广东省清远市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A. 8B. C. D. 2
2. 已知抛物线的准线方程是，则的值为
A. 2B. 4C. -2D. -4
3. A同学为参加《古诗词大赛》进行古诗词巩固训练，她第1天复习10首古诗词，从第2天起，每一天复习的古诗词数量比前一天多2首，每首古诗词只复习一天，则10天后A同学复习的古诗词总数量为（ ）
A. 190B. 210C. 240D. 280
4. 经过两条直线与交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A. 22B. 26C. 35D. 51
8. 已知双曲线的离心率为，右焦点到其渐近线的距离为，过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，下列说法正确的是（ ）
A 若三个数成等差数列，则
B. 若三个数成等差数列，则
C. 若三个数成等比数列，则
D. 若三个数成等比数列，则
10. 如图，在多面体中，平面与平面都是正方形，侧面，都是等腰直角三角形，且均与平面垂直，，则（ ）
A.
B. 直线与直线共面
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 多面体的体积为
11. 类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字1.如取，则的值依次为，共需5个步骤变成1，则称该运算为5步运算，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，值依次为
B. 当时，该运算为7步运算
C. 当运算为7步运算时，的值可能有13个
D. 当运算为7步运算时，的最大值与最小值之和为137
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知点，向量，且，则点的坐标为__________．
13. 北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________.
14. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为.
（1）求弦长；
（2）若圆与圆相交，求的取值范围.
16. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
17. 如图，已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且.

（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与直线关于轴对称，试在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离.
18. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的正弦值.
19. 若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”.
（1）已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围；
（2）已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由；
（3）已知正项等比数列是首项为1，公比为整数“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”.