中职高考数学一轮复习讲练测1.3 充要条件（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．充分条件和必要条件的概念
(1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．
(3)如果p⇒q，但qeq \a\vs4\al()p，那么称p是q的充分不必要条件．
(4)如果peq \a\vs4\al()q，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．
(5)如果peq \a\vs4\al()q，且qeq \a\vs4\al()p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分条件和必要条件与集合的关系
3．充要条件的传递性
1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件．
2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件．
考点一 充要条件的判定
【例题】（1）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】由，可得或，则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“”
则“”是“”的充分非必要条件，故选：A.
（2）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，但，不充分，时，必要性满足，故是必要不充分条件，故选：B．
（3）函数的图像关于直线对称的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数的图像的对称轴为，∴函数的图像关于直线对称的充要条件是，即，故选：B.
（4）“a＞b”是“ a2＞b2 ”的__________条件.
【答案】既不充分也不必要
【解析】当a＝0，b＝﹣1时，满足a＞b，但a2＜b2；当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a2＞b2，但a＜b，所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.
（5）设，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且且，故选：A．
【变式】（1）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件，故选：A.
（2）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，即，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
（3）“”是“”的_____条件．
【答案】充要
【解析】充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立；必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立，综上所述，“”是“”的充要条件，故答案为：充要.
（4）“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的_________条件．
【答案】既不充分也不必要
【解析】若四棱柱是直四棱柱，只需四棱柱的侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，即充分性不成立；
反之：底面为矩形的四棱柱不一定为直四棱柱，即必要性不成立，所以“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.
（5）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，则，即，取，满足，而有，即有pq，所以是的必要不充分条件，故选：B.
考点二 充要条件的应用
【例题】（1）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得，则有，所以充分性成立；当时，可得，在的情况下，不成立，所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
（2）在中，“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在中，，则或，∴在中，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．
（3）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.
（4）“”是“”的_________条件．（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）
【答案】既不充分也不必要
【解析】若时，成立，而不成立；若时，成立，而不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要.
（5）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直线与直线平行”，则满足，解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立，故选：A.
【变式】（1）“”是“函数在R上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在R上为增函数，则，即，故时，为增函数，充分性成立；
但为增函数，a还可以是，故必要性不成立，故选：A．
（2）已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B．
（3）“”是“关于的函数单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】D
【解析】若，则函数单调递减，满足充分性；若函数单调递减，则，满足必要性，故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件，故选：D.
（4）是直线与直线平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】充分性：时，直线与直线可化为：直线与直线，此时两直线平行.故充分性满足；必要性：因为直线与直线平行，所以，解得：m=1.故必要性满足，故选：C.
（5）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，由于，而，故A选项满足题意；
令，则满足，但不满足，故B错误；由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；令，则满足，但不满足，D错误，故选：A.
【方法总结】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若AB，则p是q的充分不必要条件；
③若B⊆A，则p是q的必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
若p是q的充分不必要条件
则AB
若p是q的必要不充分条件
则BA
若p是q的充要条件
则A＝B
若p是q的既不充分也不必要条件
则AB之间没有子集关系