新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用（精讲）（含解析）

9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）

考点一 零点问题

【例1】（2022·全国·成都七中）设函数​为常数).

(1)讨论​的单调性；

(2)讨论函数​的零点个数.

【答案】(1)递减区间，递增区间；(2)答案见解析.

【解析】（1）当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）由（1）知函数在上递减，在上递增，，

令，，求导得，函数在上单调递增，函数在上递减，

当时，取值集合为，函数取值集合为，

因此函数在上的函数值集合为，

当时，函数的取值集合为，函数取值集合为，

因此函数在上的函数值集合为，

所以当，即时，函数无零点，当时，函数有一个零点，

当时，函数有两个零点.

【一隅三反】

1．（2022·全国·兴国中学）已知函数在点处的切线方程为．

(1)求函数的单调区间，

(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)

【解析】（1）由题可得，由题意得，解得，

所以，

由得或，由得，

所以的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2）因为，

由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，

的单调递减区间是，单调递增区间是，

依题意，要使有三个零点，则，即，

解得，经检验，，

根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．

2．（2022·黑龙江）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.

(1)求的值；

(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.

【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析

【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．

曲线和在原点处有相同的切线.，．

（2）由（1）可知，，所以；

当时，，，此时无零点．

当时，

令

则，显然在上单调递增，

又，，所以存在使得，

因此可得时，，单调递减；

时，，单调递增；又，

所以存在，使得，

即时，，，单调递减；

时，，，单调递增；

又，，所以在上有一个零点．

综上，在上有1个零点．

3．（2022·河南）已知.

(1)讨论的单调性；

(2)若有一个零点，求k的取值范围.

【答案】(1)答案见解析(2)

【解析】（1）的定义域为，

，当时，恒成立，在上单调递增.

当时，在上，，单调递增；

在上，，单调递减.

综上可知，时，在上单调递增.

时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）有一个零点，可得有一个实根，

令，.

令，得；令，得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴.

又，

∴时，；时，.

大致图象如图所示，

若直线y＝－k与的图象有一个交点，

则或，即或.∴k的取值范围是.

考点二 不等式成立

【例2】（2022·江西南昌）已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)

【解析】（1）解：当时，，

，

当时，，，所以，即在上单调递增，

当时，，，所以，即在上单调递减，

则的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：因为，

则，

①当时，即时，因为，，，

所以，因此函数在区间上单调递增，

所以，不等式在区间上无解；

②当时，即时，当时，，，

因此，所以函数在区间上单调递减，

，不等式在区间上有解．

综上，实数的取值范围是．

【例2-2】（2022·四川成都）已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）由已知得，

当时，令，解得；令，解得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

∴，

由恒成立得，即，

取对数得，即，

令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，

又∵，

∴，得，即，

所以a的取值范围为．

【一隅三反】

1．（2022·甘肃定西）已知函数，

(1)求在处的切线方程

(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）由，可得，

所以切线的斜率，．

所以在处的切线方程为，即；

（2）令，

则，

令，，

在上，，

在上单调递增，

，

．

2．（2022·四川眉山）已知.

(1)求的极值点；

(2)若不等式存在正数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值点为，极小值点为(2)

【解析】（1）解：函数的定义域为，，令可得或，列表如下：

所以，函数的极大值点为，极小值点为.

（2）解：由题意可知，存在，使得，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则，所以，.

3．（2022·广东广州·一模）已知函数，.

(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）当时，显然满足题意

当时，若函数只有一个零点，

即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为

只有一个根，

即直线与函数（且）的图像只有一个交点.

，令，得，

在和上，，在上，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

在时有极小值，图像如图所示：

由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，

则或，

综上.

（2）

恒成立，

等价于，

令（），

，

①若时，，

所以在上单调递增，

，即，满足，

②若时，则，，

所以在上单调递增，

当时，，不成立

故不满足题意.

③若时，令，，

，，

，单调递减，

，单调递增，

只需即可，

，，

令

，在上单调递增，

，时，，

，，

所以在上单调递增，

，即，

综上：

考点三 双变量

【例33】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设函数（​为常数）.

(1)讨论​的单调性；

(2)若函数​有两个不相同的零点​， 证明:​.

【答案】(1)在​上单调递减，​上单调递增.(2)证明见解析

【解析】（1）由（），

得，

令，则，

所以在上单调递增，

因为，

所以当时，，当时，，

所以​在​上单调递减，​上单调递增.

（2）

由（1）的结论，不妨设​.

又​均​，

只需证​.

构造函数​.

则，

因为，所以，

所以，

所以

，

当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，

所以，

所以在上单递增，

所以，

所以​恒成立，结论得证.

【一隅三反】

1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)若在有两个极值点，求证：．

【答案】(1)当时，在上单调递增；

当或时，在上单调递减，

在和上单调递增.

(2)见解析

【解析】（1）由，

求导得，

易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，

①当时，即，，则在上单调递增；

②当时，即或，

令时，解得或，

当时，，

则在上单调递减；

当或，，

则在和上单调递增；

综上所述，当时，在上单调递增；

当或时，在上单调递减，

在和上单调递增.

（2）

在上由两个极值点，

或，且为方程的两个根，即，，

，，即，

将，代入上式，可得：

，

由题意，需证，令，

求导得，

当时，，则在上单调递减，即，

故.

2．（2022·四川·高三开学考试（理））已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)当时，已知，是两个不相等的正数且，求证：．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递增，

当时，，∴在上单调递减，

根据题意不妨设，

①先证明，即证，

∵在上单调递增，∴只需证，

设，

则，

∵，，∴，，

∴，在上单调递减，

∴由得，

即得证，∴．

②再证明，构造过函数的切线，

过与两点函数的割线，

不妨设，

设，，

∴，，∴单调递增，

∵得，单调递增，

∴得，

∴得．

设，，

由（当地取等），得，

则，

∴得，∴得．

由得，得，

∴，

∴．

综上得．

8．（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（理））已知函数．

(1)当时，，求实数m的取值范围；

(2)若，使得，求证：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）

由，得，

即，其中，

令，得，

设，

则，所以在上单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递增，所以在上有最大值，

，

所以m的取值范围为；

（2）

由，可得，

整理为，

令，

则，所以在上单调递增，

不妨设，所以，从而，

所以，

所以，

下面证明，即证明，

令，即证明，其中，只要证明，

设，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，

所以，

所以．

4．（2022·河南·郑州市第七中学高三阶段练习（理））巳知函数.

(1)求函数f（x）的最大值;

(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明:

【答案】(1)2(2)证明见详解

【解析】（1）因为，所以.

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

（2）

方程

可化为.

设，显然在上是增函数，又，

所以有，即方程有两个实数根，.

由（1）可知，则有，所以的取值范围为.

因为方程有两个实数根，，所以，

则，要证，即证.

，

需证.

需证.

不妨设，令，则，即要证.

设，则，

所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.