湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
命题人：娄底四中 彭志良 审题人：娄底金海 周琪
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A B.
C. D.
2. 若复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 在 中， 为线段 的靠近 点的一个三分点，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 2023 D. 2025
5. 在 中，角 的对边分别为 ，则 的外接圆面积为（ ）
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A. B. C. D.
6. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则三角形为锐角三角形
8. 已知单位向量 、 、 满足 ，则 的值为（ ）
A B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得的图象与函数 的图象重合
11. 已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数，对于任意 a， 都满足 ，则下
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述正确的是（ ）
A. B. C. 奇函数 D. 若 ，则
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直
观图一定是菱形.以上结论正确的是__________.
13. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为__________.
14. 已知 ，且 ，则 的最小值是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后
须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润 （单位：万元）与运转的时间 （单位：年）
的函数关系为 .
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
16. 已知 .
（1）若 ，求 的坐标；
（2）若 ，求 与 的夹角的余弦值.
17. 在 中，角 对边分别为 .
（1）求 .
（2）若 ，求 的面积的最大值.
18. 在 中，已知 分别为 上的点，且
.
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（1）求 ；
（2）求证： ；
（3）若 是线段 上的动点，满足 均为正常数，求 的最大值.
19. 已知函数 .
（1）解方程 ；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数 在 上只有一个零点，求 的取值范围.
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