广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
3．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ）
A．11B．13C．22D．33
4．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
8．在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为D．在区间上单调递减
11．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ）
A．4是的一个周期B．的图象关于直线对称
C．D．方程恰有8不同的实数根
三、填空题
12．已知随机事件和互斥，和对立，且，则 ．
13．已知函数若只有一个零点，则的取值范围是 ．
14．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知的内角、、的对边分别为、、，有余弦定理：
，
，
．
(1)在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
(2)若，，，求的面积．
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
(1)求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
(2)经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面平面BCDE；
(2)若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
18．已知函数的最大值为1．
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)设为函数的两个相异零点，求的最小值．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
(1)设，求和；
(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
(3)设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
1．B
根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案.
【详解】依题意，所以，所以．
故选：B．
2．A
根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，即，
当时，取，则，
所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误；
对于C，由，取，则，
由，取，则，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由，取，则，
由，取，则，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误．
故选：A．
3．D
根据题意，由百分位数定义计算即可求解.
【详解】该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意且，
则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故D正确.
故选:D．
4．C
根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可.
【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
而，则，所以．
故选：C．
5．A
根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解.
【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故选:A．
6．B
根据题意分别作出函数及的图象，即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．

由图象可知．故B正确.
故选:B．
7．A
对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，成立；
当时，抛物线开口向上，成立；
当时，由，得或，所以．
综上所述，．
故选：A.
8．B
A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等，可求得志愿者A被分配到站点4的概率.
【详解】A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，且A必然在站点2，3，4中的某一个，则A在站点2，3，4中的概率都是．
故选：B．
9．ABD
根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可.
【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；
对于，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于，，所以，故D正确．
故选:ABD．
10．AC
化简的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正确答案.
【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确；
令，求得，故B错误；
，令，
求得，故的一个零点为，故C正确；
当时，，而函数在上单调递减，
在上单调递增，所以在上没有单调性，故D错误．
故选：AC．
11．ACD
根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D.
【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即，
，
即的周期，故A正确；
对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误；
对于C，因为的周期，，则
当时，，则，
由，令则，令则，
所以，故C正确；
对于D，作出函数与函数的图象，如图．
所以曲线与有8个交点，故D正确．
故选:ACD.
12．0.6/
利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.
【详解】随机事件和互斥，则．
又和对立，.
故答案为：0.6．
13．
问题化为函数和，作出与的图象，数形结合确定参数范围即可.
【详解】函数只有一个零点，则函数和只有一个交点，
作出与的图象，如图所示．由图象可知，
当只有一个零点时，实数的取值范围为．
故答案为：.
14．
设的外接圆半径为，圆心为，根据正弦定理可求，根据几何关系可求到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求面积的最大值，即可得解.
【详解】设球的半径为，因为球的体积为，故，解得，
，设的外接圆半径为，圆心为，
根据正弦定理知，，即，
，
是球的直径，是AD的中点，
点到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理得，
即，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
三棱锥体积的最大值．
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）设，，，根据平面向量的减法可得出，再结合平面向量数量积的运算性质可证得结论成立；
（2）由正弦定理结合余弦定理可得出关于的方程，解出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）如图，在中，设，，，则，

所以，即．
同理可得，.
（2）由及正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
联立方程组整理，得，所以或（舍去）．
所以．
16．(1)，；76；
(2)总平均数是62，总方差是23．
(1)根据频率分布直方图的性质，求得，结合平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解.
【详解】（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可；
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.
【详解】（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
而底面ABC，所以，
因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
又因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
因为DE平面DME，所以．
又因为EM为上底面圆的直径，所以，
因为平面，所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为在底面ABC的射影为，所以，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面平面DME，所以，
所以，
所以，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)
(3)
（1）先应用两角和差的余弦公式结合辅助角公式计算化简，再结合值域列式求参；
（2）应用正弦函数的单调减区间列式计算求解；
（3）根据已知零点个数结合特殊值列式，再根据不等式性质求解最小值.
【详解】（1）
．
因为，所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（3）令，得，
因为为的两个相异零点，所以，
①，且，
或，且，
此时．
②，
，
所以．
综上所述，，即的最小值为．
19．(1)；；
(2)正确，理由见解析；
(3)3，证明见解析.
【详解】（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．样本分数段
[90，100]
频数
10
30
30
10
频率
0.1
0.3
0.3
0.1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
A
B
A
B
ABD
AC
题号
11









答案
ACD