广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
3．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是B．图象开口向下
C．图象关于直线对称D．函数最小值为5
5．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15mB．C．20mD．
6．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．3B．C．D．2
7．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）

A．12B．20C．24D．22
8．在中，，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．正比例函数与反比例函数在同一直角坐标平面大致的图像可以（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数有最大值，且图象经过原点，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
11．如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：其中正确结论的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤方程的根是，．
A．2B．3C．4D．5
12．如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若两个相似三角形的相似比是，则周长比是 ．
14．如果，那么的值等于 .
15．在中，若，则 ．
16．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．

18．如图，在中，，，点D在边上．若，则的值为 ．

三、解答题
19．如图，三个顶点坐标分别为．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的图形画出来．

20．计算：．
21．如图，在与中，，且．求证：．

22．观察下列等式：
①sin30°=，cs60°=；
②sin45°=，cs45°=；
③sin60°=，cs30°=．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
23．如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律可知，，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角，观测者眼睛与地面距离，，求旗杆AB的高度．（结果取整数，）
24．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．
（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？
25．如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
26．如图，是边长为8的等边三角形，点分别在边上运动，满足．
(1)求证：
(2)设长为，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得函数，求当点运动到什么位置时，的面积最小？并求出这个最小值．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、时，是一次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵，故不符合题意；
B、∵，故符合题意；
C、∵，故不符合题意；
D、∵，故不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为：．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据中，对称轴为，顶点坐标为可得答案．
【详解】解：对于函数，图象顶点是，图象关于直线对称，
∵，
∴图象开口向下，函数有最大值5，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
5．C
【详解】解∶∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，
∴AC===m．
∴AB=m．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股定理，熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
6．B
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选B．
7．C
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，通过证明，可求，即可求解．
【详解】∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：C．
8．A
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，先根据，求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值即可得出的值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．D
【分析】本题主要考查了一次函数以及反比例函数的图像以及性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【详解】解：当时，函数经过二、四象限，在一、三象限，故D项符合题意．
当时，函数经过一三象限，在二、四象限，无对应选项．
故选∶D．
10．C
【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出，根据二次函数图象经过原点得出，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的解析式为：有最大值，
，
，
二次函数的图象经过原点，
，
或，
，
．
故选：C．
11．D
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用时函数值为正数可对②进行判断；由抛
物线开口方向得，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴交点位置得
，于是可对③进行判断；由于时，，得到，然后把代
入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，即①正确；
∵时，，
∴，
∴，即②正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，
∴，
∴，所以③正确；
∵，，
∴，
而，
∴，所以④正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为，
即或3时，，
∴方程的根是，，所以⑤正确．
综上所述：正确结论有①②③④⑤，正确结论有5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物
线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由△决定．
12．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用配方法来求最值问题．
【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点，
令，得 ，
，
令，即，解得或，
,
设直线的表达式为 ，
将 ，代入，
解得 ，
直线的表达式为，
设，则，
，
，
当时，最大，最大面积为．
故选：C．
13．
【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的周长比等于相似比，即：．
故答案为．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
14．
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
15．/105度
【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
，，
．
故答案为：．
16．3
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值．
【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：，
∴，
∴，
反比例函数图象在一、三象限，
，
．
故答案为：3．
17．
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
；
抛物线解析式为，
；
如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，

，
，
当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，
的最小值，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理．过点D作于点E，根据，设，根据勾股定理，利用三角函数，求得，根据正切的定义计算即可。熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，过点D作于点E，
∵，，
∴，

设，则，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，解题的关键是根据原点为位似中心，求出的三个对应点，然后顺次连接即可．
【详解】解：以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的图形的对应点为：或，如图所示：

20．
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
21．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先证得，再结合，即可判定，熟练掌握有两条边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似，是解此题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，
．
22．（1）1（2）
【详解】分析：
（1）观察、分析所给等式可得：，结合即可求得本题的答案为1；
（2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再结合（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案.
详解：
（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=csα，
∴sin2α+sin2（90°-α）= sin2α+cs2α=1；
（2）由（1）中结论可得：
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
=1+1+…1+
=44+
=．
点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）.
23．旗杆AB的高度约为
【分析】由题意可知，即．由光的反射原理可知，这样可以得到，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】解：由题意知，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，即，
∴，
答：旗杆AB的高度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、正切的应用等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
24．（1） y=300﹣10x（0≤x≤30）；（2）定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．
【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，进一步即可求出x的取值范围；
（2）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，
∴每件涨价x元，每星期实际可卖出（300﹣10x）件，
∴y与x的函数解析式为：y=300﹣10x；
由y≥0，即300﹣10x≥0，解得x≤30，
∴x的取值范围是0≤x≤30；
（2）设每星期的利润为w元，则由题意得：
w＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5时，w与取得最大值，最大值为6250，
∴定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系，本题属于中等题型．
25．有触礁危险．理由见解析
【分析】过点P作，设，根据题意得出，，列出方程求解x，再于9进行比较，即可得出结论．
【详解】解：过点P作于，
设，
∵，，
，
∴，，
即，，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴有触礁危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
26．(1)见解析
(2)
(3)当点D移到中点时，最小值为
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为8的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，即当点D移到中点时，最小值为．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合、全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．