辽宁省鞍山市高新区2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省鞍山市高新区2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，未知，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．图①和图②主视图相同B．图①和图③主视图不相同
C．图①和图③左视图相同D．图①和图④俯视图相同
4．如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．9B．6C．3D．4
6．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为8，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、未知
8．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，将一个含角的三角尺放在直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，顶点分别在反比例函数和上的图象上，则的值为（ ）
A．B．12C．D．
10．如图，平面内有一点；用尺规按①到③的步骤操作：①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作直线，交半圆于点；③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接．结论I：点为的中点；结论Ⅱ：四边形为菱形．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，则的度数为 ．
12．在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼战机亮相进行了飞行表演．歼作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目．它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径能达到1350000米，可以实现滑跃起飞和弹射起飞的不同版本打造．数据1350000用科学记数法表示为 ．
13．如图，在中，，是的中点，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接，交直线于点．则的最大值为 ．
15．计算：
(1)；
(2)．
16．2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？
17．一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80km匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)两地之间距离是_____________km，_____________；
(2)结合图象，求线段所在直线的解析式？
(3)货车出发多长时间时，两车相距15km？（直接写出答案）
18．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”．
(1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号）
① ② ③ ④
(2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式；
(3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式；
(4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
三、填空题
19．如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为 ．
四、解答题
20．为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人；
(2)在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
21．如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上．
(1)求灯杆的高度；（结果保留根号）
(2)求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
22．如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
23．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；
(2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长；
(3)拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
《辽宁省鞍山市高新区2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷》参考答案
1．C
解：“正”和“负”相对，所以，如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作米．
故选：C．
2．B
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．D
解：图①的主视图、左视图、俯视图为：；
图②的主视图为：，故错，不符合题意；
图③的主视图和左视图为：，故错，不符合题意；
图④：俯视图为：，故对，符合题意；
故选：．
4．D
解：设总共有x两银子，根据题意列方程得：
，
故选：D．
5．A
解：，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
6．A
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
7．C
解：，
，
，
由翻折可知，，
，
设点到的距离为，
则有，
，
，
故选：C．
19．
解：如图，过点G作于H，交于M，
则，
∵四边形是正方形，
，，
，
∴四边形是矩形，
；
设正方形边长为a；
是的中点，点为上靠近点的三等分点，
，
;
是等腰三角形，且，
，
，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理得；
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
20．(1)；
(2)，补全统计图见解析；
(3)．
（1）解∶人，
故答案为∶；
（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，
选择组的人数为∶（人），
补全条形统计图如下∶

（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶

共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，
所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．
21．(1)的高度为
(2)的长约为10.1m
（1）解：如图，延长交于点，过点作于点．
∵，坡角为，
∴，
∴．
在中，，
∴，．
由题意可知，四边形是矩形，
∴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
即灯杆的高度为．
（2）解：在中，，，
∵，
∴．
∵，
∴，
即的长约为10.1m．
22．(1)见解析
(2)14
（1）证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)6
（1）证明：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
∴，，
由（1）可知，，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，即是的角平分线，
∴由（1）可得：，
∵，，，
∴，
∴，
∵的中垂线交延长线于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．