广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ）
A. 直线l的斜率为1B. 直线l的倾斜角为
C. 直线l的方向向量为D. 直线l的法向量为
2. 若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
3. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A. B. C. -1D. 1
4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ）

A. B.
C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知空间向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线与直线之间的距离为__________.
13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
14. 圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点为线段的中点，点N是直线上一点，则的最小值为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求的大小；
（2）若，且，求的取值范围．
16. 已知等差数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列．
（1）求数列和数列通项公式；
（2）记，求数列前项和；
（3）记，求．
18. 如图，正四棱台中，为中点，．
（1）当时，
（i）求证：平面平面；
（ii）求直线与平面所成角正弦值．
（2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积．
19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.