湖南省娄底市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合 ， ，若 ，则实数 a 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A B.
C. D.
5. 在 中，点 D 在 边上，且 ，设 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
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6. 如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径，已知 ， ，M 是 的中点，二面角
的大小为 .则圆锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 且 B. 且
C. D.
8. 已知点 F 是抛物线 的焦点，点 A 是抛物线 E 上一点.过点 A 作圆 的两条切线，
切点分别为 B，C，且分别交抛物线的准线于 M，N 两点，M，N 位于 y 轴异侧（如图所示）.若
，则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重合，
则关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 最小正周期为
B. 函数 图象关于点 对称
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C. 函数 图象关于直线 对称
D. 函数 在区间 上单调递减
10. 设 A，B 是一次随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
（ ）
A. A，B 相互独立 B.
C. D.
11. 已知函数 定义域为 ，区间 ，若 ， ，则称 是 在 D 上的不动
点，集合 为 在 D 上的不动点集.若函数
在 R 上的不动点集为 ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 函数 在点 处的切线方程为________.
13. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ，则 的面积的最大值
为________.
14. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，其中 ，直线
与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记 的面积为 S，若 时， ，则椭圆 C 的
离心率的取值范围为________.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列 满足： ， .
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（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，若 ，求证： .
16. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛
方式，全校共有 200 名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为 ，
， ，得到如下的频数统计表：
分数区间
性别
男生/名 15 45 60
女生/名 25 25 30
（1）若学生得分不低于 90 分，则认为基本技能优秀，得分低于 90 分，则认为基本技能良好，依据小概率
值 的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的 200 名学生中，按性别比
例分层抽样的方式随机抽取 5 名学生进行问卷调研，然后再从这 5 名学生中随机抽取 3 名学生进行座谈调
研，记取出的 3 人中女生的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
附：
α 0.10 0.05 0 010
2.706 3.841 6.635
， .
17. 如图，在三棱柱 中，D 为边 上（异于 A，C 两点）的动点，平面 与边 交
于点 E.
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（1）请判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知侧面 底面 ， ， ， ，求直线
与平面 所成角的大小.
18. 已知函数 ， .
（1）证明：函数 与 的图象关于直线 对称；
（2）设 .
（ⅰ）判断函数 的单调性；
（ⅱ）证明： ， .
19. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，D 是双曲线 C 的右支上一点，
若 ，双曲线 E 的离心率为 .
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）设 ， 分别是双曲线 C 的左，右顶点，平行 y 轴的直线 l 交双曲线 C 于 P，Q（异于 ， ）两
点.直线 与直线 交于点 R，求交点 R 的轨迹 E 的方程；
（3）过点 且斜率为 的直线交第（2）问的轨迹 E 于 A，B（A，B 不在坐标轴上）两点，
点 G 是轨迹 E 上一点，满足 轴，直线 ， 分别交直线 于点 M，N，其中 O 为坐标原点，
记 ， ，求 的最小值.
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