中考数学——直角三角形(练习)(含答案)

这是一份中考数学——直角三角形(练习)(含答案)，共171页。试卷主要包含了下面是多媒体上的一道试题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc187073296"
\l "_Tc187073297" ?题型01 由直角三角形的性质求解
\l "_Tc187073298" ?题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc187073299" ?题型03 利用勾股定理求解
\l "_Tc187073300" ?题型04 判断勾股数问题
\l "_Tc187073301" ?题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc187073302" ?题型06 勾股定理与网格问题
\l "_Tc187073303" ?题型07 勾股定理与折叠问题
\l "_Tc187073304" ?题型08 勾股定理与无理数问题
\l "_Tc187073305" ?题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc187073306" ?题型10 勾股定理的证明方法
\l "_Tc187073307" ?题型11 赵爽弦图
\l "_Tc187073308" ?题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题
\l "_Tc187073309" ?题型13 在网格中判断直角三角形
\l "_Tc187073310" ?题型14 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc187073311" ?题型15 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc187073312" ?题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题
\l "_Tc187073313" ?题型17 最短距离问题
\l "_Tc187073314"
\l "_Tc187073315"
?题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
2．（2024·山西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF交边BC于点D，连接AD．若BD=8，则△ACD的周长为 ．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠ABE=∠CBEB．2∠ABE=∠CAD
C．BF=2DFD．AF=AE
4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=4，S菱形ABCD=16，则OE的长为（ ）
A．25B．4C．2D．5
?题型02 根据已知条件判定直角三角形
5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：
①∠A=∠C−∠B；
②a+ba−b=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD=AC．
(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD=DE=6，求CE的长．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形．
淇淇：当AM=2时，AN=7．
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确D．三人都正确
?题型03 利用勾股定理求解
8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，AC=3，BO=4，函数y=kx(x0，点P在以D4,4为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最小值是（ ）．
A．3B．4C．6D．23
?题型04 判断勾股数问题
12．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）．
13．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
14．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a=n+7，c=n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， n2−1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．
15．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当k=2时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当0n．若小正方形面积为5，m+n2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
10．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
11．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332．若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 ．
12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
13．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55BC的最大值为 ．

14．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
15．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB．理由如下：
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
16．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)初步探究 如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；
(2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；
(3)创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=27，求BE的长．
第四章 三角形
第19讲 直角三角形
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF=CE，连接BD，DF．求证：四边形BFDE是矩形．
甲
乙
如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明．
如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．
∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠B=①______
∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD
∴ABAC=②______
∴AC2=AD⋅AB
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\l "_Tc187073297" ?题型01 由直角三角形的性质求解
\l "_Tc187073298" ?题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc187073299" ?题型03 利用勾股定理求解
\l "_Tc187073300" ?题型04 判断勾股数问题
\l "_Tc187073301" ?题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc187073302" ?题型06 勾股定理与网格问题
\l "_Tc187073303" ?题型07 勾股定理与折叠问题
\l "_Tc187073304" ?题型08 勾股定理与无理数问题
\l "_Tc187073305" ?题型09 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc187073306" ?题型10 勾股定理的证明方法
\l "_Tc187073307" ?题型11 赵爽弦图
\l "_Tc187073308" ?题型12 利用勾股定理构造图形解决实际问题
\l "_Tc187073309" ?题型13 在网格中判断直角三角形
\l "_Tc187073310" ?题型14 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc187073311" ?题型15 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc187073312" ?题型16 利用勾股定理逆定理解决实际问题
\l "_Tc187073313" ?题型17 最短距离问题
?题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2023·山东济南·三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵图中五边形为正六边形，
∴ ∠ABO=16×6−2×180°=120°，
∴ ∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中OC⊥CD，
∴ ∠OCB=90°，
∴ ∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
2．（2024·山西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF交边BC于点D，连接AD．若BD=8，则△ACD的周长为 ．
【答案】8+43/43+8
【分析】由作图知DE是AC的垂直平分线，则DA=DC,DE⊥AC，GA=GC，角度推导得到∠B=30°，继而求出AD，再解Rt△ADG求出AG，即可求解．
【详解】解：由作图知DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC,DE⊥AC，GA=GC
∴∠ACD=∠DAC，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACD=180°−120°2=30°，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=90°，
∴AD=12BD=4，
在Rt△ADG中，AG=AD⋅cs∠DAC=23，
∴AC=2AG=43，
∴△ACD周长为：AD+CD+AC=8+43，
故答案为：8+43．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点，发现30°是解题的关键．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠ABE=∠CBEB．2∠ABE=∠CAD
C．BF=2DFD．AF=AE
【答案】C
【分析】根据角平分线定义判断A；根据∠CAD和∠ABC都是∠C的余角判断B；根据含30°的直角三角形性质判断C；根据∠C和∠BAC都是∠CAD的余角，∠AEF是△EBC的外角，∠AFE是△FAB的外角，判断D．
【详解】A、由作图知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴A正确，不符合题意；
B、∵Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=∠C+∠ABC=90°，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ABC=2∠ABE，
∴2∠ABE=∠CAD，
∴B正确，不符合题意；
C、当∠ABC=60°时，
∠CBE=30°，
BF=2DF，
∴C不一定正确，C符合题意；
D、∵∠C+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵∠AEF=∠C+∠CBE，∠AFE=∠BAD+∠ABE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴D正确，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含30°的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．
4．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=4，S菱形ABCD=16，则OE的长为（ ）
A．25B．4C．2D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出BD=8，由菱形的面积得出AC=4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD=4，BD⊥AC，
∴BD=2OB=8，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=16，
∴AC=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵O为AC的中点，
∴OE=12AC=2，
故选：C．
?题型02 根据已知条件判定直角三角形
5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：
①∠A=∠C−∠B；
②a+ba−b=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵∠A=∠C−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
则①正确；
∵(a−b)(a+b)=c2，
∴a2−b2=c2，
即a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
则②正确；
∵a2=92=81，b2=162=256，c2=252=625，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形．
则③不正确；
设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，根据三角形内角和定理，得
3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形．
则④不正确．
正确的有2个．
故答案为：2．
6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD=AC．
(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD=DE=6，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE＝655
【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可；
（2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到CECD=OEAD=12，设CE=x，则CD=2x，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）证明：∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADC+∠ODC=90°．
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ACD+∠OCD=90°．
即∠ACO=90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵AD=DE=6，OE=12DE，
∴OE=12AD=3．
由（1）知：∠ADO=∠ACO=90°，
∴∠DOC+∠A=180°．
∵∠DOC+∠EOC=180°，
∴∠A=∠EOC．
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠OCE=∠ACD．
∴△OCE∽△ACD，
∴ CECD=OEAD=12，
设CE=x，则CD=2x，
∵CE2+CD2=DE2，
∴x2+(2x)2=62，
∵x>0，
∴x=655．
∴CE=655．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形．
淇淇：当AM=2时，AN=7．
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确D．三人都正确
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质证明∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题．
【详解】解：由旋转可得：∠MPN=60°
∵PM⊥BC
∴∠BPM=90°
∴∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°
∵△ABC为等边三角形
∴∠C=60°
∴∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°
∴△PNC为直角三角形，故嘉嘉正确；
∵在等边△ABC中，AB=10，∠B=60°
当AM=2时，BM=8，
∵PM⊥BC
∴∠BMP=30°
∴BP=12BM=4
∴PC=6
∵∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°
∴NC=12PC=3
∴AN=AC−NC=7，故淇淇正确；
当BM=4时，AM=10−4=6
∴BP=12BM=2
∴CP=10−2=8
∴CN=12CP=4
∴AN=AC−CN=6=AM
∵∠A=60°
由旋转性质可得：PM=PN，∠MPN=60°
∴△MPN是等边三角形
∴∠AMN=60°=∠B
∴MN∥BC，故珍珍错误；
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质．
?题型03 利用勾股定理求解
8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，AC=3，BO=4，函数y=kx(x50cm；
蚂蚁爬行的最短距离为50cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．
66．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
【答案】65
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出B关于EF的对称点B'，根据两点之间线段最短可知AB' 的长度即为所求，在Rt△AB'D中，根据勾股定理即可求出AB'的长度．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出B关于EF的对称点B'，过B'作B'D⊥BB'交AE的延长线于D，

根据题意可得：四边形B'CED是矩形，
∴ED=B'C=BC=1，CE=B'D，
连接AB'，则AB'即为最短距离，
∵高为18cm，底面周长为12cm，
∴AE=18−7=11，BC=1，EC=6，即AD=AE+DE=12，
在Rt△AB'D中，AB'=AD2+B'D2=122+62=65（cm）,
故答案为：65．
1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，d=________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是−1,0、1，0、0，4，以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)CE，2
(2)图见解析（答案不唯一）
(3)0