广东省揭阳市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在“考场号”、“座位号”栏内填涂考场号、座位号.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. “营老爷”是潮汕地区一项传统民俗活动.年，潮汕某地举行了历史悠久的三年一度“营老爷”大巡游，按照这“三年一度”的规律，该地有可能进行“营老爷”大巡游的时间是（ ）
A 年B. 年C. 年D. 年
7. 表示的曲线为（ ）
A. 两个半圆B. 一个圆
C. 半个圆D. 两个圆
8. 已知四棱锥中，侧面底面，，底面是边长为的正方形，是四边形及其内部的动点，且满足，则动点构成的区域面积为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D. ∥
10. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 公积为1D.
11. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点．直线的方程为．则下列结论正确的有（ ）
A. 的蒙日圆的方程为
B. 直线上存在点，椭圆上存在、，使得
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线倾斜角为_______________.
13. 在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，则_______．
14. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
（1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程.
（2）求边上的高所在直线的方程.
16. 在数列中，，点在直线上.
（1）求通项公式；
（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.
17. 在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19. 设满足以下两个条件的有穷数列、、、为阶“曼德拉数列”：①；②
（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，直接写出一个满足条件的数列的通项（不需要证明）．
（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用、表示）．
（3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．