，
把，代入得，
解得，
与函数关系式为：

即
【小问2详解】
解：由题意得，，
整理得，
解得，
答：此时水果的售价为30元/千克；
【小问3详解】
解：，
解得，
，
，对称轴为直线，
∴该图象开口向下，
在时，随的增大而增大，
时，取最大值，此时（元），
答：售价为35元时，每天获利最大为1350元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20. 小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
（1）求的大小；
（2）求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）根据，求出，然后结合即可求解；
（2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
21. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的长为，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
的长为，，
，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
22. 实践操作：
（1）在矩形中，，，点在上，连接绕点顺时针旋转90度点的对应点恰好在上．求的值；
（2）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点在上，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原，当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并求当时的菱形的面积；
拓展延伸：
（3）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点，折痕为，点与点重合，点在直线上且，线段与射线交于点，射线与射线交于点．直接写出线段的长度．
【答案】（1）；（2）证明见解析，菱形的面积为；（3）线段的长度为或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形与折叠，旋转的性质，勾股定理等知识点；
（1）由矩形和旋转可证明，， ，求出，再利用勾股定理计算的长度即可；
（2）由折叠可得垂直平分，得到，，，再证明得到，即可得到，则四边形为菱形，设，当时，，
在中，由勾股定理列方程求解即可；
（3）根据点在线段和线段外分情况讨论，由折叠可得，，，得到，得到，再代入解方程即可．
【详解】解：（1）∵矩形中，，，
∴，，，
∵绕点顺时针旋转90度，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，，
∴，
由折叠可得垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
设，
当时，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴菱形的面积为：；
（3）∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
当点在线段上时，如图，，
由折叠可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴，
解得；
当点在点下方时，如图，，
由折叠可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，线段的长度为或．
23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线解析式；
（3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①③ （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可；
（2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解；
（3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可
【小问1详解】
解：①联立，解得：，
∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意；
③联立，即，
解得：
故②不合题意；
④联立，解得：，
∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确；
综上分析可知，正确的是①③．
故答案为：①③．
【小问2详解】
解：
解得：
依题意经过，则①
联立
∴
∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，
∴②
联立①②得
解得：
∴抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：联立
即
依题意，，
∴
∴，
当，即时，在处，w有最小值，
∴，解得：（舍去），（舍去），
当时，即时，w有最小值1，
∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意；
当时，在处，w有最小值t，
∴，解得：（舍去），，
综上所述：或
【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上．
问题
鹅卵石的像到水面的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得．
数据
，．
问题
鹅卵石的像到水面的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得．
数据
，．