中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题51图形折叠中的直角三角形存在性问题(原卷版+解析)

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一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
2．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得．
【感知】
(1)①如图2，在中，若，则 ．
②如图2，在中，若，求证：；
【探究】
(2)若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】
(3)如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A的坐标是 _________，点B的坐标是 __________，的长为 _________；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
5．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．
如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．
(1)如图2，当沿折叠，点落在边的点处，且时，发现四边形是菱形，请证明；
(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点落在点处，延长交于点，，点在边上运动，沿折叠使点落在线段的中点处，求线段的长；
(3)沿折叠，点的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图探究，并直接写出的长．
6．定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形，②直角三角形，下列说法一定正确的是________．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为________；
(3)如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的长．
7．如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处，交于点E，连结．
(1)求的长．
(2)若，求证：．
(3)当是直角三角形时，求所有符合条件的长．
8．在中于点．
(1)如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
(2)如图2，点、分别在线段、上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并简要说明理由；
(3)在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度，记旋转中的为（如图3）．在旋转过程中，直线与直线交于点，与直线交于点．若，是否存在这样的、两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由．
9．如图，在中，，点P是射线上的任意一点（不与点C重合），，连接，将沿AP向右翻折，得到，连接．
(1)当，时，的度数为 ，的度数为 ；
(2)在图1中，点P在BC边上，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在边的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立吗？请直接作出判断，不必说明理由．
10．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．
(1)AB和的数量关系是 ，AP与的位置关系是 ；
(2)如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；
(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．
11．已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
12．在中，，点D是BC边上一点，将沿AD折叠后得到，射线AE交射线CB于点F．
(1)当点D在线段BC上时，
①如图1，若，说明；
②如图2，若，请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
13．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
14．如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．
(1)如图1，当∠BEA＝35°时，∠FAD的度数为 ．（直接填空）
(2)如图2，连BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；
(3)如图3，当AFBD时，设∠CBD＝，请你求出∠BAE的度数．（用表示）
15．【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED．
(1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；
(2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积；
(3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长；
(4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．
16．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
17．在中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形．
(1)利用图1，求证：；
(2)如图2，连接BD，若，，，当点落在BD上时，求EF的长；
(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证：直线与直线CD重合．
18．模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且．
（1）与相似吗？请说明理由；
模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且．
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值；
（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比．
19．综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．
问题解决
（1）的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值．
20．已知中，，，．点D由A出发沿向点C匀速运动，同时点E由B出发沿向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在上，，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接，设．解答下列问题：
(1)如图1，当x为何值时，为直角三角形；
(2)如图2，把沿翻折，使点D落在点．
①当x为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积；
②如图3，连接，设为y，请求出y关于x的函数关系式；
③如图4，分别取，的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段扫过的区域的形状，并求其面积（直接写出答案）．
专题51 图形折叠中的直角三角形存在性问题
【题型演练】
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，5
(2)
(3)或
(4)存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，再根据两点的距离公式即可求出的长；
（2）由折叠知，从而可求出．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；
（3）由三角形面积公式可求出．设，则，从而得出关于t的方程，解出t即可得出M点坐标；
（4）分类讨论：①当，时，过点P作轴于点G．易证，得出，，从而得出；②当，时，过点P作轴于点H．由①同理可求出；③当，时，过点P作轴于点M，轴于点N．易证，得出，．即可设，得出，解出a，即得出P点坐标．
【详解】（1）对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴，
∴．
故答案为：，5；
（2）由折叠知：，
∴．
设，则．
∵在中，,
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴．
设，
∴，
∴，
∴，
解得：或20，
∴或；
（4）分类讨论：①当，时，如图，过点P作轴于点G．
∴，，
∴．
即在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当，时，如图，过点P作轴于点H．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴；
③当，时，如图，过点P作轴于点M，轴于点N．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∴可设，
∴，，
∴，
解得：．
∴；
综上可知，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
2．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得．
【感知】
(1)①如图2，在中，若，则 ．
②如图2，在中，若，求证：；
【探究】
(2)若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】
(3)如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度
【答案】(1)①；②见解析
(2)，理由见解析；
(3)或
【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解；
②根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论；
（2）结论，根据（1）②的方法证明即可；
（3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②证明：∵折叠，
∴
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下，
如图，将沿折叠，
∵，
∴点落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴
∴，
∴，
即；
（3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不能为直角顶点，分两种情况讨论，
①若，如图，过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
②若，如图，
∵，
∴
∴，，
∴
∴
∴，
综上所述，或
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A的坐标是 _________，点B的坐标是 __________，的长为 _________；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
(4)点P的坐标为或或
【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理即可求解；
（3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．
【详解】（1）令得：，
∴，
∴
令得：，解得：，
∴，
∴，
在Rt△OAB中，．
故答案为：；
（2）由折叠的性质可知，
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，
，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
（4）存在，理由如下：
①若，如图，过点P作交A于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴此时点P的坐标为；
②若，如图，过点P作交点H，
同理可得，此时点P的坐标为；
③若，如图，过点P作交OA于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∴，解得：，
∴此时点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；
（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；
（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．
【详解】（1）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：，，
，，
，
．
沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）解：如图，过C作于M，
，，
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
．
过点作，，过点作，，连接，，，与交于，
则四边形是正方形，
，，均为等腰直角三角形．
作轴于N，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
是的中点，也是的中点，
，，
的横坐标为，纵坐标为，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，
，
综上，点P的坐标为：，，．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．
5．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．
如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．
(1)如图2，当沿折叠，点落在边的点处，且时，发现四边形是菱形，请证明；
(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点落在点处，延长交于点，，点在边上运动，沿折叠使点落在线段的中点处，求线段的长；
(3)沿折叠，点的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图探究，并直接写出的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据折叠的性质得出，，，进而证明，即可得证；
（2）勾股定理求得，根据平行线分线段成比例得出，设，则，由折叠可知：，，根据题意得出，证明，根据相似三角形的性质求得，代入即可求解；
（3）分情况讨论，①当时，②当时，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：（1）由折叠可知：，，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）在中，
∴
∵，
∴
设，则
由折叠可知：，
又∵为中点
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴
∴线段DF的长为．
（3）①当时，如图
设，
则
在中，

∴，即
②当时，如图．
设，则
在中，
∴
∴
综上，BD的长为或．
【点睛】本题考查了菱形的判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
6．定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形，②直角三角形，下列说法一定正确的是________．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为________；
(3)如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的长．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；
（2）根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；
（3）根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，据此求解即可求得结论．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：，
根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故选：A；
（2）解：设，
，，，
，，
，
；
故答案为：；
（3）解：为“方倍三角形”，
，
，
，即为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，即为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质以及“方倍三角形”的定义．
7．如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处，交于点E，连结．
(1)求的长．
(2)若，求证：．
(3)当是直角三角形时，求所有符合条件的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】(1)根据等角对等边及折叠的性质，即可求得；
(2)根据折叠的性质，平行线的性质及等角对等边，即可证得，，据此即可证得结论；
(3)分两种情况：当，设，根据勾股定理列方程即可求得；当，过点C作于点H，根据直角三角形的性质，平行线的性质及三角形外角性质，可证得，即可得，据此即可求得．
【详解】（1）解：，
．
由折叠知，；
（2）证明：，
，．
，
，，
，，
，即；
（3）解：设．
①当，如图1．
此时，．
，
．
由，得： ，
解得，即；
②当，如图2，作于点H．
由①知，．
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，当是直角三角形时，或．
【点睛】本题考查了等角对等边，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角的性质，平行线的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
8．在中于点．
(1)如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
(2)如图2，点、分别在线段、上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并简要说明理由；
(3)在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度，记旋转中的为（如图3）．在旋转过程中，直线与直线交于点，与直线交于点．若，是否存在这样的、两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)存在，旋转角的度数为或，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；
（2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解： 如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴的度数为．
（2）结论：．
理由：如图，
由翻折可知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①当时，
∴，
∵将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵将折叠，点落在点处，折痕为，将绕点逆时针旋转一个角度，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，旋转角的度数为或．
【点睛】本题考查三角形综合题，旋转变换，翻折变换，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
9．如图，在中，，点P是射线上的任意一点（不与点C重合），，连接，将沿AP向右翻折，得到，连接．
(1)当，时，的度数为 ，的度数为 ；
(2)在图1中，点P在BC边上，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在边的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立吗？请直接作出判断，不必说明理由．
【答案】(1)或，
(2)，理由见解析
(3)仍然成立
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，分点P在BC边上和点P在边的延长线上两种情况，利用折叠的性质和角的和差关系即可求解；
（2）设,,利用三角形内角和定理可得，利用折叠的性质可得，，进而得出，可得；
（3）采用（2）中的方法，可证仍然成立．
（1）
解：∵在中，，，
∴，
∴，
当点P在BC边上时，，
根据折叠的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，当点P在边的延长线上时，
，
根据折叠的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
综上，的度数为或，的度数为；
（2）
解：，理由如下：
如图，设,,
则,
∴，
由折叠的性质可，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：点P在边的延长线上时，（2）中的结论仍然成立．
如图，设,,
则,
∴，
由折叠的性质可，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角的和差关系等知识点，掌握折叠前后“对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
10．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．
(1)AB和的数量关系是 ，AP与的位置关系是 ；
(2)如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；
(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．
【答案】(1)，
(2)2
(3)详见解析
【分析】（1）由轴对称的性质即可得到，；
（2）延长AP交于E，由△APB沿AP折叠得，有，根据四边形 是平行四边形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；
（3）连接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，从而，而，即可证得．
（1）
解：∵△APB沿AP折叠得，
∴直线AP是的对称轴，
∴，
故答案为：AB＝AB'，AP⊥BB'；
（2）
延长AP交于E，作CP中点T，PD中点K，连接KT，则KT是△PCD的中位线，如图：
∵△APB沿AP折叠得，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵KT是△PCD的中位线，
∴，KT＝CD，
∴BE＝KT，，
∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，
∴△BEP≌△TKP（ASA），
∴BP＝PT，
∴BP＝PT＝CT＝BC，
而BC＝6，
∴BP＝BC＝2；
（3）
连接交BC于G，如图：
由（2）知：四边形是平行四边形，BP＝2，
∴PC＝BC﹣BP＝4，
∵BD＝CD，
∴四边形是菱形，
∴，BG＝CG＝BC＝3，
∵CD⊥AP，
∴∠DGC＝∠PDC＝90°，
由勾股定理可得，，
∴，即 ，
解得DG＝（负值舍去），
∴CD＝2，DP＝2，
由（2）知：，
∴BE＝，
在Rt△BPE中，PE＝＝1，
∴DE＝DP+PE＝3，
Rt△ABE中，，
∴，
Rt△ADC中，，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查对称变换，涉及平行四边形、菱形的性质与判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，表达出．
11．已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的值为或或或
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；
（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵沿翻折至，
∴，
∴．
（2）解：如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：如图，当时，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，
同理可得：．
如图，当，点在的上方时，
过点作，交于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵沿翻折至，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
如图，当，点在的下方时，
同理可得：．
综上可得：的值为或或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．
12．在中，，点D是BC边上一点，将沿AD折叠后得到，射线AE交射线CB于点F．
(1)当点D在线段BC上时，
①如图1，若，说明；
②如图2，若，请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)或
【分析】（1）①根据平行线的性质和折叠的性质即可证得；②利用互余的性质和折叠的性质可证；
（2）分两种情况：（ⅰ）若点在线段上；若点在延长线上，利用翻折变换的性质进行求解即可．
（1）
①∵，
∴．
∵，
∴．
由折叠可得，
∴，
∴，即．
②．
理由：∵，
∴，
即，
由折叠可得，
∴．
∵，，
∴．
由折叠可得，
∴，化简得，，
即．
（2）
解：∵，
∴．
∵，
∴，．
（ⅰ）若点在线段上，
由折叠可得，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
由折叠可得．
（ⅱ）若点在延长线上，
由折叠可得，
∴．
∵，
∴．
∴，
由折叠可得．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
由折叠得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
14．如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．
(1)如图1，当∠BEA＝35°时，∠FAD的度数为 ．（直接填空）
(2)如图2，连BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；
(3)如图3，当AFBD时，设∠CBD＝，请你求出∠BAE的度数．（用表示）
【答案】(1)20°
(2)57.5°
(3)
【分析】（1）先求出∠BAE的度数，然后根据翻折得出∠FAE的度数，再根据平行线的性质求出∠DAE的度数，即可得出结论；
（2）先根据AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度数，由平行线的性质得出∠BEF的度数，根据翻折变换的性质得出∠BEA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（2）的证明过程即可．
【详解】（1）解：由题意知ADBC，∠B=90°，
又∠BEA＝35°，
∴∠BAE=55°，
∵翻折，
∴∠FAE=∠BAE=55°，
∵ADBC，
∴∠EAD=∠BEA=35°．
∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°
故答案为：20°；
（2）解∶如图2，
∵ADBC，∠CBD=25°，
∴∠ADB=25°．
∵AFBD，
∴∠FAD=25°，
∴∠AGF=90°-25°=65°．
∵ADBC，
∴∠BEF=∠AGF=65°．
∵△AEF由△AEB反折而成，
∴∠BEA=∠BEF=32.5°，
∴∠BAE=90°-32.5°=57.5°；
（3）解∶如图3，
∵ADBC，∠CBD=，
∴∠ADB=．
∵AFBD，
∴∠FAD=，
∴∠AGF=．
∵ADBC，
∴∠BEF=∠AGF=．
∵△AEF由△AEB反折而成，
∴∠BEA=∠BEF=，
∴∠BAE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
15．【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED．
(1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；
(2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积；
(3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长；
(4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或2；图形见解析；
(4)或或
【分析】（1）由平行四边形的定义可得AD∥BC， AD=BC，由折叠的性质可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用对顶角相等求得∠OCA和∠OED即可证明；
（2）设OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折叠的性质可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，进而求得OA即可解答；
（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可；
（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三种情况，根据30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可；
【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠OAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACE，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），
∵BC=CE，BC=AD，
∴AD=CE，
∴AD-OA= CE-OC，
∴OE=OD，
∴∠OED=（180°-∠EOD），
∵∠AOC=∠EOD，
∴∠OCA=∠OED，
∴AC∥DE；
（2）解：设OD=x，
由（1）解答可得OD=OE=x，
∵CE=CB=2，
∴OC=2-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，
Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，
∴（2-x）2=x2+2，
∴x=，
∴OA=AD-OD=，
∴△OAC面积=OA•CD=；
（3）解：①如图，∠ACB=45°时，∠B=45°，AB=AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BCD=135°，
∴∠ACD=90°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，
∴∠AED=90°，∠CDE=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∵AB=AC=AE，
∴四边形ACDE是正方形，
∵CE=CB=2，
∴AC2+AE2=CE2，
∴AC=；
②如图，∠ACB=90°时，∠B=∠BAC=45°， CA=CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BAD=135°，
∴∠CAD=90°，
∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∵BC=CE=CA，
∴四边形ACDE是正方形，
∴AC=2；
∴AC=或2；
（4）解：①如图，∠ACB=60°时，
∠B=30°，则∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∵AC∥DE，∴∠AED=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，
∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，
BC=；
②如图，∠ACB=90°时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，则∠BAD=150°，
∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，
∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABC中，AB=3，AC=，
∴BC==，
③如图，∠ACB=30°时，作AH⊥BC于点H，
由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，
由折叠的性质可得∠EAC=∠BAC=120°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABH中，AB=3，AH=，
∴BH=，
∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，则BH=HC=BC，
∴BC=2BH=，
综上所述BC的长为：或或.
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键．
16．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；
（3）连接，设， 则，，在中，，延长交于点，在中，，进而根据，即可求解．
【详解】（1），
是等边三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
为边上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，为底边上的高，则
点在边上，
当时，取得最小值，最小值为；
（3）如图，连接，
，则，
设， 则，，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延长交于点，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
17．在中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形．
(1)利用图1，求证：；
(2)如图2，连接BD，若，，，当点落在BD上时，求EF的长；
(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证：直线与直线CD重合．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】(1)利用折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定定理，也可以运用折叠的性质，构造三角形中位线定理证明．
（2）设EF与BD相交于点O．运用勾股定理，三角函数，中位线定理求解即可．
(3)运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，证明即可．
(1)
解：（1）证法一：由折叠的性质可知：，．
∴．
∵E是BC的中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
证法二：设EF与相交于点G．
由折叠的性质可知：G是的中点．
又∵E是BC的中点，
∴GE是的中位线．
∴．
即．
(2)
设EF与BD相交于点O．由折叠的性质可知：O是的中点，．
由（1）得．
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴若，∠BDC＝∠ABD＝45°．
∴，．
∴．
在中，由勾股定理得．
∵E是BC的中点，O是的中点，
∴，．
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴，即．
．
(3)
证法一：连接交直线EF于点M．由折叠知：．连接BM并延长交直线CD于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，
∴．
∴，．
∴．
∴BM＝HM．
又∵E是BC的中点，
∴EM是△BCH的中位线．
∴，即．由（1）得．
∵过点C有且只有一条直线与EF平行，
∴点在直线CD上．
∴直线与直线CD重合．
证法二：连接并延长交直线AB于点K，连接AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，点在CD上，
∴．
∴，．
∵BE＝CE，
∴．
∴．
由折叠知：，．
∴．
∴
∵过点有且只有一条直线与AB平行，
∴直线与直线重合．即直线与直线CD重合．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，是三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握平行四边形的性质，折叠性质，三角函数，勾股定理是解题的关键．
18．模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且．
（1）与相似吗？请说明理由；
模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且．
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值；
（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）与的周长之比为
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；
（2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；
②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解（1），
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（2）①设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
；
②设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
与的周长之比为.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.
19．综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．
问题解决
（1）的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值．
【答案】（1）；（2）四边形BGEF是菱形，理由见解析；（3）．
【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在中利用三角形内角和即可求出答案；
（2）由正方形的性质，折叠的性质得出BG=EF，且BG∥EF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形BGEF是平行四边形，又，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案；
（3）做辅助线由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明，全等三角形对应边相等，故，由等角对等边得出BF的长，最后根据勾股定理求出，即可求出答案．
【详解】解：（1）解：四边形ABCD是正方形，
，
，
由折叠的性质得，
在中，
．
（2）结论：四边形BGEF是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
由折叠可知，
．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴BG=EF，且BG∥EF，
∴四边形BGEF是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形BGEF是菱形．
（3）如图，过点N作于点K，交AF于点I，
则．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴四边形ADNK为矩形．
∴．
由折叠，可知．
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，
得．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质和判定和勾股定理等知识，牢固掌握以上知识点和学会做辅助线是做出本题的关键．
20．已知中，，，．点D由A出发沿向点C匀速运动，同时点E由B出发沿向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在上，，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接，设．解答下列问题：
(1)如图1，当x为何值时，为直角三角形；
(2)如图2，把沿翻折，使点D落在点．
①当x为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积；
②如图3，连接，设为y，请求出y关于x的函数关系式；
③如图4，分别取，的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段扫过的区域的形状，并求其面积（直接写出答案）．
【答案】(1)或
(2)①，菱形面积是；②；③平行四边形，
【分析】（1）解求出，，用含x的代数式表示出，分和两种情况，解即可；
（2）①连接，交于G，结合折叠的性质可知，当时，四边形为菱形，由菱形的性质可知，，由此解直角三角形即可；
②作于G，通过解直角三角形用含x的代数式表示出，，再利用勾股定理解即可；
③由三角形中位线的性质可得，，进而可得扫过的区域为平行四边形，求出点M到的距离，利用平行四边形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，，
当，如图，
∵，
∴，
∴，
∴；
当，如图，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴当或，为直角三角形；
（2）解：①如图，连接，交于G，
由折叠的性质可知，，
∴当时，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积；
②如图，作于G，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
③∵M、N分别为，的中点，
∴，，
∴线段扫过的区域的形状是平行四边形，
当D运动到C，则F正好运动到A，如图所示，作于H，
此时，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，，
∴线段扫过的区域的形状是平行四边形的面积．
【点睛】本题属于三角形上的动点问题，考查解直角三角形，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等知识点，综合性较强，难度较大，综合运用上述知识，正确作出辅助线是解题的关键．