新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值（精练）（含解析）

10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）

1．（2022·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，所以，.

所以椭圆的标准方程为

（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以以为直径的圆为，

整理得：.①

因为，

令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

2．（2022·莆田三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解：由题意得，所以椭圆C的标准方程为.

（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：

联立，消得，

又，则，

所以，

所以，

及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，

所以椭圆上切点为的切线方程为.

切线方程与联立得，

则线段为直径的圆的方程为，

设，则，

化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.此时.

故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.

3（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．

（1）求C的方程；

（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解：由离心率为，得，①

C的四个顶点围成的四边形面积为．②

由①②可得，，C的方程为．

（2）解：由，得．

因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，

由题意可知l的斜率一定存在．

设l的方程为，，．

联立方程组得，消去y并整理得，

由，得．

所以，．

因为，

即

，

整理得，

因为，所以．

当时，满足，此时直线l的方程为，

所以直线l过定点．

1．（2022·安徽模拟）点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）解：设，，直线；

由得：，所以；

由得：，即.

解得，所以抛物线的方程为.

（2）证明：设点关于轴的对称点为，则；

因为直线与直线的倾斜角互补，所以，，三点共线，由题设得；

不妨设即为点，即为点；即，，则，

则是定值.

2．（2022·安徽三模）已知椭圆C：的离心率为，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当轴时，△APF的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线AP交直线l：于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）解：设，由题意知，所以，．

将代入椭圆方程，得，

当轴时，，解得，

所以，，椭圆C的标准方程为．

（2）证明：易得，．

设点，则，

所以直线AP的方程是，

当时，

所以点Q的坐标为．

当轴时，

可得，，，

故．

当PF与x轴不垂直时，，，

所以．

因为，所以，

所以

，

又因为，，所以，

即．

3．（2022·延庆模拟）已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.

【答案】见解析

【解析】（1）解：由已知得．所以．

又因为椭圆的离心率为，所以．所以．

所以，

所以椭圆的方程为

（2）证明：由得，

设，．

因为直线与椭圆交于不同的两点，，

所以．解得，

所以，，

直线的方程为.

令得．

直线的方程为.

令得.

又因为

，

所以

4．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．

（1）求的方程；

（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：易知点、、，，，

所以，，解得，，则，

所以，双曲线的方程为.

（2）证明：分以下两种情况讨论：

①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，

设点、，

联立可得，

则，可得，则，

不妨点、分别为直线与直线、的交点，

联立可得，联立可得，

此时，.

综上所述，点与点的横坐标之积为定值.

5．（2022·青州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：不妨设 ， 因为，

从而 故由 ，

又因为， 所以 ，

又因为 在圆 上， 所以

所以双曲线的标准方程为：

（2）解：设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为

由于动直线与双曲线恰有1个公共点， 且与双曲线的两条渐近线分别交于点，

当动直线的斜率不存在时， ，，，

当动直线的斜率存在时， 且斜率， 不妨设直线 ，

故由

依题意，且

，

化简得 ，

故由 ，

同理可求，，

所以

又因为原点到直线的距离，

所以，又由

所以，

故的面积是为定值，定值为

6．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率 ，直线   与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点 ； 

（1）求椭圆 的方程， 

（2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意得：

，

，

所以椭圆的方程为

（2）解：设

（ⅰ）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为

代入  得： ，

则

，

当 ，即 时，无论 取何值， 的值恒为2，

得点 ，

（ⅱ） 当直线 与 轴重合时，有 或 ，

均有 =2

由i和ii得，在 轴上是存在两点 ，使得

1．（2022·唐山二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．

（1）求的离心率；

（2）如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．

①求证：；

②若，求面积的最大值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：椭圆的标准方程为：，

则椭圆的离心率为

（2）证明：对于①，设，，，，

直线与联立整理得

则

则的中点坐标

同理可知的中点坐标.

所以与中点重合，故.

对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为

把代入得，

把代入得，

到的距离为，

则面积为：

当时，的面积最大值是.

2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．

（1）求双曲线C和抛物线E的方程；

（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题，，又点在双曲线上，故，解得，

故双曲线方程为；

又点过抛物线的准线，故，即，

故

（2）解：显然直线斜率存在，故设直线方程为，，

联立有，

故，又，，

故切线 ，结合整理得，

同理切线，

联立解得，即，故.

又

，且，即，故，

又在双曲线上故，故，

故面积的取值范围为

3．（2022·济南模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意得：，解得：，，

∴．

（2）解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，

设直线AB的方程为，，，

将代入得：，

∴，，

则===，

===，

∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴，

化简可得：，

即，即，

∵直线AB不过点P，∴，∴，，

则，

又点P到直线AB的距离为，

∵，∴，

∴，

当且仅当时等号成立，∴△PAB面积最大值为．