精品解析：河北省承德市平泉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：河北省承德市平泉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握根轴对称图形的性质：有一条直线是对称轴，图形沿轴折叠，折叠后互相重合；根据中心对称图形的性质：有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，旋转后互相重合是解题的关键．
2. 方程的解是( )
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
【详解】，
，
∴，，
故选：．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为．
故选：A
4. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B选项，守株待兔，可能会发生，随机事件，不符合题意；
C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上
【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
6. 已知x=−1是关于x方程2x2+ax−5=0的一个根，且点A(−1，y1)，B(−2，y2)都在反比例函数y=的图象上，则y1和y2满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根的定义求得a=-3，再根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，然后根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限．进而可得出结论．
【详解】解：∵x=−1是关于x的方程2x2+ax−5=0的一个根，
∴2-a-5=0，
∴a=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-，
∵-3＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵点A（-1，y1），B（-2，y2），
∴点A、B都第二象限，
又-1＞-2，
∴y1＞y2＞0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
7. 如图，量角器外缘上有A、B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为
A. 25°B. 15°C. 30°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】根据n°的圆心角对着n°的弧，以及圆周角定理就可计算出要求的圆周角的度数．
【详解】解：∵80°-50°=30°，
∴∠ACB=×30°=15°．
故选：B
8. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质和等边对等角以及三角形内角和定理，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，AB=BE，∠ABE=α，∠A=∠BED，
∴∠A=∠BEA=(180°-α)=90°-α，
∴∠A=∠BEA=∠BED=90°-α，
∴∠CED=∠BEA+∠BED=2(90°-α)==180°-α，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 如图，将的圆周等分，圆内接矩形的面积为，则圆内接正六边形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解．
【详解】解：连接，交于，
四边形是矩形，
，
，是的直径，
将的圆周等分，，
，
是等边三角形，
边即为圆内接正六边形的边，
圆内接矩形的面积为，
，
圆内接正六边形面积为，
故选：B．
10. 已知二次函数的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与轴正半轴相交；②当时，随的增大而减小．则坐标系的原点可能是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．由条件①可确定轴在抛物线与轴的两个交点之间，由条件②可确定轴在顶点左侧，进而求解．
【详解】解：函数图象与轴正半轴相交，
轴在抛物线与轴的两个交点之间，
点，可能是原点，
当时，随的增大而减小，
轴在抛物线顶点右侧，
点可能是原点．
故选：C．
11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12. 如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A. B. C. πD.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，
,，
扇形AEF的面积．
故选A．
【点睛】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键．
13. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，
∴总面积为，
阴影部分的面积为，
∴点落在阴影部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．
14. 已知反比例函数,下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点
B. 图象分别在二、四象限
C. 时,或
D. 在每个象限内y随x增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
根据反比例函数的图象和性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、,图象经过点(4,-2),正确,不符合题意；
B、,图象分布在第二、四象限,正确,不符合题意；
C、反比例函数,时,或,正确,不符合题意；
D、反比例函数,在每个象限内y随x增大而增大,不正确,符合题意；
故选：D．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A. 3B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，
∴，
则，
又∵，，
∴
∴（负值已舍去）
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
16. 设二次函数是实数，则（ ）
A. 当时，函数的最小值为B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数的最小值为D. 当时，函数的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
二、填空题（本题共10分.17题每空2分，18、19第一空2分、第二空1分）
17. 如图，矩形中，，轴．
（1）若反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，_____．
（2）若反比例函数图象的一支与矩形有交点，则k的取值范围是 ___________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是解答本题的关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，解得；
（2）根据条件，分别求出点，，根据反比例函数图象和性质可得．
【详解】解；（1）反比例函数图象的一支恰好经过、两点，
，解得，
故答案为：6．
（2），，轴，是矩形，
，，
反比例函数图象的一支与矩形有交点，
．
故答案为：．
18. 点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则
（1）的半径为 _____；
（2）切线长为 _______．
【答案】 ①. 5 ②. 12
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识．
（1）设的半径为，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案；
（2）连接，由切线的性质可得，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）设的半径为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：5；
（2）如图，连接，
与相切于点，
，，，
．
故答案为：12．
19. 已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则
（1）抛物线对称轴为 _____；
（2）n的取值范围是 ____________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
（1）根据二次函数性质即可解答；
（2）由题意可知：抛物线的对称轴为直线，开口向上，再分点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧和点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧两种情况求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
故答案为：1；
（2），
抛物线开口向上，
，
若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧，
由题意可得：，
解得：；
若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧，
由题意可得：，
此不等式组无解，
的取值范围为：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为．

（1）若，求的值．
（2）A、B之间距离能否为1，并说明理由．
【答案】（1）3或
（2）A、B之间距离不能为1，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
（1）先根据数轴上两点间的距离公式求，再根据，列出关于的方程，解方程即可；
（2）先求出，再假设，列出关于的方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，从而判断即可．
【小问1详解】
点代表的数为，点代表的数为，，
，
，
，
，
或，
解得：或；
【小问2详解】
不能为1，理由如下：
若点代表的数为，点代表的数为，，
则，
，
，
，，，
，
原方程无解，
，之间的距离不能为1．
21. 嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
（2）参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可知，有出口、出口、出口，共3个出口，
参观结束后，嘉嘉从出口走出的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为．
22. 如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将向右平移4个单位得到，画出；
（2）将（1）中的绕点逆时针旋转，得到，画出；
（3）求出在（1）（2）过程中所扫过的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
①根据平移的性质作图即可．
②根据旋转的性质作图即可．
③利用勾股定理求出A1B1的长，进而可利用扇形面积公式求出扇形A1B1B2的面积，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形ABB1A1面积，与扇形A1B1B2的面积相加即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如上图，即为所求．
【小问3详解】
由勾股定理得，
在①②过程中所扫过的面积为：
．
23. 抛物线顶点，与轴交于、两点，且．
（1）求的解析式及、间距离．
（2）将轴向下平移个单位后得新坐标系，此时轴与抛物线交于、两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及值．
【答案】（1），
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解；
（2）由题意得，令，求出，则，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
根据函数的对称性，点，
则；
【小问2详解】
由题意得，，
令，则，
则，
则，
解得：，
则．
24. 如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接．
（1）求证：；
（2）①当、、共线时，则 ；
②当、、共线时，则 ；
（3）若点到直线的距离为，求点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转得，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，而，即可根据“”证明．
（2）①当、、共线时，由勾股定理得，由旋转得，可求得，，于是得，求得，于是得到问题的答案．
②当、、共线时，由，得，由全等三角形的性质得，所以，则，于是得到问题的答案．
（3）取的中点，作交于点，则，，所以当点落在上时，点到直线的距离为，此时，则，可知点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点，由弧长公式求得，则点所经过的路径长为．
【小问1详解】
证明：由旋转得，
于点，交矩形的边于点，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：①当、、共线时，如图1，
四边形是矩形，，，
，
，
由旋转得，
，
，，
，，
，
，
解得，
故答案为：；
②当、、共线时，如图2，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图3，取的中点，作交于点，则，
，
，
，且，
两条平行线与之间的距离为，
直线上的点到直线的距离为，
当点落在上时，点到直线的距离为，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点，
，
点所经过的路径长为．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两条平行线之间的距离处处相等、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1），，
（2）或0或1或2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据解析式可求出的最高点坐标为，再由待定系数法求出函数表达式，求出a和c即可；
（2）将点A、D的坐标分别代入的函数表达式，求出n即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴的最高点坐标为；
由题意得：点A、D的坐标分别为：，
将点D的坐标代入函数的表达式得：．
解得：，
∴的表达式为：，
当时，；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴的函数表达式为：，
∵点A、D的坐标分别为：，
将点A、D的坐标分别代入的函数表达式得：
，解得：，
，解得：，
∴当时，羽毛球沿路线飞行落在之间，
∴符合条件的n的整数值为或0或1或2．
26. 某水槽的截面是以为直径的半圆O，放置于桌面上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，液体的最大深度为．
（1）求直径的长；
（2）如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，与半圆的切点为E，连接交于点D．
①在滚动中圆心O到桌面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时长及操作后水面高度下降了多少；
③求圆心O向右移动的距离．
【答案】（1）
（2）①不变；②， ；③
【解析】
【分析】（1）设半圆O与桌面相切于点F，连接交于P，连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案；
(2)①由切线的性质证明圆的半径，可得在滚动中圆心O到桌面的距离不变；②连接，利用圆周角定理得∠，利用弧长公式即可求解；根据含角的直角三角形的性质求出，可得，即可得操作后水面高度下降了多少；③画出图形，可得圆心O向右移动的距离为，证明，求出的长即可．
【小问1详解】
解；设半圆O与桌面相切于点F，连接交于，连接，
∴，
∵，
∵，
∴，
设半圆O的半径为r，
由题意得．
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴半圆O的直径的长为；
【小问2详解】
解：①∵与半圆的切点为E，
∴，
∴圆心O到桌面的距离为半圆O的半径，
∴在滚动中圆心O到桌面的距离不变，
故答案为：不变；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∴得到长为，
∵与半圆的切点为E，
∴，
∵，
∴于点D，
∵，
∴，
∴，
∴操作后水面高度下降了；
③如图，可得圆心O向右移动的距离为，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵于点D，，
∴，
∵半圆的中点为Q，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴圆心O向右移动的距离为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．