九年级上学期期末数学试题 (4)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (4)，共29页。试卷主要包含了 的倒数是， 估计的值应在等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义即可求解．相乘等于1的两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2. 由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从左面看几何体得到的图形，即可进行判断．
【详解】解：由图可得，从左面看几何体有2列，第一列有2块，第二列有1块，
∴从左面看该几何体的形状图是：
故选：A．
【点睛】本题考查从三个方向看物体的形状，熟练掌握从不同方向看物体的方法是解答的关键．
3. 如图，点为反比例函数图象上一点，过作轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义和反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的几何意义进行计算即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第二象限，
∴，
故选：D．
4. 已知两个相似三角形的对应边之比为1：3，则它们的周长比为（ ）
A. 1：9B. 9：1C. 1：6D. 1：3
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质：周长的比等于相似比求解即可．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴两个相似三角形的周长之比为1：3，
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟记相似三角形的性质.
5. 将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和三角板的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
6. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式的法则运算，再根据逼近法即可得到答案．
【详解】解：原式 ，
∵ ，
，
∴
∴的值在5和6之间，
故选C．
【点睛】本题考查根式的四则运算及无理数的估算，解题的关键是正确化简根式．
7. 如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑥个图形中正方形的个数是（ ）
① ② ③ ④
A. 17B. 21C. 25D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得第①个图形中有正方形的个数为1；第②个图形中共有正方形的个数为5=1+1×4；第③个图形中共有正方形的个数为9=1+2×4；……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第①个图形中有正方形的个数为1；
第②个图形中共有正方形的个数为5=1+1×4；
第③个图形中共有正方形的个数为9=1+2×4；
……
由此发现：第n个图形中共有正方形的个数为4（n-1）+1=4n-3
∴第⑥个图形中正方形的个数是4×6-3=21．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
8. 如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，则的长为（ ）．
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的的性质，解直角三角形．根据圆周角定理得出，，根据切线的性质得出，解即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵为的切线，
∴，
在中，，
故选：B．
9. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点 F，连接，． 若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、互相垂直且平分是解题的关键．
10. 依次排列的两个整式，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）
①第7个整式为
②第34个整式中系数的绝对值比系数的绝对值大1
③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024
④若，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①按要求分别列出即可求解；②由①，可得规律当n是奇数时，a的系数比b的系数大1，当n是偶数时，b的系数比a的系数大1，再求解即可；③分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式的系数和是，即可求解；④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，共有2027个整式，奇数次操作是1，偶数次操作是，据此可求解．
【详解】解：①第1个整式：a，
第2个整式：b，
第3个整式：，
第4个整式：，
第5个整式：，
第6个整式：，
第7个整式：，
故①符合题意；
②由①可知，当n是奇数时，a的系数比b的系数大1，当n是偶数时，b的系数比a的系数大1，
∴第34个整式中系数的绝对值比系数的绝对值大1，
故②符合题意；
③第1个整式和第2个整式的系数和是2，
第3个整式和第4个整式的系数和是，
第5个整式和第6个整式的系数和是，
……
∴第11个整式和第12个整式的系数和是，
故③不符合题意；
④第2023次操作完成后，得到第2027个等式，
∴（其中1012个，1015个1）
故④不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据零指数幂、负整数指数幂、乘方的的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 函数中，自变量的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0以及二次根式有意义的条件：被开方数不小于0进行解答即可．
【详解】解：由题意得且，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
13. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形.
【答案】八
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【详解】解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得
，
解得：
故答案为：八．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14. 在中，现有以下四个条件：①，②，③，④，小马准备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出为正方形的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的判定条件分析判断即可．
【详解】解：题目中四个条件，随机选出两个，共计有种可能性，
其中能够证明为正方形的有4种，分别为：①②，①④，②③，③④，
故可以得出为正方形的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与简单概率计算，熟练掌握正方形的判定条件是解题关键．
15. 如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为______________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点C为的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 四边形中，，面积为且CD的长为，则的面积为_________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据证明得出，即可求解．
【详解】解：过点作于，过点作交的延长线于点，

的面积为且，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17. 已知关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数a的和是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等组至少有3个整数解，得到，则，再解分式方程得到，由分式方程有整数解得到是整数，由此求出a的值，再由确定出符合题意的a的值，最后求和即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组至少有3个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于y的分式方程有整数解，
∴，
∴，
∴是整数，
∴或或或，
∴或或或或或或或，
∵，
∴，
又∵，
∴或或或或或，
∴满足条件的所有整数a的和是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等组解的情况和分式方程解的情况确定a的值是解题的关键，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验．
18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N，称N为M的“一对称数”，并规定．例如：3412的“对称数”为2143，，则______；若（m为整数，），（n为整数，），且，s和t的各数位数字均不为0，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定，则k最大值为______．
【答案】 ①. ②. 909
【解析】
【分析】根据代入求解即可；首先表示出s和t的“对称数”，然后求出的取值范围，然后代入求解即可．
【详解】根据题意可得，
；
∵（m为整数，），
∴s的千位数字为6，百位数字为5，十位数字为，个位数字为1，
∴s的“对称数”为，
∵（n为整数，），
∴t的千位数字为3，百位数字为2，十位数字为n，个位数字为7，
∴t的“对称数”为，
∵，
∴
∵
∴
∵m，n都是整数，
∴是整数，
∴，11，12，13，14，15，16，17，
∴
∵s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除
∴将，11，12，13，14，15，16，17，分别代入可得，
∴当时，s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除
∴
．
故答案为：，909．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19. 计算：
（1）（x+3y）（x﹣y）﹣（x+y）2
（2）（a﹣1﹣）
【答案】（1）﹣4y2；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据多项式乘多项式和完全平方公式化简式子，后进行减法运算即可求解.
（2）先进行通分，后进行分式混合运算即可求解．
【详解】解：（1）（x+3y）（x﹣y）﹣（x+y）2
＝x2+2xy﹣3y2﹣x2﹣2xy﹣y2
＝﹣4y2；
（2）（a﹣1﹣）
＝
＝
＝
＝
＝．
【点睛】此题考查分式和整式混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
20. 如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在CB的延长线上取点E，使CE＝CD，连接DE交AB于点F，作∠ABC的平分线BG交CD于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDG为平行四边形．
证明：∵BG平分∠ABC
∴∠ABG＝∠CBG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABG＝∠CGB，∠CDE＝∠BFE
∴∠CGB＝①
∴CB＝CG．
∵CE＝CD，CB＝CG
∴CE﹣CB＝CD﹣CG，即BE＝②
∵CD＝CE
∴∠CDE＝③
∵∠CDE＝∠BFE，∠CDE＝∠BEF
∴∠BFE＝④
∴BE＝BF
∵BE＝DG，BE＝BF
∴DG＝⑤
∵AB∥CD，DG＝BF
∴四边形BFDG为平行四边形．（推理根据：⑥ ）
【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤，⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）先延长，以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接交于点，然后根据角平分线的尺规作图方法即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：尺规作图结果如下：
【小问2详解】
证明：平分，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
．
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．（推理根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
21. 受到“新型肺炎”影响，全国中小学未能按时开学，为响应国家“停课不停学”的号召，重庆某重点中学组织全校师生开展线上教学活动，体育备课组也为同学们提出了每日锻炼建议．疫情过去开学后，体育组彭老师为检测同学们在家锻炼情况，在甲、乙两班同学中各随机抽取名学生进行检测，并对数据进行了整理、分析．下面给出了部分信息：
甲班
乙班成绩在中的数据是
整理数据：
分析数据：
根据以上信息，回答下列问题：

根据以上数据，你认为哪个班级在家体育锻炼的效果比较好，请说明理由(条理由即可)．
已知九年级共有名学生，请估计全年级体育成绩大于等于分的学生有多少人？
【答案】（1）5；49；43.5；（2）甲班好一些，理由见解析；（3）950人．
【解析】
【分析】（1）根据样本数据，和中位数众数的概念可得出答案；
（2）从平均成绩，中位数和众数的角度分析可得出答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得出答案．
【详解】(1)a=20-1-4-10=5, 甲班的数据中49出现的次数最多，故众数是49，乙班的数据中第10和11名都分布在40-45这组，根据题意可知中位数=，
故答案为
甲班体育水平高一-些；
因为甲班平均数大于乙班平均数 ;中位数，众数都大于乙班；
（人）
答：全年级体育成绩大于等于分的有人．
22. 请列方程解决下面的问题：
小明自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一类服装．为了缓解资金压力，小张决定将这类服装打折销售．若每件服装按标价的五折出售将亏90元，而按标价的九折出售将赚30元．
（1）请你算一算每件服装的标价和进价各是多少元？
（2）该服装改款后，小张又以同样的进价进货50件，若标价不变，按标价销售了30件后，剩下的服装进行甩卖，为了保证这批服装总利润率达到，小张最低能打几折？
【答案】（1）每件服装的标价是元，每件服装的进价是元
（2）小张最低能打折
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
（1）设每件服装的标价是元，根据“若每件服装按标价的五折出售将亏90元，而按标价的九折出售将赚30元”，即可列出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）设小张打折，根据“为了保证这批服装总利润率达到”，列出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每件服装的标价是元，
由题意得：，
解得：，
（元），
每件服装的标价是元，每件服装的进价是元；
【小问2详解】
解：设小张打折，
由题意得：，
解得：，
折扣越大，利润越小，
小张最低能打折．
23. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点A停止，点Q也以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点B停止．设运动时间为x秒，的面积为y．

（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若直线与y的图象有且只有一个交点，请直接写出m的取值范围________．
【答案】（1），详见解析； （2）详见解析；
（3）或，详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点，
（1）直接确定三角形的底和高求解即可；
（2）描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）先求得直线经过特殊点时的m的值，结合图象即可求解．
正确求出函数解析式并画出图象，数形结合是解题的关键．
【小问1详解】
当时，；
当时，，
∴y关于x的函数关系式为；
小问2详解】
画出函数图象如下，
函数y的一条性质：当时，y随x的增大而增大；当，y随x的增大而减小；
【小问3详解】
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
∴若直线与y的图象有且只有一个交点，m的取值范围是或．
故答案：或．
24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东60°方向且米，点在点的东北方向．(参考数据：，，)
（1）求道路AD的长度(精确到个位)；
（2）若甲从点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，其速度为40米分钟．若两人同时到达点，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)
【答案】（1）米；
（2）甲的速度更快，快米分钟．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用；
（1）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
【小问1详解】
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：
，，
中，，米，
（米），
（米），
米，
米，
（米），
米，
在中，，
（米），
道路的长度约为米；
【小问2详解】
米，米，
（米），
中，米，
（米），
在中，，
（米），
甲的路程米，
乙的路程（米），
乙的速度为40米分钟，
乙所用的时间（分钟），
甲所用的时间也是30分钟，
甲的速度（米分钟），
（米分钟），
若两人同时到达点，甲的速度更快，快米分钟．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B−2,0两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上位于直线上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点，点为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）的最大值，此时点的坐标为
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）可求直线的解析式为，设，可得，，从而可求，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况：①当为对角线时，②当为对角线时，①当为对角线时，根据菱形的性质可解.
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
∴抛物线的对称轴为直线
设，则，
∴，，
∴
∵
∴当时，取得最大值，最大值为，此时；
【小问3详解】
解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴该抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于点，
∴
∵点为平移前抛物线对称轴上一点
∴设
∵
∴，
①当为对角线时，
∴
解得：
∴
∵,，
设，则
解得：或
∴的坐标为或；
②当为对角线时，则
∴此方程无解；
①当为对角线时，则
∴
解得：
∴
∵,，
设，则
解得：
∴的坐标为；
综上所述，或或
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段的最值问题，特殊四边形的问题，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26. 如图，是等腰直角三角形，，，点是上任意一点，点是射线上一点，连接，．
（1）如图1，当点在线段上时，若，，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，和相交于点．求证：；
（3）如图3，连接，将沿翻折得到，连接，若点是的中点，且，，当取最小值时，求的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理即可求解；
（2）由证明得出，由等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）取的中点，连接，推出当、、共线时，的值最小，进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，作于，
，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由旋转的性质可得：，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，取的中点，连接、，
，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴当、、共线时，的值最小，如图，
，
作交于，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
由对称性可得：，
∴，
作于，则由角平分线的性质定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴． 成绩
班级
甲
乙
班级
平均数
中位数
众数
甲
乙