中职高考数学一轮复习讲练测8.6 双曲线（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数2a(2a |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
(2)实轴和虚轴相等的双曲线叫做 ．“离心率e＝eq \r(2)”是“双曲线为等轴双曲线”的 条件，且等轴双曲线两条渐近线互相 ．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质
考点一 双曲线的定义及标准方程
【例题】（1）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
（2）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（3）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
（4）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
（5）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为___________.
【变式】（1）已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
（2）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
（3）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A．B．C．D．
（4）经过两点，的双曲线的标准方程为 ．
（5）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
考点二 双曲线的性质
【例题】（1）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
（2）若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（ ）．
A．B．C．2D．
（3）双曲线的实轴长度是（ ）
A．1B．2C．D．4
（4）已知双曲线方程下列说法中正确的有（ ）
A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点
C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且
（5）已知双曲线的一条渐近线与平行，则C的离心率为 ．
（6）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为 .
【变式】（1）双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（ ）
A．​ B．​ C．​ D．​
（2）已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
（3）已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
（4）已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为 _．
（5）曲线与曲线的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
（6）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【方法总结】
1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．
2．在双曲线的定义中，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＞eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＜eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．
3．定义中|F1F2|＞2a这个条件不可忽视，若|F1F2|＝2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|＜2a，则轨迹不存在．
4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．
5．在椭圆中，a，b，c满足a2＝b2＋c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2＝a2＋b2，即c最大．
6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．
7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0就是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程．
8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线．
9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
10．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形
(2)标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
(3)范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2eq \r(a2＋b2)
(9)离心率
e＝eq \f(c,a) (e＞1)
(10)实轴、虚轴
实轴长：2a
虚轴长：2b
(11)渐近线方程
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x