广东省潮州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答素，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.
一､选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）
（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果.
【详解】因为，且，所以的倾斜角
故选：B
2. 等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ）.
A. 16B. 15C. 14D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列求和公式结合等差数列性质即可求解；
【详解】因为，所以，
所以,
所以，所以，
故选：D
3. 若椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值.
【详解】依题意，，所以.
故选：D
4. 是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，求解即可；
【详解】由，得，即，解得.
故选：A
5. 已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解
【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径.
故以为直径的圆的标准方程为.
故选：C
6. 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解.
【详解】建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，
所以在方向上的投影向量的模为，
所以点到直线的距离.
故选：B.
7. 已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程求出可得双曲线C的右焦点为，则可求出的坐标，从而可得答案.
【详解】由渐近线方程化简得，即，
同时平方得，
又双曲线中，故，解得或（舍去），
所以双曲线，
所以双曲线C的右焦点为，
右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，
则，
故弦的长度为.
故选：A.
8. 记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（ ）
A. 18B. 12C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列通项公式求得，再由与的关系即可求解；
【详解】∵，∴，
又∵是公差为的等差数列，
∴，∴，
∴当时，，
∴，整理得：，即，
∵，∴……2，∴
故选：B
（二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ）
A. 圆心，半径为
B. 点在圆外
C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条
D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解.
【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确；
因为，
所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误；
设点M圆Q上任意一点，
由题意可知的最小值为，选项D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在三棱柱中，，分别是上的点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设，，，先求出，，根据空间向量的运算以及数量积的运算法则判断AB；根据空间向量的加减运算判断C；将两边平方化简后可判断D.
【详解】设，，，因为，
，，所以，.
对于A､B选项，因为，
，
所以，所以与不垂直，即B错误；
因为，所以，
，，
所以，故A正确；
对于C选项，因为，，
所以，
，
所以，故C错误；
对于D选项，
，
所以，故D正确.
故选：AD.
11. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则（ ）
A. B. 以为直径的圆与轴相切
C. D. 三角形的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抛物线焦点坐标求出可判断A；求出圆心坐标与圆的半径可判断B；利用焦半径公式可判断C；求出点到直线的距离，结合三角形面积公式判断D.
【详解】A选项：因为抛物线的焦点为，所以，所以A选项正确；
则抛物线的方程为.设.
B选项：因为，因为，所以MF的中点为，
所以点A到y轴的距离为，
因为直径，所以半径，所以
所以，以MF为直径的圆与y轴相切，B选项正确.
C选项：由消去，并化简得，所以，
因为直线过抛物线的焦点，
所以，C选项正确.
D选项：直线，即，
点到直线的距离为，
所以三角形的面积为，D选项错误.
故选：ABC.

二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等比数列的公比为3，记其前项和为，则__________.
【答案】82
【解析】
【分析】利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为等比数列的首项，
所以.
故答案为：82.
13. 直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为__________.
【答案】4或-6
【解析】
【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可；
【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为，
所以弦心距，
因为弦长为，所以，即，
解得或.
故答案为：4或-6.
14. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式及椭圆的定义，进行代换，得到答案.
【详解】由基本不等式及椭圆的定义可知，
所以当且仅当
由题意知，解得
所以，所以,
故答案为：
三､解答题：本题共5小题，第15题13分，第16､17题每题15分，第18､19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知等差数列的公差，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列性质，，化简得到原等差数列公差与，得到答案.
（2）列出数列的前n项和为，进行代换得到题干要求式子，进行求和，化简得到答案.
【小问1详解】
∵等差数列中，成等比数列，
∴，∴
化简得，∵，解得，
所以数列的通项公式为:.
【小问2详解】
数列的前n项和为，
所以，所以
,
所以答案为：.
16. 四边形的四个顶点坐标分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积.
【答案】（1）
（2），13
【解析】
【分析】（1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解；
（2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，所以边BC的中点为，
又因为边BC的斜率为，
所以边BC的垂直平分线的斜率为，
所以边BC的垂直平分线的方程为，
化简得；
【小问2详解】
因为四边形为平行四边形，顶点，
所以，且，
联立，解得，
所以顶点.
因为边BC的斜率为，
所以直线BC的方程为，
化简得，
所以点到直线BC的距离为，
又，
所以平行四边形的面积为
17. 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得平面,进而得到结论.
(2) 因为底面，,所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法即可解得结果.
【小问1详解】
证明：，，所以，
因为底面，所以，
因为平面，且，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
【小问2详解】
解：因为底面，，所以，分别以所在直线为轴，轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，
可得：，，，，
所以，，
因为点E在CD上，且，
所以，所以，
设为平面的一个法向量，
则，，即，，
，
令，则，，，
设直线BE与平面所成的角为，
，
直线BE与平面所成角正弦值为.
18. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求满足条件的最大整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）12
【解析】
【分析】(1)将等式两边同时取倒数，进行化简即可得证；
(2)利用(1)中的结论即可求出数列的通项公式；
(3)根据数列的通项公式，写出新的数列的通项公式，利用裂项相消法化简，再写出前项和，解关于的不等式即可求解.
【小问1详解】
证明：因为数列满足，
所以，即，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列；
【小问2详解】
由(1)可知数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以数列的通项公式为；
【小问3详解】
因为，所以，
所以，
设数列的前项和为，
所以
，
若，即，解得，
因为n是整数，
所以满足的最大整数的值为12.
19. 椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点.
（i）若点不共线，求三角形的面积的最大值；
（ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）直线过定点.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定长，列出等式，即可求得结果.
（2）（i）写出三角形的面积表达式，进而求出面积最大值.
（ii）分情况讨论直线斜率不存在时，斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点.
【小问1详解】
椭圆：（）的一个焦点为，
则另一个焦点坐标，且椭圆经过点.
所以，所以，
所以，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
椭圆右顶点，设，.
（i）三角形的面积为，
因为，
所以
三角形的面积的最大值为.
（ii）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；
故可设直线的方程为，
联立，得，
且满足.
∴，，
∵，
∴，
∴，
化简得，
∴，
化简得，
解得或.
易知，当时，，此时直线过右顶点，不符合题意.
①当时，直线的方程为，过定点，与右顶点重合，不符合题意.
②当时，代入，解得（）.
此时，直线方程为，过定点.
综上所述：直线过定点
【点睛】关键点点睛: 对于恒过定点问题：当斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点，再考虑斜率不存在时的情况.