2024-2025学年江苏省南京市高一上册10月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高一上册10月月考数学质量检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了 已知，则“且”是“”的， 已知集合，若，则实数a的值为， 已知，，若，则的最小值为， 已知命题， 已知，下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=
A. ｛1,4｝B. ｛2，3｝C. {9，16}D. ｛1,2}
3. 已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中一定正确的是（ ）．
A. B.
C D.
4. 已知，则“且”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A. 5或B. C. 5D.
6. 已知，，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
7. 设，则满足  的集合A的个数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确为（ ）
A. B. A的不同子集的个数为8
C. D.
11. 如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 存在集合A，使得
C. 若，则
D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___．
13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______.
14. 已知，则的最小值为______.
四、解答题，本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
16. 已知命题；命题.
（1）若p为真命题，求实数a最小值；
（2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围.
17. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米.
（1）若建造健身步道费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少?
（2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长?
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”必要条件，求实数a的取值范围；
（3）若，使，求实数a的取值他围.
参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为.
19. 对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.
（1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由；
（2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值；
（3）设集合，若，求证.
2024-2025学年江苏省南京市高一上学期10月月考数学质量检测试题
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用存在量词命题的否定，直接判断即可.
【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以为.
故选：A
2. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=
A. ｛1,4｝B. ｛2，3｝C. {9，16}D. ｛1,2}
【正确答案】A
【分析】依题意，，故
【详解】依题意，，故.
【考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.
3. 已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中一定正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用集合交、并、补运算以及逐一判断即可.
【详解】集合，是的子集，且，
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，不包括属于且不属于的部分，故C不正确；
对于D，，其交集为属于且不属于的部分，故D不正确.
故选：B
4. 已知，则“且”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据不等式性质判断两条件关系，再根据充分必要概念作选择.
【详解】，
因此充分性成立；
，
因此必要性成立，
综上是充分必要条件，选C.
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
5. 已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A. 5或B. C. 5D.
【正确答案】D
【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件.
【详解】因为，所以，所以或.
若，则，此时，此时不成立；
若，则或，
当时，，B中有两元素相等，故不成立；
当时，此时，此时成立；
综上.
故选：D
6. 已知，，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
【正确答案】D
【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.
【详解】由可得，
，
当且仅当等号成立，
故选：D.
7. 设，则满足  的集合A的个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】集合至少包括所有元素，还要从根据任意取1个，2个或个元素，则根据组合个数可求解.
【详解】集合至少包括所有元素，
还要从根据任意取1个，2个或个元素，
则集合的个数为，
故选：D
8. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可.
【详解】命题为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，

由图可知：或，
命题为真命题，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
【正确答案】BD
【分析】对A：举反例说明；对BCD：作差后根据条件判断大小.
详解】对于选项A，当时，，故A错误;
对于选项B，，因为，所以，
所以，即，故B正确;
对于选项C，，
因为，所以，
所以，即，故C错误；
对于选项D，因为，
又因为，所以，所以，即，故D正确.
故选:BD.
10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A. B. A的不同子集的个数为8
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.
【详解】因为，
因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9；
因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7；
因为，所以集合与的公共元素只有3；
所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即.
如图：
所以：，，，故AC正确；
因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；
因为，故D错误.
故选：ABC
11. 如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 存在集合A，使得
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可；
选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可；
选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可；
选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可.
【详解】若，
所以
故，选项A正确；
若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误；
若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确；
若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个，
即
故，所以选项D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___．
【正确答案】
【分析】直接计算并集得到答案.
【详解】集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则.
故答案为.
13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得.
【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得；
但且两端等号不同时成立，所以，即；
因此实数m的取值范围为.
故
14. 已知，则的最小值为______.
【正确答案】4
【分析】变形给定式子，令，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，令，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故4
四、解答题，本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；
（2）求得集合，分、结合的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围.
【小问1详解】
若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所以实数m的值为或；
【小问2详解】
，
因为，所以，
由（1）知时，，不符合，
当时，若，解得，此时，符合，
若，解得，此时方程的根为，
集合，符合，
若，由，则可得，
此时有且，无解，
综上所述：实数m的取值范围为.
16. 已知命题；命题.
（1）若p为真命题，求实数a的最小值；
（2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值，
（2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论.
【小问1详解】
因为为真命题，所以的解集为，
所以，解得，
所以实数a的最小值为；
【小问2详解】
因为，所以，所以，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
因为，所以当为真命题时，，
由（1）可知为真命题时，，
当为真命题，为假命题时，，所以，
当为假命题，为真命题时，，所以，
综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为.
17. 如图（示意），在公路一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米.
（1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少?
（2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长?
【正确答案】（1）规划时，面积最少
（2）步道至少有7米.
【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可；
（2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可.
【小问1详解】
根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为，
即，所以有，
而公园占地面积
，
当且仅当时取得等号，
所以规划时占地面积最少；
【小问2详解】
根据题意有：，即，
而，
当且仅当，即时取得等号.
所以规划时，即步道至少为7米.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围；
（3）若，使，求实数a的取值他围.
参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先求得集合A，利用条件及二次函数的性质得集合B，由交集的概念计算即可；
（2）利用反比例函数的性质求得C，再根据必要条件得出，利用集合的基本关系及二次函数动轴定区间分类讨论计算即可；
（3）将问题转化为，结合（2）的结论分类讨论计算即可.
【小问1详解】
由可得，即，
而时，，
由二次函数的性质知，即，所以；
【小问2详解】
根据反比例函数的性质知时，，则，
由（1）知：，由“”是“”的必要条件可得，
①若，即时，结合二次函数的性质，
当时，，
当时，，
即，
易知，所以，
若，显然满足，
若，，
要满足题意则需，或，
所以；
②若，即时，同上知，
且，所以，则，
此时，
要满足题意需，或，
所以；
③若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，
且，所以，与前提矛盾，舍去；
④若，即时，结合二次函数性质，
当时，，
当时，，
即，
且，所以，
即，
显然，有，不符题意；
而时，，
要满足题意需，与前提矛盾舍去，
或，也与前提矛盾，舍去；
综上所述：；
【小问3详解】
由，使恒成立知恒成立，
由（2）知：
①时，，则；
②时，，则；
③时，，则，所以；
综上所述.
19. 对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.
（1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由；
（2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值；
（3）设集合，若，求证.
【正确答案】（1）不具有孪生性质，具有孪生性质；
（2）675 （3）证明见解析．
【分析】（1）根据新定义直接验证；
（2）求出和，由它们的交集为空集可得；
（3）求出中的可能元素，根据分析元素的性质可得．
【小问1详解】
由题意，，，，
,
所以不具有孪生性质，具有孪生性质；
【小问2详解】
由题意，，
，则，，
又，所以的最小值是675；
【小问3详解】
，
则都属于集合，
又，则，
又，所以，所以，
方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论．