中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题48与圆有关的等腰三角形的存在性问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题48与圆有关的等腰三角形的存在性问题(原卷版+解析)，共52页。
一、解答题
1．如图1，在中，和是两条弦，且，垂足为点，连接，过作于，交于点G；
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，连接、、，若，，，求的长．
2．如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，求线段的长．
3．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线：
②当cm，cm时，求的半径及图中阴影部分的面积．
4．已知是圆O的内接三角形，高线的延长线交圆O于点E，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，过O作，求证：；
(3)如图3，若是直径，点G、H在弧上，，延长交延长线于点P，连接，若，求线段的长．
5．如图1，在锐角中，，圆为的外接圆．
(1)求证：平分．
(2)如图2，点在弧上，分别与，交于点，，且．
①求证：；
②若，，求圆的半径．
③如图3，连结并延长交于，交于，若，求的值．
6．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图1，在中，为弦，为直径，且，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．
(1)求证：；
(2)在线段上有一点I，连接．且平分，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若，的半径为2，过点D作的切线交的延长线于点F；当时，求的长．
8．已知上两个定点A、B和两个动点C、D，与交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若连接，延长交于点F，连接，，，求点O到弦的距离．
9．如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为5，，求和的长．
(3)在（2）的条件下，线段分别交于点E，F且，求的长．
10．已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．
(1)求的长；
(2)求的长；
(3)如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．
11．如图，是的直径，点在上，且满足，，的度数之比为，连接线段．
(1)求的度数；
(2)求的值；
(3)设，点为直径下方半圆上的一个动点，连，点在自向运动过程中，的度数分别与，，的度数相等时，求出相应线段的长．
12．如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长AD，BC交于点E，作交于，连结．
(1)如图①，当点为的中点时，求证：；
(2)如图②，若，，请用含有的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，若，
①求证：；
②求的值．
13．四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径
14．已知为的外接圆，．
(1)如图1，联结交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
15．如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．

(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
16．如图1，已知等腰内接于，，，是上的一个动点，连接并延长，点在射线上，且．
(1)如图2，若是的直径．
①求的半径长；
②求的长；
(2)在点的运动过程中，当与的一条边平行时，求的长．
17．如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
(3)求的最大值．
18．在平面直角坐标系中，的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点P关于的限距点，如图1为点P及其关于的限距点的示意图．
(1)当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点D的坐标为，DE，DF分别切于点E，F，点P在的边上．若点P关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．
(2)保持（1）中D，E，F三点不变，点P在的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，的圆心C的坐标为，半径为r，若点P关于的限距点不存在，则r的取值范围为______．
专题48 与圆有关的等腰三角形的存在性问题
【题型演练】
一、解答题
1．如图1，在中，和是两条弦，且，垂足为点，连接，过作于，交于点G；
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，连接、、，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，可证得，从而，进而得出结论；
（2）延长交于，连接，可证得，，进而得出结论；
（3）作于，连接，连接，可证得，结合（2）的结论，从而得出，根据平行四边形性质得出，依次解求得，解求得，从而得出，，解求得，从而得出的正余弦三角函数值，从而得出的三角函数值，解斜三角形，从而求得的值，进一步可求得结果．
【详解】（1）证明：如图1，
连接，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，
延长交于，连接，
是的直径，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
作于，连接，连接，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
点、、、共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，解直角三角形，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是探究角之间的数量关系，发现角度和图形的特殊性．
2．如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，见解析
(3)6
【分析】（1）由切线的性质可得出，结合题意可证，即得出．再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出，从而易证平分；
（2）由直径所对圆周角为直角可知．再根据三角形内心的性质可知，．由同弧或等弧所对圆周角相等可知，从而结合三角形外角性质得：，即，即证明为等腰三角形；
（3）连接，作交于点M， 由圆周角定理可知．根据勾股定理可得出，即得出，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理求出．又易证为等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，进而可求出．
【详解】（1）∵是切线
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，即平分；
（2）为等腰三角形，理由如下，
∵为的直径，
∴．
∵G是的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（3）连接，作交于点M，如图所示：
由圆周角定理可知．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．在解（3）时正确作出辅助线也是关键．
3．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线：
②当cm，cm时，求的半径及图中阴影部分的面积．
【答案】（1），见解析；
（2）①见解析；②的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是
【分析】（1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论；
（2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，连接和，
∵和是的两条切线，
∴，．
又∵，．
∴
∴，．
（2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C，
∴分别平分、．
又∵．
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵经过半径的外端点M，
∴是的切线．
②连接，则，
∵cm，cm，
∴，
∴，
∴
即的半径为2.4cm．
∴（）
综上所述，的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是．
【点睛】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，属于常规考题，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等．
4．已知是圆O的内接三角形，高线的延长线交圆O于点E，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，过O作，求证：；
(3)如图3，若是直径，点G、H在弧上，，延长交延长线于点P，连接，若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）连接，先根据证明，再根据圆周角定理得到，进一步得到，最后根据的高线的延长线交于点得到，进一步得出结论；
（2）延长交于点，连接，可得是的直径，先根据得到 ，再证明是的中位线，得到，最后证明即可得到结论；
（3）连接，过点作于点，过点作于点，设的半径为，则先证明是等边三角形得到和，进一步证明以及得到，和，然后根据勾股定理得到方程，最后消去有关线段，得到关于r的方程，求出r的值，并根据求出答案即可
【详解】（1）如图1，连接，
又
的高线的延长线交于点
，
（2）如图2，延长交于点，连接，则是的直径，
又
是的中位线，
由（1）得，
（3）如图3，连接，过点作于点，过点作于点，设的半径为，则：
是等边三角形，
，即
在和中
①，
又
②，
得，
又
，即，
即
解得，或（舍去）
【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握圆周角定理以及作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
5．如图1，在锐角中，，圆为的外接圆．
(1)求证：平分．
(2)如图2，点在弧上，分别与，交于点，，且．
①求证：；
②若，，求圆的半径．
③如图3，连结并延长交于，交于，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②；③
【分析】（1）证明，即可得出平分；
（2）①连结，证明，推出，即可求证；②连结并延长交于，连结，根据，即可求出半径的长；③延长交于，连结，利用相似三角形的性质和判定即可求解．
【详解】（1）连结、，
∵，，，
∴，
∴
（2）①连结
由，，
得，
∴，，
又∵，
∴，
∴，且
②连结并延长交于，连结
则，
由，知，
∴，，
∴
∴，即半径为
③延长交于，连结
∵，，
∴，
∴，
即
∵
∴，
∴，即
又∵，
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴，即
∴，
∴
【点睛】本题考查圆的综合，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，全等三角形的知识，解题的关键是能够利用性质和判定定理，进行推理．
6．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3)点的坐标为或；
【分析】（1）根据为等腰直角三角形，可知，则垂直平分，则，根据，可知．
（2）根据是的一个外角，可知，根据是的一个外角，可知，又根据，，则，在等腰Rt中，，则，故；
（3）分两种情况讨论：①当时，过点作轴于点，根据相似三角形的性质与判定即可解决本题，②当时，过点作轴与点，同理根据相似三角形求解即可．
【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
又∵，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴；
（3）解：①当时，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当时，过点作⊥轴与点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在R中，∠EFB=30°，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题属于圆的综合题，其中也考查了相似三角形的性质与判定，平面直角坐标系，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
7．如图1，在中，为弦，为直径，且，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．
(1)求证：；
(2)在线段上有一点I，连接．且平分，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若，的半径为2，过点D作的切线交的延长线于点F；当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）证明，进而命题可证；
（3）连接，先计算得出是等边三角形，作于点E，求得的长，证明，从而求得结果．
【详解】（1）证明：∵为弦，为直径，且，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，，∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是的切线，
∴，，
∵且，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
作于点E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．已知上两个定点A、B和两个动点C、D，与交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若连接，延长交于点F，连接，，，求点O到弦的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)点O到弦的距离是
【分析】（1）如图1，根据两角对应相等证明，可得结论；
（2）如图3，作辅助线，构建直角三角形，根据三角形的中位线定理得：为的中位
线，则，由和，再由等弧所对的圆
周角相等得：，所以，求出，从而得结论．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过O作于G，
∴，
∵AO=OF，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点O到弦的距离是．
【点睛】本题是一道圆的综合题，其中考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．注意数形结合思想在本题中的应用．
9．如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为5，，求和的长．
(3)在（2）的条件下，线段分别交于点E，F且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：∠OCD=90°，可得结论；
（2）先根据三角函数计算，证明，得，设设，利用勾股定理列方程可得x的值，据此即可求解；
（3）证明，列比例式可得的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴为的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
，
（舍）或，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．
(1)求的长；
(2)求的长；
(3)如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）连接，证明，可得，代入数值求出的长，再用勾股定理即可求出的长；
（2）连接，由（1）可知是等腰三角形，再由E是的中点，可得，则是圆O的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知，根据，即可求的长；
（3）设与的交点为G，过点G作交于点H，证明，设，则，在中，由勾股定理求出，再由BP垂直平分，可得，则，又由，可得，进而可求出．
【详解】（1）如图，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，交的交点为，
∵，
∴是等腰三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴是圆O的直径，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），不会发生变化，理由如下：
设与的交点为G，过点G作交于点H，
由（2）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
11．如图，是的直径，点在上，且满足，，的度数之比为，连接线段．
(1)求的度数；
(2)求的值；
(3)设，点为直径下方半圆上的一个动点，连，点在自向运动过程中，的度数分别与，，的度数相等时，求出相应线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)能；的长为：6或或
【分析】（1）由，，的度数之比为，求得，的度数即可得出答案；
（2）过点作于点，设，用表示即可得到答案；
（3）作直径，连接，，当的度数与的度数相等时，，此时点与点重合，；当的度数与的度数相等时，则，过作于点，求得，进而求得；当的度数与的度数相等时，则，得，即可求得结果．
【详解】（1）解：，，的度数之比为，
，，的度数分别为：，，，
，，
；
（2）解：过点作于点，如图所示，
设，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：作直径，连接，，如图所示，
，
，
，
，
，
当的度数与的度数相等时，则，
此时点与点重合，；
当的度数与的度数相等时，则，
，，
过作于点，则，
，
；
当的度数与的度数相等时，则，
。
，
，
综上所述，的长为：6或或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，关键是综合应用这些知识解题．
12．如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长AD，BC交于点E，作交于，连结．
(1)如图①，当点为的中点时，求证：；
(2)如图②，若，，请用含有的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，若，
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据圆周角定理求出，，即可得证结论；
（2）根据弧长的关系得出；
（3）①延长至点，使，连接，，证明，得出点为的中点，点为的中点，即可得证结论；②证明，得，，，推出，，同理得出，过点作于点，分别求出和即可得出的值．
【详解】（1）解：证明：如图①，连接，
点为的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可得，，
，则，
，
，
；
（3）①证明：如图②，延长至点，使，连接，，
则，
又，
，
，
，
即点为的中点，
点为的中点，
，
即；
②，
，
，
又，
，
，
即，
设，，
则，
解得或（舍去），
，，
又，
同理得，
，
过点作于点，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，考查了圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
13．四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径
【答案】(1)，理由见解析；
(2)5．
【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解；
（2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：如下图，连接，，
∵四边形 内接于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴；
（2）解∶ 连接，，
∵与相切，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
14．已知为的外接圆，．
(1)如图1，联结交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①证明，可得，即可得证；②首先求出，得到，根据等边对等角得到，，在四边形中，利用内角和列出关系式，化简即可；
（2）猜想，，三者之间的数量关系为：，交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：①连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
即，
化简得：；
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
15．如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．

(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得，由余角的性质得，进而可证结论成立；
（2）通过证明，得，由补角的性质可证，等量代换得，进而可证；
（3）①由，结合勾股定理求出和，由得，设，利用求出，再利用勾股定理即可求出的长；
②通过证明，可得，设，表示出和，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）①∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
设．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴A，C，P，D四点共圆，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，以及二次函数的性质，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定，以及二次函数的性质是解答本题的关键．
16．如图1，已知等腰内接于，，，是上的一个动点，连接并延长，点在射线上，且．
(1)如图2，若是的直径．
①求的半径长；
②求的长；
(2)在点的运动过程中，当与的一条边平行时，求的长．
【答案】(1)①6；②
(2)或
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆周角定理和含角的直角三角形的性质解答即可；利用的结论和勾股定理解答即可；
（2）利用分类讨论的方法分或两种情况解答：当时，利用平行线的性质和三角形的你还记得了得到为直角三角形，利用（1）的方法解答即可；当时，过点A作，利用等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：
是直径，
，
，
∴ 圆的半径长为6；
，
，
；
（2）情形1：如图1，当时，，
，
，
，
情形2：如图2，当时，则，
，

过点A作于点H，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
.
∴，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，等腰直角三角形的性质，过点A作利用直角三角形的性质解答是解题的关键．
17．如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
(3)求的最大值．
【答案】(1)见详解
(2)花花，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据等弦对等弧、同弧或等弧所对的圆周角相等可得，即可证明平分；
（2）由（1）可知，，结合平分，可得，再由可推导，可推导，即可证明，所以赞同花花的观点；
（3）在右侧作，与延长线交于点，首先证明，由全等三角形的性质可知，故可推导；过点作于点，在中，由三角函数可得，可知，则可得，故当为直径时，的值最大，结合半径为6，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）赞同花花的观点，理由如下：
由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴无论点运动到哪里，始终有；
（3）如下图，在右侧作，与延长线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当为直径时，的值最大，即，
此时，
即的最大值为．
【点睛】本题主要考查了等弦对等弧、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数解直角三角形等知识，熟练掌握并综合运用相关知识是解题关键．
18．在平面直角坐标系中，的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点P关于的限距点，如图1为点P及其关于的限距点的示意图．
(1)当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点D的坐标为，DE，DF分别切于点E，F，点P在的边上．若点P关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．
(2)保持（1）中D，E，F三点不变，点P在的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，的圆心C的坐标为，半径为r，若点P关于的限距点不存在，则r的取值范围为______．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①画出图形，由图可求解；
②分两种情况：Ⅰ、当点在线段上时，Ⅱ、当点在线段，上时，分别求解即可；
（2）过点C作于M，如图，求得，根据点P关于的限距点不存在，所以或，求解即可．
【详解】（1）解：①如图，
从图中可以看出点，点关于的限距点不存在，
点关于的限距点存在，其坐标为；
②如图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，
点的坐标为，
．
切于点，
．
，
，．
，分别切于点，点，
，，．
．．
， ，
，，，
设点关于的限距点的横坐标为，
Ⅰ、当点在线段上时，
直线的延长线与点交点满足，
点关于的限距点存在，其横坐标满足；
Ⅱ、当点在线段，上时，
直线与的交点满足或，
点关于的限距点不存在；
综上所述，点关于的限距点的横坐标的取值范围为：；
（2）解：由（1）可知， ，
，，
∴，
过点C作于M，如图，
则，
∵点P关于的限距点不存在，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查新定义，圆的有关概念与性质，直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法，本题是阅读型题目，准确理解新定义并熟练应用是解题的关键．