2023-2024学年广西桂林市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西桂林市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用公式法解一元二次方程3x2−2x+3=0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是( )
A. a=3，b=2，c=3B. a=−3，b=2，c=3
C. a=3，b=2，c=−3D. a=3，b=−2，c=3
2.反比例函数y=−3x的比例系数是( )
A. −3B. 3C. −13D. 13
3.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. 1，2，3，4B. 2，4，3，5C. 4，8，5，10D. 3，9，4，7
4.甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2=16，S乙2=18，S丙2=5，S丁2=28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是( )
A. 甲团B. 乙团C. 丙团D. 丁团
5.如图，从点C观测点D的仰角是( )
A. ∠DAB
B. ∠DCE
C. ∠DCA
D. ∠ADC
6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段BC=3cm，则线段AB的长是( )
A. 1cm
B. 23cm
C. 32cm
D. 2cm
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则csA的值是( )
A. 35
B. 34
C. 43
D. 45
8.两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是( )
A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：4
9.如图，某商场大厅电梯的横截面示意图中，AB的长为12米，AB与BC的夹角为α，则高AC为( )
A. 12sinα米
B. 12csα米
C. 12sinα米
D. 12csα米
10.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程x2+kx−k=0的根的情况是( )
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
11.如图，点C是线段AB的黄金分割点，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是( )
A. S1=12S2
B. S1=2S2
C. S1=S2
D. S1= 5−12S2
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是( )
A. 2sB. 2s或6sC. 6sD. 6s或8s
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若2a=3b，则a：b=______．
14.一元二次方程(x−3)(x−1)=0的解是______．
15.一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒.
16.若∠A为锐角，且tanA=1，则∠A的度数为______．
17.为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理.如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为______cm．
18.如图，点A在反比例函数y=2x(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴交x轴于点C，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点B，若BC=3AC，则k的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：|−3|−2sin30°−(12)−1+ 12．
20.(本小题6分)
解一元二次方程：x2−6x+8=0．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)AC=4，AB=5且AD=3，求AE的长．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,3)．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；
(2)求B1C1的长．
23.(本小题10分)
王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
(1)填空：这20条鱼质量的中位数是______，众数是______．
(2)求这20条鱼质量的平均数．
(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克20元，请利用这个样本的平均数，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
24.(本小题10分)
第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，本届亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力.某商场在销售吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利20元时，每天可售出140套，在此基础上，如果销售单价每降价1元，则平均每天可多销售10套．
(1)当每套徽章盈利18元时，每天可销售多少套？
(2)商场为了让更多人获得“江南忆”，进行让利销售，同时确保销售徽章的日盈利达到2400元，则每套吉祥物徽章可降价多少元销售？
25.(本小题10分)
【阅读与理解】
【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法.现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式x2+bx+c>0呢？
例：解不等式x2+3x+2>0．
解：由于一元二次方程x2+3x+2=0有两个实数根，分别为x1=−1，x2=−2，
所以二次三项式x2+3x+2可因式分解为：x2+3x+2=(x+1)(x+2)．
因此，原不等式可变形为(x+1)(x+2)>0．
根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得x+1>0x+2>0…①或x+1<0x+2<0…②，
分别解不等式组①和②，得：x>−1或x<−2．
从而原不等式的解集为x>−1或x<−2．
【问题解决】请仿照材料中不等式x2+3x+2>0的解法，解答下列问题：
(1)将多项式x2−5x+6在实数范围内因式分解；
(2)解不等式x2−5x+6<0；
(3)解不等式2x2+4x>−1．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=3 3x(x>0)图象上任意一点，点B是x轴正半轴上的任意一点．
(1)若点P是OA上一点，∠OBP=∠A，试说明△OPB∽△OBA；
(2)在(1)的条件下，已知点A的横坐标为 3，点B的坐标( 3,0)，求点P的坐标；
(3)若点A的纵坐标为 3，点B的坐标(2,0)，OA上是否存在一点P使得△OPB与△AOB相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号，首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．
【解答】
解：∵3x2−2x+3=0，
∴a=3，b=−2，c=3．
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：反比例函数y=−3x的比例系数是−3，
故选：A．
根据反比例函数的定义得出答案即可．
本题考查了反比例函数的定义，注意：形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫反比例函数，其中k叫函数的系数．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B、∵2×5≠4×3，∴四条线段不成比例；
C、∵4×10=8×5，∴四条线段成比例；
D、∵3×9≠4×7，∴四条线段不成比例．
故选：C．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=16，S乙2=18，S丙2=5，S丁2=28，
∴S丙2∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】B
【解析】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
根据仰角的定义进行解答便可．
本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
6.【答案】C
【解析】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴ABBC=12，
∵BC=3cm，
∴AB=32(cm)．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB=5，AC=4，
∴csA=ACAB=45．
故选：D．
根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的对应中线之比是1：2，
故选：B．
根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，AB=12米，∠ABC=α，
∴AC=AB⋅sinα=12sinα(米)，
故选：A．
根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，
∴k>0，
∵关于x的一元二次方程x2+kx−k=0中，Δ=k2+4k>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
首先根据反比例函数的性质求得k的取值范围，从而利用根的判别式确定方程的根的情况即可．
本题考查了反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够根据反比例函数的性质确定k的取值范围，难度不大．
11.【答案】C
【解析】解：∵BCAC=ACAB，
∴AC2=BC⋅AB，
∴S1=S2，
故选：C．
由BCAC=ACAB，推出AC2=BC⋅AB，可得结论．
本题考查黄金分割，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】A
【解析】解：8÷1=8(秒)，6÷2=3(秒)．
当运动时间为t秒时，AP=t cm，BP=(8−t)cm，BQ=2t cm，
根据题意得：2t×(8−t)÷2=12，
整理得：t2−8t=12，
解得：t1=2，t2=6(不符合题意，舍去)，
∴点P的运动时间是2秒．
故选：A．
利用时间=路程÷速度，可求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，BP=(8−t)cm，BQ=2tcm，根据△PBQ的面积为12cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】3：2
【解析】【分析】
本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积整理即可．
【解答】
解：∵2a=3b，
∴a：b=3：2．
故答案为：3：2．
14.【答案】3，1
【解析】解：(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
∴x1=3，x2=1．
故答案为：3，1．
两个因式的积为0，这两个因式分别为0，可以求出方程的根．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，一个一元二次方程化为两个因式的积为0的形式，由这两个因式分别为0求出方程的根．
15.【答案】750
【解析】解：根据题意可得记号豆子的比例为230=115，
此时瓶中的豆子总粒数大约是：50÷115=750(粒)．
故答案为：750．
首先计算出第二次取出的记号豆子占所有记号豆子的比例，再用第二次取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出．
本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，注意要理解抽样调查和普查的区别．
16.【答案】45°
【解析】解：∵∠A为锐角，且tanA=1，tan45°=1，
∴∠A=45°．
故答案为：45°．
直接根据tan45°=1进行解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
17.【答案】403
【解析】解：由题意可得：AB//DC，
则△ABO∽△CDO，
故ABDC=30DC=4520，
解得：DC=403(cm)．
故答案为：403．
正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABO∽△CDO，结合相似三角形的性质，利用AB的值求出DC．
此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．
18.【答案】−6
【解析】解：设点A的坐标为(m,2m)，则B(m,km)，
∴AC=2m，BC=−km，
∵BC=3AC，
∴−km=3×2m，
∴k=−6，
故答案为：−6．
设点A的坐标为(m,2m)，则B(m,km)，根据BC=3AC列出关于k的方程，解出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，导出线段AC、BC关于k的代数式是解答本题的关键．
19.【答案】解：|−3|−2sin30°−(12)−1+ 12
=3−2×12−2+2 3
=3−1−2+2 3
=2 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
∴x−2=0或x−4=0，
解得x1=2，x2=4．
【解析】根据解越野车方程的方法−因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握分解因式法解一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，
∴∠AED=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∵AC=4，AB=5，AD=3，
∴35=AE4，
∴AE=125．
【解析】(1)由DE⊥AB得到∠DEA=∠C=90°，然后得到△DEA∽△BCA；
(2)利用相似三角形的性质求得AE的长．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)B1C1= 22+62=2 10．

【解析】(1)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用勾股定理求解．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
23.【答案】1.4 1.5kg
【解析】解：(1)∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.4，
∴这20条鱼质量的中位数是1.4+1.42=1.4(kg)，众数是1.5kg．
故答案为：1.4，1.5kg；
(2)x−=1.2×2+1.3×4+1.4×5+1.5×6+1.6×2+1.720=1.42(kg)．
故这20条鱼质量的平均数为1.42kg；
(3)20×1.42×2000×90%=51120(元)．
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入51120元．
(1)根据中位数和众数的定义求解可得；
(2)利用加权平均数的定义求解可得；
(3)用单价乘(2)中所得平均数，再乘存活的数量，从而得出答案．
本题考查了用样本估计总体、加权平均数、众数及中位数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数，难度不大．
24.【答案】解：(1)根据题意得：140+10×(20−18)
=140+10×2
=140+20
=160(套)．
答：每天可销售160套；
(2)设每套吉祥物徽章降价x元销售，则每套的销售利润为(20−x)元，平均每天可销售(140+10x)套，
根据题意得：(20−x)(140+10x)=2400，
整理得：x2−6x−40=0，
解得：x1=10，x2=−4(不符合题意，舍去)．
答：每套吉祥物徽章可降价10元销售．
【解析】(1)利用每天的销售量=140+10×每套吉祥物徽章降低的钱数，即可求出结论；
(2)设每套吉祥物徽章降价x元销售，则每套的销售利润为(20−x)元，平均每天可销售(140+10x)套，利用总利润=每套的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)x2−5x+6=(x−2)(x−3)；
(2)∵x2−5x+6=(x−2)(x−3)<0，
∴x−2>0x−3<0或x−2<0x−3>0，
解得：2∴原不等式的解集为：2(3)不等式2x2+4x>−1可化为：2x2+4x+1>0，
由于一元二次方程2x2+4x+1=0有两个实数根，分别为x1=−2+ 22，x2=−2− 22，
所以二次三项式2x2+4x+1可因式分解为：2x2+4x+1=(x−−2+ 22)(x−−2− 22).
因此，原不等式可变形为(x−−2+ 22)(x−−2− 22)>0．
根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得x−−2+ 22>0x−−2− 22>0①或x−−2+ 22<0x−−2− 22<0②，
分别解不等式组①和②，得：x>−2+ 22或x<−2− 22．
从而原不等式的解集为：x>−2+ 22或x<−2− 22．
【解析】(1)根据“十字相乘法”分别因式；
(2)根据题中的方法及(1)的结果求解；
(3)根据题中的方法求解．
本题考查了因式分解与方程和不等式的关系，理解题意是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠OBP=∠A，∠AOB=∠POB，
∴△OPB∽△OBA；
(2)解：∵点A的横坐标为 3，点B的坐标( 3,0)，
∴AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°，
∵△OPB∽△OBA，
∴∠ABO=∠OPB=90°，
∵点A的横坐标为 3，
∴A( 3,3)，
∴AB=3，OB= 3，
∴tan∠OAB= 33，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBP=30°，
∴OP=12OB= 32，
过P点作PG⊥x轴交于G点，
∴OG=12OP= 34，PG=OPsin60°=34，
∴P( 34,34)；
(3)解：存在点P，使得△OPB与△AOB相似，理由如下：
∵点A的纵坐标为 3，
∴A(3, 3)，
设直线OA的解析式为y=kx，
∴3k= 3，
∴k= 33，
∴直线OA的解析式为y= 33x，
过点A作AH⊥x轴交于H，
∵AH= 3，OH=3，
∴tan∠AOH= 33，
∴∠AOH=30°，
∵OB=2，AB=2，
∴BO=AB，
∴∠OAB=30°，
∴△OBA是等腰三角形，
①当OP=PB时，∠POB=∠PBO=30°，
∴P点在OB的垂直平分线上，
∴P点的横坐标为1，
∵P点在直线OA上，
∴P点坐标为(1, 33)；
②当OP=OB时，此时△OPB的顶角是30°，△OPB与△AOB不相似；
③当BP=OB时，P点与A点重合，此时P(3, 3)；
综上所述：P点坐标为(1, 33)或(3, 3).
【解析】(1)由∠OBP=∠A，∠AOB=∠POB，即可证明；
(2)过P点作PG⊥x轴交于G点，由OG=12OP= 34，PG=OPsin60°=34，即可求P点坐标；
(3)过点A作AH⊥x轴交于H，可以判断出△OBA是等腰三角形，再分三种情况讨论：①当OP=PB时，P点在OB的垂直平分线上，可求P点坐标为(1, 33)；②当OP=OB时，此时△OPB的顶角是30°，△OPB与△AOB不相似；③当BP=OB时，P点与A点重合，此时P(3, 3).
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．