新高考数学一轮复习讲与练10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
2．（2022·莆田三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由题意得，所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：
联立，消得，
又，则，
所以，
所以，
及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，
所以椭圆上切点为的切线方程为.
切线方程与联立得，
则线段为直径的圆的方程为，
设，则，
化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.此时.
故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.
3（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由离心率为，得，①
C的四个顶点围成的四边形面积为．②
由①②可得，，C的方程为．
（2）解：由，得．
因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，
由题意可知l的斜率一定存在．
设l的方程为，，．
联立方程组得，消去y并整理得，
由，得．
所以，．
因为，
即
，
整理得，
因为，所以．
当时，满足，此时直线l的方程为，
所以直线l过定点．
题组二 定值
1．（2022·安徽模拟）点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）解：设，，直线；
由得：，所以；
由得：，即.
解得，所以抛物线的方程为.
（2）证明：设点关于轴的对称点为，则；
因为直线与直线的倾斜角互补，所以，，三点共线，由题设得；
不妨设即为点，即为点；即，，则，
则是定值.
2．（2022·安徽三模）已知椭圆C：的离心率为，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当轴时，△APF的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP交直线l：于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）解：设，由题意知，所以，．
将代入椭圆方程，得，
当轴时，，解得，
所以，，椭圆C的标准方程为．
（2）证明：易得，．
设点，则，
所以直线AP的方程是，
当时，
所以点Q的坐标为．
当轴时，
可得，，，
故．
当PF与x轴不垂直时，，，
所以．
因为，所以，
所以
，
又因为，，所以，
即．
3．（2022·延庆模拟）已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由已知得．所以．
又因为椭圆的离心率为，所以．所以．
所以，
所以椭圆的方程为
（2）证明：由得，
设，．
因为直线与椭圆交于不同的两点，，
所以．解得，
所以，，
直线的方程为.
令得．
直线的方程为.
令得.
又因为
，
所以
4．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：易知点、、，，，
所以，，解得，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）证明：分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，
设点、，
联立可得，
则，可得，则，
不妨点、分别为直线与直线、的交点，
联立可得，联立可得，
此时，.
综上所述，点与点的横坐标之积为定值.
5．（2022·青州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：不妨设 ， 因为，
从而 故由 ，
又因为， 所以 ，
又因为 在圆 上， 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）解：设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点， 且与双曲线的两条渐近线分别交于点，
当动直线的斜率不存在时， ，，，
当动直线的斜率存在时， 且斜率， 不妨设直线 ，
故由
依题意，且
，
化简得 ，
故由 ，
同理可求，，
所以
又因为原点到直线的距离，
所以，又由
所以，
故的面积是为定值，定值为
6．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率 ，直线 与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点 ；
（1）求椭圆 的方程，
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得：
，
，
所以椭圆的方程为
（2）解：设
（ⅰ）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为
代入 得： ，
则
，
当 ，即 时，无论 取何值， 的值恒为2，
得点 ，
（ⅱ） 当直线 与 轴重合时，有 或 ，
均有 =2
由i和ii得，在 轴上是存在两点 ，使得
题组三 最值
1．（2022·唐山二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．
（1）求的离心率；
（2）如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证：；
②若，求面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：椭圆的标准方程为：，
则椭圆的离心率为
（2）证明：对于①，设，，，，
直线与联立整理得
则
则的中点坐标
同理可知的中点坐标.
所以与中点重合，故.
对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为
把代入得，
把代入得，
到的距离为，
则面积为：
当时，的面积最大值是.
2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
（1）求双曲线C和抛物线E的方程；
（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题，，又点在双曲线上，故，解得，
故双曲线方程为；
又点过抛物线的准线，故，即，
故
（2）解：显然直线斜率存在，故设直线方程为，，
联立有，
故，又，，
故切线 ，结合整理得，
同理切线，
联立解得，即，故.
又
，且，即，故，
又在双曲线上故，故，
故面积的取值范围为
3．（2022·济南模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得：，解得：，，
∴．
（2）解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为，，，
将代入得：，
∴，，
则===，
===，
∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴，
化简可得：，
即，即，
∵直线AB不过点P，∴，∴，，
则，
又点P到直线AB的距离为，
∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，∴△PAB面积最大值为．