2024-2025学年江苏省苏州市高一上册第一次月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高一上册第一次月考数学质量检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 32
2. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A. 对任意正整数，关于的方程都没有正整数解
B. 对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C. 存在正整数，关于方程至少存在一组正整数解
D. 存在正整数，关于方程至少存在一组正整数解
4. 已知实数，，下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设,且,则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元，则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A 250元B. 260元
C. 270元D. 280元
7. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
8. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分．
9. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A. 若，则满足戴德金分割
B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素
C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素
D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式组解集为________．
13. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______.
14. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
16. 已知函数，．
（1）当时，，求的最小值；
（2）当时，，求关于x不等式的解集．
17. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.
（1）分别写出用表示 和用表示 的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
18. 已知二次函数，其中．
（1）若且，
①证明：函数必有两个不同的零点；
②设函数在轴上截得的弦长为，求的取值范围；
（2）若且不等式的解集为，求的最小值．
19. 设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集．
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由．
2024-2025学年江苏省苏州市高一上学期第一次月考数学质量
检测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，集合，则的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 32
【正确答案】B
【分析】利用并集的定义求得，可得结论.
【详解】因为，
所以的元素个数为4个.
故选：B.
2. 设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】因为，推不出，
而，
所以甲是乙的必要不充分条件，
故选：B
3. 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A. 对任意正整数，关于的方程都没有正整数解
B. 对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【正确答案】D
【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.
【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为：
存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解.
故选：D.
4. 已知实数，，下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D.
【详解】对于A，取，得，A错误；
对于B，，则，B错误；
对于C，，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
5. 设,且,则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】,
当且仅当即时等号成立.
故选:C.
6. 已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元，则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A. 250元B. 260元
C. 270元D. 280元
【正确答案】C
分析】根据条件，列出不等式，解不等式可得结果.
【详解】由题意，列不等式，得：，
整理得.
又，，所以.
所以，每间客房每天的定价应为：(元).
故选：C
7. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【正确答案】B
【分析】根据条件，得到，即可求出结果.
【详解】因为，
故，得到，解得，
所以解集为，
故选：B.
8. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论.
【详解】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分．
9. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】
分别令等于，判断是否为整数即可求解.
【详解】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确；
对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确；
对于选项C：由，可得，，
若则可得， ，不成立；
若则可得， ，不成立；
若，可得，此时， ，不成立；
同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确；
对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确，
故选：ABD.
10. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【正确答案】AC
【分析】A选项，由为正实数，列不等式求的范围；B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值.
【详解】对于A，正实数，满足，
则有，解得，即，A选项正确；
对于B，，有，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，B选项错误；
对于C，，
由，则时，的最小值为，C选项正确；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，
最小值为，D选项错误.
故选：AC
11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A. 若，则满足戴德金分割
B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素
C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素
D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素
【正确答案】BD
【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误.
【详解】A选项，，故，A错误；
B选项，设，满足，
此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确；
C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误；
D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式组的解集为________．
【正确答案】
【分析】先解每一个不等式，然后求其交集即可
【详解】由，得，即，
解得或，
由，得，解得，
所以
所以不等式组的解集为.
故
13. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______.
【正确答案】20
【分析】用韦恩图进行求解，设集合，
集合，全集，再根据题意进行求解
【详解】如图所示
设两科均未取得优秀的人数为，则
所以两科均未取得优秀的人数为20人
本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数
14. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围
【详解】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以，只需，解得：，
当时，显然满足题意，
综上，的取值范围为，
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）算出，即可计算出；
（2）分是否为空集计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，
当时，，则，
故.
【小问2详解】
当时，，解得，此时，符合题意，
当时，由，可得解得，
综上，的取值范围为.
16. 已知函数，．
（1）当时，，求的最小值；
（2）当时，，求关于x不等式的解集．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为，结合不等式的解法，即可求解.
小问1详解】
解：因为时，，可得，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时取等号，即，时取得最小值为．
【小问2详解】
解：因为当时，，可得，
则，
因为，所以，则解不等式可得或，
则不等式的解集为或．
17. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.
（1）分别写出用表示 和用表示 的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
【正确答案】（1）（2）矩形场地时，运动场的面积最大，最大面积是
【详解】试题分析：（1）塑胶运动场地占地面积为中间三个矩形面积的和.其中大矩形的宽为米,长为米.两个小矩形的长为米,宽为米.其中,则.根据矩形的面积公式可用x表示y和S的函数关系式.根据各边长为正及可得的范围.（2）由(1)知,用基本不等式求其最值.
解：（1）由已知∴，故，
由，解得，∴．
，
根据，得，
∴.
（2），
当且仅当，即时等号成立，此时.
所以，矩形场地时，运动场的面积最大，最大面积是.
考点：1函数解析式;2基本不等式.
18. 已知二次函数，其中．
（1）若且，
①证明：函数必有两个不同的零点；
②设函数在轴上截得的弦长为，求的取值范围；
（2）若且不等式的解集为，求的最小值．
【正确答案】（1）①证明见解析，②
（2）
【分析】（1）①由题意可得，进而根据判别式为正判断即可；
②由及可得，再根据弦长求解范围即可.
（2）根据开口方向与判别式可得且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
若且，则，
① ∵，
∴函数必有两个不同的零点．
② 由及，得，
∴，
不妨设函数的零点为，则，
∴函数在轴上截得的弦长
【小问2详解】
根据题意且，
∴且，∴，
令，
则
，
当且仅当，即，也即时取等号．
∴的最小值为．
19. 设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集．
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由．
【正确答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由见解析
【分析】（1）利用积集的定义直接求解即可.
（2）设，且，利用积集定义分析中元素大小关系，再举例即可求解；
（3）不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可.
【小问1详解】
因为，
故集合中所有可能的元素有，即，
.
【小问2详解】
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又当时，，此时中元素个数等于7个，
所以积集B中元素个数的最小值为7.
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
又，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
方法点睛：集合新定义问题，关键要在理解新定义的基础上，利用列举法和反证法进行求解.