2021-2022学年河北省廊坊市三河市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省廊坊市三河市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

2. 已知反比例函数，下列结论不正确的是(    )

A. 图象必经过点 B. 随的增大而增大
C. 图象在第二、四象限内 D. 若，则

3. 教育局组织学生篮球赛，有支球队参加，每两队赛一场时，共需安排场比赛，则符合题意的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知反比例函数的图象经过点、，当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

7. 如图，在三角形中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数，当时，的最大值是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共9小题，共20分）

11. 已知是关于的一元二次方程，则______．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则______．
13. 如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离______．

14. 如图，正五边形，平分正五边形的外角，连接，则______．

15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为______ ．
16. 如图，是的直径，弦于点，如果，弦，那么的长是          ．
    
     
17. 二次函数图象如图所示，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是______．

18. 如图，在等腰直角三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到．
    的度数为______；
    连接，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

19. 解下列一元二次方程：
    ．
    ．
20. 已知关于的方程．
    求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
    若是该方程的一个根，求代数式的值．
21. 如图，足球场上守门员在处开出一记手跑高球，球从地面米的处抛出在轴上，运动员甲在距点米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面米高，球落地点为点．
    求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
    足球第一次落地点距守门员多少米？

22. 某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两个抽奖方案：
    方案一：转动转盘一次，转出红色可领取一份奖品：
    方案二：转动转盘两次，两次都转出红色可领取一份奖品两个转盘都被平均分成份
    
    若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率；
    如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请采用列表法或树状图说明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点、、的坐标分别为，，请解答下列问题：
    与关于原点成中心对称，画出并直接写出点的对应点的坐标；
    画出绕原点逆时针旋转后得到的，并求出点旋转至经过的路径长．

24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接，．
    求证：是的切线．
    若，，求的半径和长．

25. 已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为．
    求一次函数和反比例函数的解析式；求的面积；
    观察图象，直接写出不等式的解集；
    若为直角三角形，直接写出值．

26. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．
    
    求抛物线的解析式；
    点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点；
    如图，当点为抛物线顶点时，求长；
    如图，当时，求点的坐标；
    如图，在的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意；
B.反比例函数，，
在每个象限内，随的增大而增大，故结论错误，选项B符合题意；
C.反比例函数，，
该函数图象为第二、四象限，故结论正确，选项C不符合题意；
D.反比例函数，，
该函数图象为第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
当时，，
若，则，故结论正确，选项D不符合题意；
故选：．
把代入可判断；根据反比例函数的性质可判断，，．
本题主要考查了反比例函数的性质，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了场，
，
故选：．
先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：反比例函数关系式为图象经过点，
，
，
当时，，
当时，，
当时，．
故选：．
利用待定系数法可得反比例函数关系式，根据反比例函数的性质可得在图象的每一支上，随自变量的增大而减小，然后求出当、时所对应的的值．进而可得答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，对于反比例函数当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据菱形的性质得出，故可得出是等边三角形，所以，再由可知，进而得出的度数，进而解答即可．
【解答】
解：连结，如图：

四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
， 
，
，
故选B解答此题的关键．  

6.【答案】 

【解析】解：、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
D、若，则，本选项正确，
故选：．
利用二次函数的性质即可一一判断；
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是得出．
由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．
【解答】
解：在三角形中，，，
．
由旋转的性质可知：，
．
又，
，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：二次函数图象开口方向向上，
，
对称轴为直线，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一三象限，且与轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一三象限，
只有选项图象符合．
故选：．
根据二次函数图象开口向上得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，．

是等边三角形，
，
，
，都是等边三角形，
，
，是等边三角形，
，
弓形与弓形的面积相等，
，
是等边三角形，
，
故选：．
如图，连接，，证明即可解决问题．
本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，当时，的最大值是，
该函数的对称轴是直线，
当时，，
解得，
故选：．
根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据时，的最大值是，可以得到时，然后计算即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出时的函数值为．
 

11.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次负的定义得出且，求出的值即可．
本题考查了绝对值和一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点为，
，，
则．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，的坐标分别为，将三角板沿轴正方向平移，
点的纵坐标为，，
当时，，解得，
，
，
．
故答案为：．
先根据平移的性质得到点的纵坐标为，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了平移的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形的性质可得，，，从而利用平角定义可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质可得，最后利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知：，，，
在中，，，，
由勾股定理得：，
在中，，
即：的长为，
故答案为：．
根据旋转的性质可知：，，，由勾股定理求出的长，的长．
本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
是的直径，弦于点，弦，
，
，
，
，
故答案为：
根据圆周角定理得出，再利用含的直角三角形的性质得出，进而解答即可．
本题考查了垂径定理和圆周角定理求解．熟记垂径定理和圆周角定理是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点和在抛物线对称轴的两侧，且点比点离对称轴要远，因此，
故答案为：．
根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：由旋转可得，
又等腰直角三角形中，，
；
故答案为：；
连接并延长，交于，
是等腰直角三角形，是等边三角形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，
在中，，
等腰中，，
．
故答案为：．
由旋转可得，再根据等腰直角三角形中，，运用角的和差关系进行计算即可得到的度数；
根据是等腰直角三角形，是等边三角形，判定≌，再根据中，，等腰中，，即可得到．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
所以，． 

【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

20.【答案】证明：，
所以对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：将代入原方程中，得，
即，
． 

【解析】先计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
将代入原方程可求出，将其代入代数式中即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式时方程有两个不相等的实数根．”是解题的关键．
 

21.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为；

当时，，
解得：舍，，
所以足球第一次落地点距守门员米． 

【解析】设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可得；
求出时的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
 

22.【答案】解：若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率；
选择方案一和方案二一样．
方案二：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次都转出红色的结果数为，
所以转动转盘两次，两次都转出红色可领取一份奖品的概率．
因为转动一次转盘领取一份奖品的概率和转动转盘两次都转出红色可领取一份奖品的概率相等，
所以选择两个方案一样． 

【解析】利用概率公式求解；
利用树状图法求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】解：如图，为所作：点的坐标为；
如图，为所作；

，
点经过的路径长为 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用旋转的性质和格点的特征分别画出点、、的对应点、、，然后利用弧长公式计算点旋转至经过的路径长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线．
解：，
，设的半径为，则，，
，
，
，
解得，
的半径为．
，
． 

【解析】连接，证明，，可得，即，则结论得证；
设的半径为，则，，可得，解方程即可得解．进而求出的长．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解此题的关键是求出和得出关于的方程，用了方程思想．
 

25.【答案】解：把代入，
得，则反比例函数解析式为．
把代入，
得，解得，则点坐标为，
把、代入得，
，
解得，
则一次函数解析式为．
直线与轴的交点为，在中，令，则，
即直线与轴交于点，
．
．
由图可得，不等式解集范围是或．
，，，
，
，
，
当是斜边时，

解得：或，
当是斜边时，
：
解得：
当是斜边时，

解得：
的值为：，，，． 

【解析】先把点坐标代入，求出可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
 根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式，由进行计算即可；
 观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式的解集；
分情况讨论，利用勾股定理即可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
 

26.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
抛物线经过点，，
，
，
抛物线解析式为；
，
顶点，
把代入得，
点，
；
设，
轴交于点，
，
，
，
，
，
，
如图，延长交轴于点，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
点横坐标为，
，
，
，
解得或舍，
；

解：令，则，
解得或，
，
设的解析式为，将、代入，
，
，
，
，
，
联立，
解得，
，
以点，，，为顶点的四边形是正方形，
如图，图，当时，点在上，点在上，

点在抛物线上，
或，
当时，，
，
，
的中点为，则的中点也为，
；
当时，，
，
，
的中点为，则的中点也为，
，
此时与轴重合，
不符合题意；
如图，当时，此时轴，
或，
当 时，，
；
当时，，
；

综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点坐标为或或； 

【解析】令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线即可求解；
设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求，，，求出，，得到，即可求；
先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；当时，此时轴，或，当时，；当时，
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键．