中考数学——全等三角形(练习)(含答案)

这是一份中考数学——全等三角形(练习)(含答案)，共214页。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186557312"
\l "_Tc186557313" ?题型01 利用全等三角形的性质求解
\l "_Tc186557314" ?题型02 添加一个条件使两个三角形全等
\l "_Tc186557315" ?题型03 结合尺规作图的全等问题
\l "_Tc186557316" ?题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
\l "_Tc186557317" ?题型05 补全全等三角形的证明过程
\l "_Tc186557318" ?题型06 全等三角形证明方法的合理选择
\l "_Tc186557319" ?题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc186557320" ?题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
\l "_Tc186557321" ?题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
\l "_Tc186557322" ?题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型
\l "_Tc186557323" ?题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
\l "_Tc186557324" ?题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
\l "_Tc186557325" ?题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
\l "_Tc186557326" ?题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
\l "_Tc186557327" ?题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
\l "_Tc186557328" ?题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
\l "_Tc186557329" ?题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
\l "_Tc186557330" ?题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
\l "_Tc186557331" ?题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc186557332"
\l "_Tc186557333"
?题型01 利用全等三角形的性质求解
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为 ．
2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：① AC=AE；② ∠FAB=∠EAB；③ EF=BC；④ ∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE上，使得△ACM≌△FDN，则AM= ．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
?题型02 添加一个条件使两个三角形全等
5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）
A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BEB．若BD=CE，则BE=CD
C．若CD=BE，则∠ACD=∠ABED．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB
6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）
7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．
(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，FG⊥AB．
(1)证明：△DAE∽△EGF
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF
?题型03 结合尺规作图的全等问题
9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．
10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．
(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，
∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．
11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．
12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．
(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；
小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是 ，小军得出△CBE≌△CAD的依据是 ；（填序号）
①SSS②SAS③ASA④AAS
(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．
(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=S△BCD，请直接写出相应的BE的长．
?题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．
下面是小亮的解答过程：
(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．
(2)请你写出正确的证明过程．
14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．
小虎的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：
小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
?题型05 补全全等三角形的证明过程
16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．
(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）
(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①
∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴② =∠AFG
∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，
∴③ =GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．
17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：
证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°， 又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B= ① ；
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF= ② ；又∵AE=AD，
∴△EBA≌△AFD（ ③ ）． ∴AB= ④ ．
∵AB=DC，∴DC=DF．
18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．
证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．
(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．
19．（2022·河南新乡·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且点D，E为边BC上的点（分
别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．
①初步探究
如图1，若n=1，α=120°，BD=CE，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．
下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．
②类比探究
如图2，若n=1，α=90°，BD≠CE，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（2）问题解决
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于点M，BM=3，CM=2，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．
?题型06 全等三角形证明方法的合理选择
20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；
(2)CF=2DE．
21．（2024·青海玉树·三模）[证明体验]
(1)[思考探究]如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．
(2)[拓展延伸]如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．
22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G．

(1)求证：CG=FG；
(2)若正方形的边长为2，求BG的长．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F．
(1)如图1，求证：△APB≌△APD；
(2)如图2，连接EF、BD，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边AD和AB为腰的等腰三角形）．
?题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD=2+3，其中正确的序号是 .（填写所有正确结论的序号）
25．（2024·四川广元·二模）如图，点 P 是正方形ABCD内部的一个动点，且ABP是以AB 为底边的等腰三角形，连接AC，PD，PC，有下列结论：
①PD=PC;
②PA+PC>AC;
③当PB=BC时，∠BPC=60°;
④当AB=AP时， SABC=3+1SAPC．
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点A，A'在BD的同侧，连接A'C'，BD．甲，乙两人有如下说法：
甲：当A'C'∥AD时，A'C'=25−3cm；
乙：当A'C'⊥BD时，A'C'=11cm．
则下列正确的是（ ）
A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA²=PB²+PC²．以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
?题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：∠ACB=∠DFE．

29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数．
?题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组：3x+1EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
4．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践
(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHJK为矩形．则△EDK≌______．
(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为______．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3B．5:4C．4:3D．2:1
2．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A．4,6B．6,4C．−6,−4D．−4,−6
3．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点B．EO=FO
C．AE=CFD．EF⊥BD
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（ ）
A．π6B．π3C．π2D．π
6．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+yB．x−yC．xyD．x2+y2
7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
8．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
9．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AASB．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AASD．∠2=∠3，ASA
10．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
12．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
13．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：
（1）∠FDB的度数是 ；
（2）DG的长是 ．
14．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为
15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM=3，BC'=4，AC'=3，则DN= ．
16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．

17．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
18．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
19．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．
20．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．
(1)求证：∠2=∠3；
(2)若∠4=45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC=13，AD=5，求EF的长．
第四章 三角形
第17讲 全等三角形
证明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED 第一步
∴△ABC≌△EBDSAS， 第二步
∴∠ABC=∠EBD， 第三步
∴∠ABE=∠CBD． 第四步
证明：在△ABP和△ACP中，
∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP．（第一步）
∴∠APB=∠APC．（第二步）
证明：
∵ AE平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD=AD，BD=CD．
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC．
解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．
∴∠ABD=∠ACE=30°．
如图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．
由旋转的性质，可知△AGC≌△ADB，
∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．
∴CE=CG，∠GCE=60°．
∴△CGE为等边三角形．（依据：_________________）
∴CG=______=______．
∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，
∴∠DAE=∠EAG=60°，
又∵AE=AE，
∴△ADE≌△AGE．
∴DE=GE．
∴BD=CE=DE．
“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．
如图1．在△ABC中，AD平分∠BAC，且D恰好是边BC的中点．求证：AB=AC．

证明：如图2，延长AD至点E，使DE=AD．
∵D是边BC的中点
∴BD=CD．
∵∠ADB=∠EDC，DE=AD，
∴△ABD≌ △ECD（依据）．
∴，∠BAD=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴AB=AC．
项目课题
探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出
墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
项目数据
…
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc186557335" ?题型01 利用全等三角形的性质求解
\l "_Tc186557336" ?题型02 添加一个条件使两个三角形全等
\l "_Tc186557337" ?题型03 结合尺规作图的全等问题
\l "_Tc186557338" ?题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
\l "_Tc186557339" ?题型05 补全全等三角形的证明过程
\l "_Tc186557340" ?题型06 全等三角形证明方法的合理选择
\l "_Tc186557341" ?题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc186557342" ?题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
\l "_Tc186557343" ?题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
\l "_Tc186557344" ?题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型
\l "_Tc186557345" ?题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
\l "_Tc186557346" ?题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
\l "_Tc186557347" ?题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
\l "_Tc186557348" ?题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
\l "_Tc186557349" ?题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
\l "_Tc186557350" ?题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
\l "_Tc186557351" ?题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
\l "_Tc186557352" ?题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
\l "_Tc186557353" ?题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
?题型01 利用全等三角形的性质求解
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为 ．
【答案】35°
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵CA⊥AB，
∴∠A=90°，
又∵∠ACE=55°，
∴∠AEC=90°−∠ACE=90°−55°=35°，
又∵△CAE≌△EBD，
∴∠BDE=∠AEC=35°，
故答案为：35°．
2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：① AC=AE；② ∠FAB=∠EAB；③ EF=BC；④ ∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键．
根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，
∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正确；
∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，故④正确；
AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，
故①、②错误；
∴正确的有③④共2个．
故选：B．
3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE上，使得△ACM≌△FDN，则AM= ．
【答案】53
【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△FEN∽△BCM成为解题的关键．
由勾股定理可得AB=5，设AM=x，则BM=5−x，由全等三角形的性质可得AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，再证△FEN∽△BCM，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：如图：∵∠C=90°，AC=3,BC=4，
∴AB=AC2+BC2=5,
设AM=x，则BM=5−x，
∵△ACM≌△FDN，
∴AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，
∵∠FNE=180°−∠DNF,∠CMB=180°−∠CMA，
∴∠FNE=∠CMB，
∵∠B=90°−∠CAM,∠EFN=90°−∠DFN，
∴∠B=∠EFN，
∴△FEN∽△BCM，
∴FNBM=FEBC,即x5−x=24，解得：x=53，
经检验，x=53是方程x5−x=24的解．
∴AM=53．
故答案为53．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，推出AE+CD=AE+EF≥AF，当点E与点G重合时，AE+CD的值最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，

则△ADC≌△BEF，
∴CD=EF，AC=BF，∠EBF=∠DAC=120°，
∴ AE+CD=AE+EF≥AF，
∴当A，E，F三点共线，即点E与点G重合时，AE+CD的值最小，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠ABC=∠ACB=30°，
∴ ∠ABF=150°，AB=AC=BF，
∴ ∠BAF=∠BFA=15°，
∴ ∠AGB=135°
即AE+CD最小时，∠AEB的度数为135°．
故选：C．
?题型02 添加一个条件使两个三角形全等
5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）
A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BEB．若BD=CE，则BE=CD
C．若CD=BE，则∠ACD=∠ABED．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由∠ABC=∠ACB，可得AB=AC，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
若∠ACD=∠ABE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，
∴△CAD≌△BAEASA，
∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项A不符合题意；
若BD=CE，∴AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，
∴△CAD≌△BAESAS，
∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项B不符合题意；
若CD=BE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，
不能证明△CAD与△BAE全等，则∠ACD与∠ABE不一定相等，
则原命题是假命题，故选项C符合题意；
若AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，
∴△CAD≌△BAESAS，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠CBE=∠DCB，则原命题是真命题，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】BD=AE（答案不唯一）
【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加BD=AE，通过“HL”即可证明△AEB≌△BDA．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键．
【详解】解：添加BD=AE，
∵ AD，BE是△ABC的两条高线，
∴∠BEA=∠ADB=90°，
在Rt△AEB和Rt△BDA中，
BD=AEAB=BA，
∴Rt△AEB≌Rt△BDAHL，
故答案为：BD=AE（答案不唯一）．
7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．
(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
【答案】(1)①③
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：
（1）添加①或③，即可；
（2）添加①，根据等腰三角形的判定可得OA=OB，从而得到OC=OD，可证明△AOC≌△BOD，即可；添加③，可得OA=OB，可证明△AOC≌△BOD，即可．
【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①；
故答案为：①③
（2）若添加①∠1=∠2；
∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∵BC=AD，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD；
若添加③OC=OD；
∵BC=AD，OC=OD，
∴OA=OB，
在△AOC和△BOD中，
∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD．
8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，FG⊥AB．
(1)证明：△DAE∽△EGF
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF
【答案】(1)见解析
(2)添加∠FBG=45°，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）证明有两对角相等即可判断；
（2）假设△DAE≌△EGF，可以推出∠FBG=45°即可．
【详解】（1）证明：∵FG⊥AB，
∴∠FGE=∠EAD=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEG=90°，
∵∠FEG+∠EFG=90°，
∴∠AED=∠EFG，
∴△DAE∽△EGF；
（2）解：添加∠FBG=45°，
如果△DAE≌△EGF，
∴AE=GF,DA=EG=AB，
∴AE+EB=EB+BG，
∴AE=BG，
∴GF=BG，
∵FG⊥AB，
∴Rt△BGF为等腰直角三角形，
∴∠FBG=45°，
故添加：∠FBG=45°，能证明△DAE≌△EGF．
?题型03 结合尺规作图的全等问题
9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可．
【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可）
【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．
(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，
∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．
【答案】(1)MN=M'N'；SSS
(2)OE=3
【分析】（1）由作图可知△MAN≌△M'ON'的理由是SSS，据此解答即可；
（2）由∠COE=∠OAB得OE//AB，由四边形ABCD为平行四边形得OC=OA，再由中位线定得OC的长．
【详解】（1）由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，
AM=OM'AN=ON'MN=M'N'，
∴△MAN≌△M'ON'（SSS），
∴∠COE=∠OAB，
故答案为：MN=M'N'；SSS；
（2）由（1）得∠COE=∠OAB，
∴OE//AB
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC=OA，
∴CE=BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE=12AB=12×6=3
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，平行四边形的性质及三角形中位线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．
【答案】(1)见解析
(2)EFCF=710
【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；
（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知CD=12BC，进一步证明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57，设CF=5a，BC=7a，得到DF=12BC=72a，EF=72a，得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．
理由是：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝12BC，
∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且BE=12BC；
（2）解：如图2，连接DF．
在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴CD=12BC，
由（1）可知BE=12BC，AE=AD，
∴BE=BD，
又∵AB=AB，
∴△ABE≌△ABD（SSS），
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
∵CF⊥AB，
∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=sin∠CBF=CFCB=57，
设CF=5a，BC=7a，
∵CD=12BC，
∴DF=12BC=72a，
∴EF=72a，
∴EFCF=710．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键
12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．
(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；
小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是 ，小军得出△CBE≌△CAD的依据是 ；（填序号）
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．
(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=S△BCD，请直接写出相应的BE的长．
【答案】(1)①；③
(2)证明见解析
(3)3+3
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得出结论；
（2）由条件AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，可知△ABC≌△FBC，又△CBE≌△CAD，得到S△ABC=S△FBC，S△CBE=S△CAD，所以S△CDB=S△CEF，在△AEF中，CF=CA，可得S△CAE=S△CEF，从而得证；
（3）过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD且AD=BE；根据AC=BC，∠ACB=90°，有∠ABC=45°，由等腰三角形的三线合一的性质可知AG=BG，结合∠BCD=15°，可得∠ADC=60°，根据BC=32，由cs∠ABC=BCAB得到AB=6，所以AG=BG=3，然后在Rt△CBG和Rt△CDG中继续利用锐角三角函数求出CG和DG的长，最后利用AD=AG+DG即得解．
【详解】（1）解：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE，
∴AD=BE，CD=CE
又∵AC=BC，
在△CBE和△CAD中
BC=ACBE=ADCE=CD，
∴△CBE≌△CAD（SSS）
如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，
∴∠DCE=90°，∠DBE=90°，
即∠DCB+∠BCE=90°，∠CBA+∠CBE=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，
在△CBE和△CAD中
∠CBE=∠CADBC=AC∠BCE=∠ACD，
∴△CBE≌△CAD（ASA）
故选：①；③
（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，
∴∠ACB=∠FCB=90°，
在△ABC和△FBC中
CA=CF∠ACB=∠FCBCB=CB，
∴△ABC≌△FBC（SAS）
∴S△ABC=S△FBC，
即S△CAD+S△CDB=S△CBE+S△CEF，
又∵△CBE≌△CAD，
∴S△CBE=S△CAD，
∴S△CDB=S△CEF，
又∵在△AEF中，CF=CA，
∴S△CAE=S△CEF，
∴S△CAE=S△CDB．
（3）解：如图，过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，
又∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC，△CBG，△CDG都是Rt△，
∴∠ABC=45°，AG=BG，
∵∠BCD=15°，
∴∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，BC=32，
∴cs∠ABC=BCAB，
∴AB=BCcs∠ABC=32cs45°=6，
∴AG=BG=12AB=3，
在Rt△CBG中，tan∠ABC=CGBG，
∴CG=BG·tan∠ABC=3×tan45°=3，
在Rt△CDG中，tan∠CDG=CGDG，
∴DG=CGtan∠CDG=3tan60°=3，
又由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD，
∴AD=BE，
∴BE=AD=AG+DG=3+3，
∴BE的长为3+3．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形等知识以及知识迁移应用的能力．通过作适当的辅助线从而达到能够应用前面两问的结论和全等三角形的性质的应用是解答本题的关键．
?题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．
下面是小亮的解答过程：
(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．
(2)请你写出正确的证明过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
（1）根据全等三角形的判定条件即可得出结论；
（2）根据平行线的性质推出∠A=∠E，再根据SAS证明△ABC≌△EBD即可得出结论．
【详解】（1）解：小亮的证明过程是从第一步开始出现错误的；
（2）证明：∵AB∥ED，
∴∠E=∠ABE．
∵∠A=∠ABE，
∴∠A=∠E．
在△ABC和△EBD中，
BE=BA∠A=∠EAC=ED，
∴△ABC≌△EBDSAS，
∴∠ABC=∠EBD，
∴∠ABE=∠CBD．
14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．
小虎的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由全等三角形的判定方法可得出结论；
（2）证明△ABP≌△ACPSSS，得出∠APB=∠APC．
【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误；
故答案为：一；
（2）解：∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC，
在△ABP和△ACP中，
AB=ACAP=APPB=PC，
∴△ABP≌△ACPSSS，
∴∠APB=∠APC．
15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：
小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【答案】小明的证明不正确；正确的证明见解析
【分析】由平分，证明∠BDE=∠CDE，再由邻补角，推出∠BDA=∠CDA，根据SAS可证明△BDA≌△CDA，即可证明AB=AC．
【详解】解：小明利用的是SSA，是不能证明△ABD与△ACD全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
∵AE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠BDA=∠CDA，
∵AD=AD，BD=CD，
∴△BDA≌△CDASAS，
∴AB=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
?题型05 补全全等三角形的证明过程
16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．
(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）
(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵HG⊥AB，
∴∠GHF=90°，
∴∠B=①
∵FG⊥AE，
∴∠AFG+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴② =∠AFG
∵∠B=∠C=∠GHB=90°，
∴四边形BCGH为矩形，
∴BC=GH，
∴③ =GH．
∴△ABE≌△GHF（④____）
∴AE=FG．
【答案】(1)见解析
(2)①∠GHF；②∠AEB；③AB；④AAS
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握基本作图方法和特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）根据尺规作图作垂线的方法画图即可；
（2）由正方形的性质结合题意可证明∠B=∠GHF，又易证∠AEB=∠AFG和四边形BCGH为矩形，即可间接得出AB=GH，即可证△ABE≌△GHFAAS，得出AE=FG．
【详解】（1）解：如图，GH即为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB．
∵HG⊥AB，
∴∠GHF=90°，
∴∠B=∠GHF．
∵FG⊥AE，
∴∠AFG+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴ ∠AEB=∠AFG
∵∠B=∠C=∠GHB=90°，
∴四边形BCGH为矩形，
∴BC=GH，
∴ AB=GH，
∴△ABE≌△GHFAAS，
∴AE=FG．
17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：
证明：∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠B= ① ；
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF= ② ；
又∵AE=AD，
∴△EBA≌△AFD（ ③ ）．
∴AB= ④ ．
∵AB=DC，
∴DC=DF．
【答案】(1)见解析
(2)∠AFD；∠BEA；AAS；DF.
【分析】（1）利用基本作图.过D点作AE的垂线即可；
（2）先根据矩形的性质得到AB=CD，AD∥BC，则∠DAF=∠BEA， 则可根据“AAS”判断△ADF≌△DEC, 得到AB=DF，从而得到DC=DF.
【详解】（1）如图
（2）证明：∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠B= ∠AFD；
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF= ∠BEA；
又∵AE=AD，
∴△EBA≌△AFD AAS，
∴AB= DF，
∵AB=DC，
∴DC=DF．
故答案为: ∠AFD；∠BEA；AAS；DF.
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质和矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.
18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．
证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．
(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．
【答案】(1)①∠ECB；②50°；
(2)AE=BE+2CM，理由见解析；
(3)6
【分析】（1）①根据∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，即可得到答案；②根据∠ACB=50°可得∠DCE=50°，求出∠CDE=∠CED=65°，根据全等三角形的性质，得出∠CEB=∠ADC=115°，即可求出结果；
（2）由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判断出DM=CM，即可得出结论；
（3）根据（2）的结论求得AE=4，再根据四边形ABEC的面积＝△ACE的面积＋△ABE的面积，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：①证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
故答案为：∠ECB；
②∵∠ACB=50°，
∴∠DCE=∠ACB=50°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=12×180°−50°=65°，
∴∠ADC=180°−∠CDE=115°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠ADC=115°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=50°，
故答案为：50°；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，
∴∠DCM=∠CDM=45°，
∴DM=CM，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM；
（3）解：由（2）得：
AE=BE+2CM=2+2×1=4，∠AEB=90°，
∵ CM为△DCE中DE边上的高，
∴S四边形ABEC=S△ACE+S△ABE=12AE⋅CM+12AE⋅BE=12×4×1+12×4×2=6．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
19．（2022·河南新乡·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且点D，E为边BC上的点（分
别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．
①初步探究
如图1，若n=1，α=120°，BD=CE，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．
下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．
②类比探究
如图2，若n=1，α=90°，BD≠CE，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（2）问题解决
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于点M，BM=3，CM=2，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．
【答案】（1）①有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE；②结论是：DE2=CE2+BD2．证明见详解
（2）AN的长为2385或5313
【分析】（1）①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．由旋转的性质，可知△AGC≌△ADB，得出CE=CG，∠GCE=60°．可证△CGE为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形），得出CG=CE=GE即可；
②结论是：DE2=CE2+BD2,将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连结CG，得出AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，再证∠DAE=∠GAE，然后证明△DAE≌△GAE（SAS）即可；
（2）将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S，先证四边形AHSM为正方形，∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=BS，再证△AC′B≌△ACB（SAS），得出C′B=CB=BM+CM=5，根据勾股定理得'2+SB2=C'B2即AM−22+AM−32=52解方程即可．
【详解】（1）①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．
由旋转的性质，可知△AGC≌△ADB，
∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．
∴CE=CG，∠GCE=60°．
∴△CGE为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形）
∴CG=CE=GE．
∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，
∴∠DAE=∠EAG=60°，
又∵AE=AE，
∴△ADE≌△AGE．
∴DE=GE．
∴BD=CE=DE．
故答案为：有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE；
②结论是：DE2=CE2+BD2．
证明：将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连接EG，
则AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，
∵AB=AC， ∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAG+∠EAC=∠BAD+∠EAC=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠GAE，
在△DAE和△GAE中，
AD=AG∠DAE=∠GAEAE=AE，
∴△DAE≌△GAE（SAS），
∴DE=GE，
在Rt△GCE中，
GE2=EC2+GC2即DE2=EC2+BD2；
（2）解：将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S，
则∠HAM=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AMB=90°，
根据三角形旋转90°得AH=AM，HC′=MC=2，AC′=AC，∠HAC′=∠MAC，∠H=∠AMC=90°，
∴∠H=∠AMC=∠HAM =90°，
∴四边形AHSM为矩形，
∵AH=AM，
∴四边形AHSM为正方形，
∴∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=MS，
在△AC′B和△ACB中，
AC'=AC∠C'AB=∠CABAB=AB，
∴△AC′B≌△ACB（SAS），
∴C′B=CB=BM+CM=5，
在Rt△C′SB中,C′S=AM-HC′=AM-2，BS=AM-BM=AM-3，
根据勾股定理得SC'2+SB2=C'B2即AM−22+AM−32=52，
解得AM=6或AM=-1（舍去），
当点N在BM上，NB=53，
∴MN=3-BN=43，
∴AN=MN2+AM2=432+62=2385，
当点N在CM上，CN=53，
∴MN=2-CN=13，
∴AN=MN2+AM2=132+62=5313，
综合AN的长为2385或5313．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程是解题关键．
?题型06 全等三角形证明方法的合理选择
20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；
(2)CF=2DE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意，则∠ACG=∠BCG=45°，∠CAF=∠CBF=45°，等量代换，则∠CAF=∠BCG，根据全等三角形的判定和性质，即可；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到CH是AB的垂直平分线，则AH=BH，AG=BG，根据平行线的判定和性质，则AD∥CG，∠D=∠EGC，根据∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，推出∠D=∠DAG，根据全等三角形性质，则△AFC≌△CGB，得到CF=BG，根据E为AC边的中点，全等三角形的判定和性质，则△ADE≌△CGEAAS，根据边的等量关系，即可．
【详解】（1）证明，如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∵CG平分∠ACB交BD于点G
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
∵AC=BC，∠ACF=∠CBG，
∴△AFC≌△CGBASA，
∴AF=CG．
（2）证明，如下：
延长CG交AB于H，连接AG，
∵ CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，AG=BG，
∴∠ABG=∠GAB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，∠DAB=90°，
∴∠D=∠EGC，
∵∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，
∴∠D=∠DAG，
∴DG=AG=GB，
∵△AFC≌△CGB，
∴CF=BG，
∴DG=CF，
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEG，
∴△ADE≌△CGEAAS，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
∴CF=2DE．

21．（2024·青海玉树·三模）[证明体验]
(1)[思考探究]如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．
(2)[拓展延伸]如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证；
（2）证明△ADG≌△BAE(ASA)即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC
∴∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，∠ABD=∠ABF+∠FBC，
∴∠ABF=∠CAD；
（2）解：∵ ∠ABF=∠CAD，
∴∠ABE=∠DAG，
∵DE=2AE，AB=6，
∴AD=AB=6，AE=13AD=2，
∵DG∥AB，
∴∠BAE=∠ADG，
在△ADG与△BAE中，∠DAG=∠ABEAD=BA∠ADG=∠BAE，
∴△ADG≌△BAE(ASA)，
∴DG=AE=2；
22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G．

(1)求证：CG=FG；
(2)若正方形的边长为2，求BG的长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键．
（1）连接EG，证明Rt△EFG≌Rt△ECGHL，即可得证；
（2）设GC=FG=x，在Rt△ABG中，利用勾股定理求出x的值，再根据BG=BC−CG，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接EG，如图，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∵点E是CD中点，
∴DE=EC，
由折叠可知：△ADE≌△AFE，
则AF=AD，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，
∴EF=EC，
在Rt△EFG和Rt△ECG中，
EF=ECEG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△ECGHL．
∴FG=GC；
（2）由（1）知：CG=FG，AF=AD，
设GC=FG=x，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
则BG=BC−CG=2−x，AG=AF+FG=2+x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+BG2=AG2，
∴22+2−x2=x+22，
解得：x=12，
∴BG=BC−CG=2−12=32．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F．
(1)如图1，求证：△APB≌△APD；
(2)如图2，连接EF、BD，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边AD和AB为腰的等腰三角形）．
【答案】(1)详见解析
(2)△AEF，△PEF，△PDB，△CBD
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．
（1）利用菱形的性质和全等三角形的判定（SAS）可得结论；
（2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAP=∠DAP，AB=AD，CD=BC，
在△APB和△APD中，
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△APB≌△APDSAS；
（2）解：如图2，
∵CD=BC，
∴△CDB是等腰三角形，
由（1）知△APB≌△APD，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，则△PDB是等腰三角形，
在△PBE和△PDF中，
∠EBP=∠FDPPB=PD∠BPE=∠DPF，
∴△PBE≌△PDFASA，
∴BE=DF，PE=PF，则△PEF是等腰三角形；
∴AB−BE=AD−DF，即AE=AF，则△AEF是等腰三角形，
综上，所有的等腰三角形为△AEF，△PEF，△PDB，△CBD．
?题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD=2+3，其中正确的序号是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADFHL，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC−BE=CD−DF，
∴CE=CF，①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，②说法正确；
∵EF=2，
∴CE=CF=2，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+a−22=4，
解得a=2+62，
∴BE=DF=2+62−2=6−22，
∴BE+DF=6−2≠6，③说法错误；
∵a=2+62，
则a2=2+3，
S正方形ABCD=2+3，④说法正确，
故答案为：①②④．
25．（2024·四川广元·二模）如图，点 P 是正方形ABCD内部的一个动点，且ABP是以AB 为底边的等腰三角形，连接AC，PD，PC，有下列结论：
①PD=PC;
②PA+PC>AC;
③当PB=BC时，∠BPC=60°;
④当AB=AP时， SABC=3+1SAPC．
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，可得△DAP≌△CBP，①正确，再根据△ABP是等边三角形，即可得出③不正确，④正确
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，
∵△ABP是等腰三角形，
∴AP=BP
∴∠ABP=∠PAB
∴∠CBP=∠PAD
∴△DAP≌△CBP(SAS)
∴DP=CP故①正确；
当A,P,C 三点在同一条直线上时，PA+PC=AC故②不正确；
当PB=PC时，
∵AB=BC
∴AB=BP=AP
∴△ABP是等边三角形，
∠ABP=60°，
∴∠DAP=∠CBP=30°，
∴∠BCP=∠BPC=75°，故③不正确；
当AB=AP时，设AB=a
∵AP=BP
∴AB=BP=AP
∴△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H，
∴AG=GB=12a，PG=32a
∵∠BAD=∠AGP=90°，
∴四边形AGPH是矩形，
∴PH=AG，
∵SΔABC=12×BC×AB=12a2，S△ADP=S△BCP=12×AD×PH=12×AD×12AB=14a2，
S△ABP=12×PG×AB=34a2
∴S△APC=S△APB+S△CPB−S△CAB=34a2+14a2−12a2=3−14a2
∴S△APC=3−14a2=3−12×12a2=3−12SΔABC
∴SABC=3+1SAPC．故④正确，
综上所述：①④．
故选：C．
26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点A，A'在BD的同侧，连接A'C'，BD．甲，乙两人有如下说法：
甲：当A'C'∥AD时，A'C'=25−3cm；
乙：当A'C'⊥BD时，A'C'=11cm．
则下列正确的是（ ）
A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
【答案】C
【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判断与性质等知识，当A'C'∥AD时，延长A'C'交DC于点H，延长C'A'交AB于点K，利用SAS证明△DAM≌△BCN，可得出∠A'MK=∠C'NH，A'M=C'N，利用AAS证明△A'KM≌△C'HN，求出BK，利用勾股定理求出C'K，即可求出A'C'；当A'C'⊥BD于点O时，连接A'B、C'D，利用SAS证明△A'BM≌△C'DN，得出A'B=C'D．证明四边形A'BC'D是平行四边形，求出BO，利用勾股定理求出A'O，即可求出A'C'．
【详解】如解图①，当A'C'∥AD时，延长A'C'交DC于点H，延长C'A'交AB于点K，
∵A'C'∥AD，
∴HK∥AD，
∴∠A'KM=∠C'HN=90°，
由折叠的性质可知△ADM≌△A'DM，△CBN≌△C'BN，
∵AM=CN，∠A=∠C，AD=BC，
∴△DAM≌△BCN，
∴∠DMA=∠BNC．
∴∠A'MK=∠C'NH，A'M=C'N，
∴△A'KM≌△C'HNAAS，
∴A'K=C'H，KM=HN，
∴AK=BK=CH=2，
∴C'K=C'B2−BK2=32−22=5，
∴C'H=A'K=3−5，
∴A'C'=3−23−5= 25−3cm．故甲的说法正确．
如解图②，当A'C'⊥BD于点O时，连接A'B、C'D，
在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，
∴BD=5cm．
∵AM=CN，
∴A'M=C'N，BM=DN，∠A'MB=∠C'ND．
∴△A'BM≌△C'DNSAS．
∴A'B=C'D．
又∵A'D=BC'，
∴四边形A'BC'D是平行四边形．
∴BO=DO=52cm，OA'=OC'，
∴A'C'=2C'O=2C'B2−OB2=11cm．故乙的说法正确．
故选：C．
27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA²=PB²+PC²．以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】①根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=60°，根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°，即可求证；②根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°，即可证明△BDP是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出∠BDP=60°根据全等三角形的性质得出∠ADB=150°，则∠ADP=∠ADB−∠BDP=90°，即可推出PA²=PB²+PC²．
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，
∴BD=BP,∠DBP=60°，
∴∠ABC−∠ABP=∠DBP−∠ABP，即∠ABD=∠CBP，
∵AB=BC,∠ABD=∠CBP,BD=BP，
∴△BPC≌△BDA，故①正确，符合题意；
②∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，
∴BD=BP,∠DBP=60°，
∴△BDP是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵△BDP是等边三角形，
∴∠BDP=60°
∵△BPC≌△BDA，∠BPC=150°，
∴∠ADB=150°，
∴∠ADP=∠ADB−∠BDP=90°，
∴PA²=PB²+PC²，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
?题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：∠ACB=∠DFE．

【答案】证明见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质∠B=∠DEF，再证明△ABC≌△DEF，即可证明．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠ACB=∠DFE．
29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠DFE=74°
【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．
（1）先证明∠A=∠EDF，AC=DE，再利用SAS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）先求得∠DOC=∠BCF+∠DFC=74°，证明∠B=∠DOC=74°，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵AD=CE，
∴AD+CD=CE+CD，
即AC=DE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DF∠A=∠FDEAC=DE，
∴△ABC≌△DFE；
（2）解：∵∠BCF=54°，∠DFC=20°，
∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°，
∵AB∥DF，
∴∠B=∠DOC=74°，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE=∠B=74°．
?题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组：3x+1EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】(1)菱形
(2)932cm2
(3)AE=BF，理由见解析
【分析】（1）连接BE，CD，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠EDF=60°，则B、D、C、E四点共圆，由三线合一定理得到∠BEC=90°，则BC为过B、D、C、E的圆的直径，再由DE=BC=6cm，得到DE为过B、D、C、E的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°，推出四边形BHEG是平行四边形，进而可证明四边形BHEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6cm，则由平行线的性质可推出∠ABC=∠CHE，进而可证明四边形BHEG是平行四边形，再证明△EHC是等边三角形，则可设EH=CH=2xcm，则BH=6−2xcm，HT=12CH=xcm，由勾股定理得到ET=EH2−HT2=3xcm，可得S重叠=S四边形BHEG=BH⋅ET==−23x−322+932，则当x=32时，S重叠有最大值，最大值为932cm2；
（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，则AM=FN=12DF=12AC=3cm，EF=AB=6cm，BE=BE，证明EN=BM，进而可证明Rt△NBE≌Rt△MEBHL，得到NB=ME，则FN+BN=AM+ME，即AE=BF．
【详解】（1）解：如图所示，连接BE，CD
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB=∠EDF=60°，
∴B、D、C、E四点共圆，
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC=90°，
∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，
又∵DE=BC=6cm，
∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴EH=BH，
∴∠HBE=∠HEB=30°，
∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°，
∴BG∥EH，BH∥EG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH=BH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE=∠DEF=60°，
∴∠ABC=∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C=∠CHE=60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH=CH=2xcm，则BH=6−2xcm，HT=12CH=xcm，
∴ET=EH2−HT2=3xcm，
∴S重叠=S四边形BHEG=BH⋅ET=3x6−2x
=−23x2−3x+94−94
=−23x−322+932，
∵−23