新高考数学一轮复习讲与练10.4 双曲线（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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A．4B．4或6C．3D．3或7
【答案】D
【解析】由双曲线定义知：，而，又且，
∴3或7，故答案为：D.
2．（2022郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（ ）
A．1B．21C．1或21D．2或21
【答案】B
【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.
3．（2021怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线 可知：
的周长为 .
当 轴时， 的周长最小值为
故答案为：C
4．（2022奉贤期中）已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 . 设 分别为双曲线的左、右焦点.若 ，则 .
【答案】5
【解析】因为双曲线的渐近线方程为3x-y=0 ，即y=3x=，所以，解得a=1，
根据双曲线定义P是双曲线 右支上的一点， 满足|PF1|-|PF2|=2a= 2，
所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案为：5
5．（2022·开封模拟）若双曲线的焦距为，则实数 ．
【答案】4或
【解析】当焦点在x轴时，可得解得；
当焦点在y轴时，可得解得．
所以或．故答案为：4或
6．（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为 ，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为 .
【答案】1；
【解析】双曲线的方程为，则.
设圆 分别与 相切于 ，
根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知 ①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 的横坐标为 .
设 的坐标为 ，则 到圆M上点的最大距离为 ，
即 ，解得 .
设直线 的方程为 ，即 .
到直线 的距离为 ，解得 .
所以线 的方程为 .
由 且 在第一象限，解得 .
所以 ， .
所以△F1PF2的面积为 .
故答案为：1；
7．（2021温州期中）已知双曲线x2-y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
【答案】
【解析】∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为
题组二 双曲线的离心率及渐近线
1．（2021高三上·南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：
由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，
则四边形为矩形，故，由已知可知，
由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，.
故答案为：A.
2．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，
设，
则，则，
∴，∴e＝.
故答案为：B.
3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cs60° 解得所以故答案为：A
4．（2022·靖远模拟）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】由题意得：渐近线方程的斜率为， 又渐近线方程为，所以，
所以C的离心率为故答案为：D
5．（2022·新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为，
所以，所以，所以，双曲线C的离心率.
故答案为：B
6．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作轴于M，依题意，
则 ，则为等腰直角三角形，令 ，则 ，由双曲线定义知 ．而，在中 ，
解得：，双曲线离心率，则．故答案为：C．
7．（2022·济南二模）已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，点P在双曲线上，若 ， ，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，
由于 ， ，故 ，
故 ，
而 ，
故 ，
故答案为：
8．（2022·汝州模拟）已知双曲线 的两条渐近线所夹锐角为 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】由于 ，双曲线的渐近线方程为 ， ，
所以双曲线的渐近线与 轴夹角小于 ，由 ，得 ，
则双曲线的离心率 ．
故答案为：
题组三 双曲线的标准方程
1．（2022·安徽模拟）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】椭圆 的焦点坐标为 ，设双曲线的标准方程为 ，
由双曲线的定义可得 ，
， ， ，因此，双曲线的方程为 。
故答案为：C.
2．（2022合肥期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，是的中点，所以，
，则，，解得，
所以双曲线方程为．故答案为：D．
3．（2022资阳期末）已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为 .
【答案】
【解析】根据双曲线的对称性可知，
点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以解得
所以双曲线C：，故答案为：.
4．（2022徐汇期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为 ．
【答案】
【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：
实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …①
其渐近线方程为 ，即 …②
联立①②，解得 ，双曲线方程为 ；
实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有…③
其渐近线方程为 ，即 …④
联立③④，无解；
故答案为： .
5．（2022河南月考）经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意设所求双曲线的方程为，
∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即。
答案：。
6．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
【答案】
【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：
7．（2022·辽宁模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】【解答】因为渐近线方程为，所以，一个焦点到一条渐近线的距离为，所以， 故双曲线标准方程为.故答案为：
8．（2022·宁德模拟）若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是 .
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线为， 故设其方程为，
因为点在双曲线上，所以，，即所求方程为.故答案为：
9．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 ．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10
【答案】（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：
由②一条渐近线方程为知，，即
由③知，，即，
则可取（此处也可取大于的其他数）
又，，
则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：
故答案为：（答案不唯一， 写出一个即可）.
题组四 直线与双曲线的位置关系
1．（2022·全国·课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.
2．（2022·全国·课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．
【答案】2
【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
3．（2022·全国·课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．
【答案】，
【解析】由，消得
即，解得或
代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，
故答案为：，
4．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为直线过原点且与双曲线没有交点，
故需满足，
故答案为：
5．（2022·全国· 专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.
【答案】1
【解析】联立方程可得，消可得，即，故，
故方程组有且只有一组解，故双曲线与直线有且只有一个交点.故答案为：1
6．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由，消可得，当或，解得或，故答案为：
7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
题组五 弦长与中点弦
1．（2022·四川·射洪中学 ）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C
2．（2022·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【答案】
【解析】设，则，
将两点坐标代入双曲线方程得：；
将上述两式相减可得：
即，也即
所以，即
故答案为：
3．（2022·全国·课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
4．（2021·云南）已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0
(2)
【解析】(1)设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1），则3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，
两式相减得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，从而直线的斜率为6，
故所求直线方程为6x﹣y﹣11＝0；
(2)6x﹣y﹣11＝0与双曲线3x2﹣y2＝3联立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2，
所以== ．
5．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.
（2）解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.
6．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【解析】(1)
由双曲线方程知：，则，
由得：，则，
与双曲线有两个不同的交点.
(2)
设，，
由（1）得：，，；
；
.