新高考数学一轮复习讲与练10.5 抛物线（精练）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·云南）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由，可得其焦点，准线方程为，
因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，
则，解得，故选：C.
2．（2022·云南·罗平县）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】D
【解析】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，
根据抛物线的定义，可得，解得.故选：D.
3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3B．4C．7D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故选: B.
4．（2022·全国·课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B
5．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
6．（2022·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.
题组二 抛物线的标准方程
1．（2022·云南）一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：，解得：．
由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得；当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得．
综上，.
所以抛物线的标准方程为．
故答案为：
2．（2021·海南 ）已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是__________．
【答案】
【解析】由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，
抛物线的准线方程为，
，解得，
即所求抛物线的标准方程为
故答案为：
3．（2021·北京二中 ）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.
【答案】
【解析】抛物线经过点，，解得：，抛物线的准线方程为，
故答案为：．
4．（2022·福建泉州 ）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
【答案】2
【解析】由题意可得：准线为，故，则故答案为：2．
5．（2022·湖南 ）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【答案】
【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
6．（2022·全国· 单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．
【答案】
【解析】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，，
因为抛物线过点，所以，可得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：
7．（2022·黑龙江）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，若抛物线的焦点在轴正半轴上，则可设抛物线方程为（），，，由焦半径公式可知，圆的半径为，
得，并且线段中点的纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，切点坐标为或，所以，
即点的坐标为，代入抛物线方程（）得，解得或，即当点在轴正半轴上时，抛物线方程是或.
同理，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或，当点F在轴正半轴时，抛物线方程为或，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或．
故答案为：（答案不唯一）.
8．（2022·福建）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)经过点；
(2)焦点为直线与坐标轴的交点．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．
（2）令，得；令，得所以抛物线的焦点坐标为或．当焦点为时，抛物线的标准方程为．当焦点为时，抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．
题组三 直线与抛物线的位置关系
1（2022·陕西渭南·）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4B．2C．0或4D．8
【答案】C
【解析】联立得：，
当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，
综上可知： 或，
故选：C
2．（2022·贵州黔东南 ）在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线C：于不同的两点，则（ ）
A．16B．32C．64D．56
【答案】B
【解析】易知直线斜率存在，设：，
联立方程
整理得
所以
所以
故选：B.
3．（2022·四川自贡 ）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】C
【解析】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故选：C.
4．（2022·上海徐汇 ）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．
综上，符合要求的直线有3条．
故选：D．
5．（2022·哈尔滨）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．
【答案】或或
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．
当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；
当时，设直线l的方程为，由，得，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或．
综上，直线l的方程为或或．
题组四 弦长
1．（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】设点的横坐标分别为，则.
由过抛物线的焦点的弦长公式知：.
故选：C
2（2023·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
4．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
【答案】8
【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，
则由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案为：8．
5．（2022·全国·专题练习）设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.
【答案】
【解析】拋物线：的焦点，准线，所以，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，
设
联立得，
所以，
所以
点到直线0的距离
所以．
故答案为：