2024年中考数学真题分类汇编：知识点19 二次函数在实际生活中应用2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点19 二次函数在实际生活中应用2024（解析版），共14页。试卷主要包含了∴10≤x＜30，∴a=3500等内容，欢迎下载使用。
12．【2024·天津12题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t−5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C【解析】①令h＝0，则30t−5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6s，故①正确；
②h＝30t−5t2＝−5（t2−6t）＝−5（t−3）2+45，∵−5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动中的高度可以是30m，故②正确；
③t＝2时，h＝30×2−5×4＝40（m），t＝5时，h＝30×5−5×25＝25（m），∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误．
故选C．
二、填空题
山东省
16．【2024·泰安】如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
【答案】450【解析】由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60−2x）米，又墙长为40米，∴0＜60−2x≤40．∴10≤x＜30．又菜园的面积＝x（60−2x）＝−2x2+60＝−2（x−15）2+450，∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为450．
四川省
18．【2024·自贡】九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m2．
【答案】46.4【解析】设矩形在射线OA上的一段长为x m．（1）当x≤8时 S=x⋅16−x−1.4+52=−12x2+9.8=−12(x−9.8)2+48.02，当x＝8时，S＝46.4，（2）当x＞8时． S=x⋅(16+6.6+52−x)=−x2+13.8x=−(x−6.9)2+47.61，由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．所以由于（1）（2）得最大面积为 46.4m2．故答案为：46.4．
甘肃省
15．【2024·甘肃15题】如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝−0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能【解析】∵CD＝4m，B（6，2.68），∴6−4＝2，在y＝−0.02x2+0.3x+1.6中，当x＝2时，y＝−0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12.∵2.12＞1.8，∴货车能完全停到车棚内，故答案为能．
广西
18．【2024·广西18题】如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是74m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，74），
B（5，4），其中B点为抛物线顶点，设抛物线顶点式为：y＝a（x−5）2+4，将P（0，74）代入上式，解得a=−9100，即抛物线的解析式式为y=−9100（x−5）2+4，M为抛物线与x轴的交点，即y=−9100（x−5）2+4＝0，解得x1=353，x2=−53（舍），∴OM=353m．故答案为353．
三、解答题
河南省
22．【2024·河南】从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝−5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
解：（1）∵−5＜0，∴当t=−b2a=v010时，离地面的高度最大．故答案为：v010.
（2）当t=v010 时，h＝20．
−5×(v010)2+v0×v010=20．
解得v0＝20．
答：小球被发射时的速度是20m/s；
（3）小明的说法不正确．理由如下：
由（2）得h＝−5t2+20t．当h＝15时，15＝−5t2+20t．
解方程，得t1＝1，t2＝3．
∵3−1＝2（s），∴小明的说法不正确．
陕西省
25．【2024·陕西】一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
解：（1）由题意，∵A0＝17cm，∴A（0，17）．
又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m，
∴抛物线的顶点P为（50，2）．
故可设抛物线为y＝a（x−50）2+2．
又将A代入抛物线可得，2500a+2＝17．∴a=3500．
∴缆索L1所在抛物线为y=3500（x−50）2+2．
（2）由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，
又缆索L1所在抛物线为y=3500（x−50）2+2，
∴缆索L2所在抛物线为y=3500（x+50）2+2．
又令y＝2.6，∴2.6=3500（x+50）2+2．
∴x＝−40或x＝−60．
又FO＜OD＝50m，∴x＝−40．
∴FO的长为40m．
江西省
1．【2024·江西22题】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值．
解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
−b2a=4−b24a=8，解得：a=−12b=4，
∴二次函数解析式为y=−12x2+4x，
当y=152时，−12x2+4x=152，
解得：x＝3或x＝5（舍去），∴m＝3，
当x＝6时，n＝y=−12×62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：y=−12x2+4xy=14x，
解得：x=0y=0或x=152y=158，
∴点A的坐标是（152，158）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为8．
②y＝−5t2+vt＝−5（t−v10）2+v220，则v220=8，
解得v＝410（负值舍去）．
山东省
20. 【2024·济宁】某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，
由图象可知，函数经过，，
可得，解得，
这段时间内y与x之间的函数解析式为.
（2）销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
，，
即，解得，
设获得利润为，即，
对称轴，
，即二次函数开口向下，的取值范围是，
在范围内，随着的增大而增大，
即当销售单价时，获得利润有最大值，
最大利润元．
1．【2024·滨州】春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入−运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
由表格可得，40k+b=16450k+b=124，解得k=−4b=324，
即y与x之间的函数关系式是y＝−4x+324（30≤x≤80，且x是整数）.
（2）由题意可得，
w＝x（−4x+324）−2000＝−4x2+324x−2000，
即w与x之间的函数关系式是w＝−4x2+324x−2000（30≤x≤80）.
（3）由（2）知：w＝−4x2+324x−2000＝−4（x−812）2+4561，
∵30≤x≤80，且x是整数，
∴当x＝40或41时，w取得最大值，此时w＝4560，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
2．【2024·烟台】每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
解：（1）y＝（200−x）（60+4×x10）＝−0.4x2+20x+12000＝−0.4（x2−50x+625）+12250＝−0.4（x−25）2+12250．
∵200−x≥180，∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：−0.4（20−25）2+12250＝12240（元）．
答：y与x的函数关系式为：y＝−0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元.
（2）12160＝−0.4（x−25）2+12250
0.4（x−25）2＝12250−12160
0.4（x−25）2＝90
（x−25）2＝225．
解得x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为60+4×1010=64（辆）．
答：售出64辆轮椅．
湖北省
22．【2024·武汉】16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y=−12x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．解得a=−115．
∵y=−12x+b经过点（9，3.6），
∴3.6=−12×9+b．解得b＝8.1.
②由①得y=−115x2+x
=−115（x2−15x+2254）+154
=−115（x−152）2+154（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是154km．
∴154−1.35＝2.4（km）．
∴2.4=−115x2+x．整理得x2−15x+36＝0．
解得x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得y=−12x+8.1，∴2.4=−12x+8.1，解得x＝11.4．
∴11.4−3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴y=−12x+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴−12×9+b=81a+9−12×15+b=0，解得a=−227b=7.5．
∴−227＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
22．【2024·湖北】如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
解：（1）∵2x+y＝80，∴y＝−2x+80.
∵S＝xy，∴S＝x（−2x+80）＝−2x2+80x.
（2）∵y≤42，
∴−2x+80≤42，∴x≥19，∴19≤x＜40.
当S＝750时，−2x2+80x＝750，
整理得x2−40x+375＝0，（x−25）（x−15）＝0，
∴x＝25，
∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2.
（3）∵S＝−2x2+80x＝−2（x2−40x）＝−2（x2−40x+400−400）＝−2（x−20）2+800，
∴当x＝20m时，S有最大值800m2．
江苏省
1．【2024·盐城26题】请根据以下素材，完成探究任务．
解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70−x−y）人.
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70−x−y）×1＝2y，整理得：y=−13x+703.
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2（x−10）]，
∴w＝2y×24+（70−x−y）×48+x[100−2（x−10）]，
整理得：w＝（−16x+1120）+（−32x+2240）+（−2x2+120x），
∴w＝−2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝−2x2+72x+3360＝−2（x−18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，y=−13×18+703=523，∴x≠18.
∵开口向下，∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，y=533，不符合题意；
当x＝19时，y=513=17，符合题意；
∴70−x−y＝34，
综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
四川省
21．【2024·内江】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−20）元，
则5000a=3000a−20，解得a＝50，
经检验a＝50是方程的解，此时a−20＝30，
∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元.
（2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒，
当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180−10（x−52）]盒，
∴y＝（x−50）[180−10（x−52）]＝（x−50）（−10x+700）＝−10x2+1200x−35000＝−10（x−60）2+1000，
∵−10＜0，52≤x≤70，
∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000元，
答：y关于x的函数解析式为y＝−10x2+1200x−35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元．
20．【2024·遂宁】某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
解：（1）设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
∴24x+20y=720010x+10y=3200．∴x=200y=120．
答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元．
（2）由题意，设A种客房每间定价为m元，
∴W＝m（24−m−20010）=−110（m−220）2+4840．
∵−110＜0，
∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．
23．【2024·南充】2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价−进价）
解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132−x）元．
∴3x+5（132−x）＝540．∴x＝60．
∴每件B类特产的售价132−60＝72（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意，∵每件A类特产降价x元，
又每降价1元，每天可多售出10件，
∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．
答：y＝10x+60（0≤x≤10）．
（3）由题意，∵w＝（60−50−x）（10x+60）+100×（72−60）
＝−10x2+40x+1800＝−10（x−2）2+1840．
∵−10＜0，∴当x＝2时，w有最大值1840．
∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
广东省
20．【2024·广东】广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，
w＝（x−2）[100+50（5−x）]＝−50（x−4.5）2+312.5，
∵−50＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元，
答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元．
贵州省
24．【2024·贵州24题】某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
∴12k+b=5614k+b=52，解得k=−2b=80．
∴y＝−2x+80.
（2）设日销售利润为w元．
w＝（x−10）（−2x+80）
＝−2x2+100x−800
＝−2（x2−50x+625）−800+1250
＝−2（x−25）2+450．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）w＝（x−10−m）（−2x+80）
＝−2x2+（100+2m）x−800−80m．
∵最大利润为392元，
∴4×(−2)(−800−80m)−(100+2m)24×(−2)=392．
整理得m2−60m+116＝0．（m−2）（m−58）＝0．
解得m1＝2，m2＝58．
当m＝58时，x=−b2a=54，
∴每盒糖果的利润＝54−10−58＝−14（元）．∴舍去．
答：m＝2．
甘肃省
22. 【2024·兰州】在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
解：（1）根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，
由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，
则抛物线的表达式.
（2）由题意知，则，
那么，水火箭距离地面的竖直高度米．
青海省
24．【2024·青海】在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A（3，32）处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝−x2+bx的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
解：（1）由题意，∵点 A(3，32) 是抛物线 y＝−x2+bx 上的一点，
∴−32+3b=32．∴−9+3b=32．∴b=72．
∴抛物线的解析式为y=−x2+72x．
（2）由题意，∵抛物线为y=−x2+72x=−(x−74)2+4916，
∴抛物线最高点的坐标为(74，4916)．
（3）由题意，如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D.
又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，
∴△OBD∽△OAE．∴ODOE=BDAE=OBOA．
又∵点B是OA的三等分点，∴OBOA=13．
∵A(3，32)，
∴AE=32，OE＝3．∴BDAE=OBOA=13．∴BD=13AE．
∴BD=13×32．∴BD=12．
∴ODOE=OBOA=13．∴OD=13OE．∴OD=13×3=1．
∴点C的横坐标为1．
将x＝1代入 y=−x2+72x中，∴y=−12+72×1=52．
∴点C的坐标为 (1，52)．∴CD=52．
∴CB=CD−BD=52−12=2．
答：这棵树的高度是2．
新疆
21．【2024·新疆生产建设兵团】某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中(12，74)是其顶点．
（1）求出成本y2关于销售量x的函数解析式；
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
（注：利润＝销售额−成本）
解：（1）由题意，∵顶点为（12，74），
∴可设抛物线为y2＝a（x−12）2+74．
又抛物线过（2，4），∴a×94+74=4．
∴a＝1．∴y2＝（x−12）2+74．
（2）由题意，当销售量x=12时，成本最低为74，
又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x，
∴当x=12时，销售额为y1＝5x＝5×12=2.5．
∴此时利润为2.5−74=0.75（万元）．
答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元．
（3）由题意，利润＝y1−y2＝5x−[（x−12）2+74]＝−x2+6x−2＝−（x−3）2+7．
∵−1＜0，
∴当x＝3时，利润取最大值，最大值为7．
答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
72
6
152
8
152
n
72
…
电影票售价x（元/张）
40
50
售出电影票数量y（张）
164
124
制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求x、y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案．
销售单价x/元
…
12
14
16
18
20
…
销售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
水平距离
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24