中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题46以几何为背景的直角三角形的存在性问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题46以几何为背景的直角三角形的存在性问题(原卷版+解析)，共63页。
一、解答题
1．正方形中，点E是的中点，交对角线于点F．
(1)如图1，点G为的中点，连结，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M为的中点，连结交于点H．
①若，求的长；
②连结，求证：是等腰直角三角形．
2．已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接，．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
(1)观察发现：图1中，的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点转动任意角度（转动角度在到之间），再连接，取的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
3．（1）如图1，平分，若，求的长；
（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长．
4．如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)则当t为何值时，是直角三角形？
5．等腰，，，为的中点，小慧拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在，三角板绕点旋转．
(1)如图，当三角板的两边分别交、于点、时，求证：；
(2)操作：将三角板绕点旋转到图情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，
①探究：与还相似吗？（只需写出结论）
②探究：连接，与是否相似？请说明理由；
③设，的面积为，试用的代数式表示（直接写出答案即可）
6．如图，在边长为的正方形中，过中点作正，过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点，且是等边三角形．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)当点在线段上时
①求证：
②试判断的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
(3)设，点关于的对称点为，若点落在的内部，请直接写出的范围．
7．已知为等边三角形，点、分别是、上一点．
(1)如图1，，连接、，交于点，在的延长线上取点，使得，连接，若，求的面积；
(2)如图2，、相交于点，点为延长线上一点，连接、、，已知，，，探究、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，已知，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连，当取最小值时请直接写出的长．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，．
(1)如图1，求点A、B、C的坐标；
(2)如图2，若点D在第一象限且满足，，线段交y轴于点G，求线段的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究、、之间的数量关系．
9．点P为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图1，点P在外部，若，，则的长为______；
(2)P点在内部，连接．
①如图2，若，求证；
②如图3，D为边中点，连接，求证：．
10．如图，为等腰三角形，．点、点分别在射线、射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，使得点恰好在射线上，旋转角为．
(1)当点、点重合时，如图1，若，，，求线段的长度；
(2)当点、点重合时，如图2，与交于点，若，求证：；
(3)当，时，如图3，点是射线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接．将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与射线交于点．在点运动过程中，当最小时，请直接写出的值．
11．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中．
(1)将图1中的绕点C顺时针旋转45°得图2，点P是与的交点，点Q是与的交点，求证：；
(2)在图2中，若，则等于多少？
(3)将图1中的绕点C顺时针旋转得到如图3，点P是与的交点，在上取一点F，连接，设，当时，求面积的最大值．
13．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
14．如图1，点E是四边形的边上一点，分别连接，，把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“强相似点”．
(1)任务一：如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的“相似点”，并说明理由；
(2)任务二：如图2，矩形的四个顶点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形的边上的“强相似点”；
(3)任务三：如图3，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在边上的点F处，若点F是四边形的边上“强相似点”，求．
15．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点．
(1)求证：．
(2)连接，猜想与之间的关系，并说明理由．
(3)若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系．
16．已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
17．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，，求点的坐标；
(3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
18．在中，，是边上一点，是边上一点，连接交于点，连接，且．
(1)如图1，若，，，求到的距离；
(2)如图2，若为中点，连接平分，为上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得，点为的中点，连接，求周长的最小值．
19．[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
20．如图直角坐标系中直线与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知，，P，Q分别是线段上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
(1)求线段的长，及点A的坐标；
(2)t为何值时，的面积为；
(3)若C为的中点，连接，以为邻边作平行四边形，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，若存在，直接写出t的值．
专题46 以几何为背景的直角三角形的存在性问题
【题型演练】
一、解答题
1．正方形中，点E是的中点，交对角线于点F．
(1)如图1，点G为的中点，连结，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M为的中点，连结交于点H．
①若，求的长；
②连结，求证：是等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）延长交于点M．证明，推出，利用直角三角形斜边中线的性质即可得到结论；
（2）①延长交于点N．证明，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
②延长交于点N，连接，由，推出．证明，据此即可证明结论．
【详解】（1）证明：延长交于点M．
∵四边形正方形，
∴．
∵，
∴．
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴；
（2）①解：∵，
∴．
延长交于点N．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
②证明：延长交于点N，连接，
由①得，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，知识点较多，难度较大，解题时要充分利用已知条件进行推理，得到全等和相似三角形，从而推出角的关系以及边的关系．
2．已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接，．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
(1)观察发现：图1中，的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点转动任意角度（转动角度在到之间），再连接，取的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【答案】(1)，相互垂直
(2)仍然成立，证明见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，，得到，．
（2）延长交于点，先证明，得到，，根据，，得到，又因为，所以且．
（3）延长至点，使，连接，，，可证明，得到，，继而求得，得到，，所以，可得且．
【详解】（1）解：，，，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
即：，
．
故答案为：，相互垂直；
（2）解：仍然成立．
证明：如图2，延长交于点，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
又，
且．
（3）解：仍然成立．证明：如图3，延长至点，使，连接、、，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
又，
，
在和中，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
且．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
3．（1）如图1，平分，若，求的长；
（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）5或15
【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质证明即可；
（2）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明，即可解决问题；
（3）连接，在上取点G，使得，连接，通过证明，得，则，求出的长度即可．当点M在射线上时，同理可得．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：结论：，理由如下：
过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如图，连接，在取点G，使得，连接，
∵是等边三角形，点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
过点P作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，当点M在射线上时，
同理可得．
故答案为：5或15．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
4．如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)，见解析；
(2)能，当时，是等边三角形．
(3)或，是直角三角形．
【分析】（1）先求出的长，可得点P是的中点，由等边三角形的性质可求解；
（2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解；
（3）在中，当和时，利用角所对的直角边等于斜边的一半建立方程求解即可．
【详解】（1）解：点Q到达点C时，与垂直，理由如下：
，
∴当点Q到达点C时，，
∴，
∴点P为的中点，
是等边三角形，
∴；
（2）假设点P与点Q的运动过程中，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，是等边三角形．
（3）假设点P与点Q的运动过程中，是直角三角形，
∵，，
∴，
①如图1，在中，当时，
，
解得：，
②如图2，在中，当时，
，
解得：，
故或
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含度角的性质是关键．
5．等腰，，，为的中点，小慧拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在，三角板绕点旋转．
(1)如图，当三角板的两边分别交、于点、时，求证：；
(2)操作：将三角板绕点旋转到图情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，
①探究：与还相似吗？（只需写出结论）
②探究：连接，与是否相似？请说明理由；
③设，的面积为，试用的代数式表示（直接写出答案即可）
【答案】(1)见解析
(2)①，②相似，见解析，③
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用三角形内角和及平角得到，，得出，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①同（1），根据等腰三角形的性质得到，利用三角形内角和及平角证得，从而得到结论；
②根据得到，由为中点得到，再利用相似三角形的判定定理即可得到结论．
③求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出关系式代入即可．
【详解】（1）证明：在中，，，
．
，
，
又，且，
，
，
（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）①结论：．
理由：在中，，，
．
，
，
又，且，
，
，
，
②结论：与相似．
理由：，
，
而，
；
又∵，
（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
③由②得，
．
分别过点作，，垂足分别为、，则．连，
在中，由，，可得．
∴，则，
设，的面积为，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．
6．如图，在边长为的正方形中，过中点作正，过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点，且是等边三角形．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)当点在线段上时
①求证：
②试判断的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
(3)设，点关于的对称点为，若点落在的内部，请直接写出的范围．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①见解析；②不变，；
(3)当时，点落在的内部
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）①证明，即可得出结论；
②，理由如下，如图所示，过点作于点，得出四边形是矩形，则，在中，，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，则，根据，即可求解；
（3）分当落在上时，当落在上时，根据轴对称的性质以及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）①如图，连接，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作于点，
∵四边形是正方形，且边长为,
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵是的中点，则,
在中，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
又，
；
即，
（3）当落在上时，如图所示，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
当落在上时，如图所示，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
即，
综上所述，当时，点落在的内部．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
7．已知为等边三角形，点、分别是、上一点．
(1)如图1，，连接、，交于点，在的延长线上取点，使得，连接，若，求的面积；
(2)如图2，、相交于点，点为延长线上一点，连接、、，已知，，，探究、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，已知，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连，当取最小值时请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)3．
【分析】（1）先证明得，再证是等边三角形，过点作于点，解直角三角形求得，即可求解；
（2）作交于，作交于，依次推出，，和，进一步得出结论；
（3）连接，证明，得到，根据直角三角形
的性质，垂线段最短解答．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
如下图，过点作于点，则
，
∴，
∴；

（2）解：，理由如下：如图4，
作交于，作交于，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴即∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如下图，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，是等边三角形，
∴，，，
在和中，
，
∴
∴，
当时，最小，最小值为，
故答案为∶3．
【点睛】本题考查等边三角形性质，直角三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，．
(1)如图1，求点A、B、C的坐标；
(2)如图2，若点D在第一象限且满足，，线段交y轴于点G，求线段的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究、、之间的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，理由见详解
【分析】（1）根据，，在中，有：，进而有，问题随之得解；
（2）求出，即，可得，接着求出，证明，即有，可得，得出，进而有，可得，即有，问题随之得解；
（3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于M点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，问题随之得解．
【详解】（1）∵，，
∴在中，有：，
∴，
∵，
∴，
∴，，；
（2）∵，，
∴在中，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
（3），理由如下：
由（2）可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．点P为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图1，点P在外部，若，，则的长为______；
(2)P点在内部，连接．
①如图2，若，求证；
②如图3，D为边中点，连接，求证：．
【答案】(1)10
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）绕点A将逆时针旋转得到，证明，是等边三角形即可．
（2）①绕点A将逆时针旋转得到，证明是等边三角形，是含有角的直角三角形即可．②绕点A将逆时针旋转得到，证明是等边三角形，延长到点F，使，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）如图， 绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵等边三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：10．
（2）①如图， 绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵等边三角形，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
②绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵等边三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，．
延长到点F，使，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形全等的判定性质是解题的关键．
10．如图，为等腰三角形，．点、点分别在射线、射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，使得点恰好在射线上，旋转角为．
(1)当点、点重合时，如图1，若，，，求线段的长度；
(2)当点、点重合时，如图2，与交于点，若，求证：；
(3)当，时，如图3，点是射线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接．将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与射线交于点．在点运动过程中，当最小时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作，交于，根据旋转的性质，推出是等边三角形，进而得到是含的直角三角形，是等腰三角形，进行求解即可；
（2）在上截取，连接，，推出四边形是平行四边形，进而得到，进一步得出，从而得到，进而得证；
（3）作于，作，且，连接，证明，从而得到，得到点在与垂直的直线上运动，作，最短，即点在处，进行求解即可．
【详解】（1）解：作，交于，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转至，
∴，，
∴
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作于，作，且，连接，
∵线段绕点顺时针旋转至线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在与垂直的直线上运动，
作，最短，此时点在处，
将沿翻折至，交射线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴，
即：当最小时，．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．本题的综合性较强，对思维能力要求较高，熟练掌握相关知识点，添加合适的辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
11．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据等边对等角先求出，再由，得到，则，即；
（2）由折叠的性质可知，利用三角形外角的性质证明，则，即可推出，由此可证明；
（3）如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，可以得到，则根据（2）的结论求出，则，再根据含30度角的直角三角形的性质推出，再导角证明，即可证明，得到．
【详解】（1）证明：如图1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：由折叠的性质可知，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中．
(1)将图1中的绕点C顺时针旋转45°得图2，点P是与的交点，点Q是与的交点，求证：；
(2)在图2中，若，则等于多少？
(3)将图1中的绕点C顺时针旋转得到如图3，点P是与的交点，在上取一点F，连接，设，当时，求面积的最大值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先判断，利用即可证明，从而得出结论．
（2）作于H，在中，求出，在中求出，继而可得出的长度．
（3）证明，则有，设，则，得出关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴（），
∴；
（2）如图，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
设，则，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2，
∴
，
故当时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键在于熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值．
13．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】(1)先计算，得到．
(2)根据，利用三线合一，证明直线是线段的垂直平分线即可．
(3)分点E在上和的延长线上 ，两种情况证明．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴°，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点E在线段的延长线上，结论：．
理由如下：过点D作，交于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
14．如图1，点E是四边形的边上一点，分别连接，，把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“强相似点”．
(1)任务一：如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的“相似点”，并说明理由；
(2)任务二：如图2，矩形的四个顶点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形的边上的“强相似点”；
(3)任务三：如图3，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在边上的点F处，若点F是四边形的边上“强相似点”，求．
【答案】(1)是，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似求解；
（2）取，连接，，根据勾股定理求得各线段的长度，再利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用相似三角形的判定求解即可；
（3）根据矩形和折叠的性质可得，，，由点是四边形的边上的“强相似点”，可得，由全等的性质可得，由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求得，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：点E是四边形的边上的“相似点”，
理由：∵，
∴，
即：，
∴，
∴．
∴点E是四边形的边上的“相似点”
（2）如图：取，连接，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴是直角三角形且，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴点是矩形的边上的“强相似点”．
∴点即为所求．
（3）∵矩形中，，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，
∴，
，，
∵点是四边形的边上的“强相似点”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查作图和折叠，考查了三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理及逆定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半等知识点．理解和掌握矩形的性质，折叠的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点．
(1)求证：．
(2)连接，猜想与之间的关系，并说明理由．
(3)若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；
（3）仿照（2）的计算过程解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
．
【点睛】本题主要考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，再根据全等三角形的判定定理，即可证出结论；
（2）首先根据全等三角形的性质及直角三角形的性质，即可得，，再由，即可解答；
（3）延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，即可证得四边形为平行四边形，，再根据角的和差，即可证得，即可证得，，，据此即可证得结论
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
在与中，
；
（2）解：结论：，；
理由如下：
，
，，
在，F是的中点，
，
，，
，，
，
；
（3）解：不变；理由如下：
如图：延长到点，使，交的延长线于点N，连接、，
又，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
17．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，，求点的坐标；
(3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的长度不会发生改变，长度始终是，理由见解析
【分析】（1）根据，，得到，即可证明；
（2）过点作轴于点，证明，得到，，进而得到．点在第三象限，即可得到；
（3）过点作，交轴于点，先证明，得到，．根据点，，求出，进入得到，再证明，得到，即可求出，从而得到的长度始终是，问题得解．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∴；
（2）解：如图，过点作轴于点，
则，
在和中，
∴，
，，
．
∵点在第三象限，
∴；
（3）答：的长度不会发生改变．
理由：如图，过点作，交轴于点，
则，
∵和都是等腰直角三角形，
，
，
．
又，
，
在和中，
∴，
，．
，
．
∵点，，
，，
，
．
，
．
在和中，
∴，
．
又，
，
即的长度始终是．
【点睛】本题为等腰直角三角形与平面直角坐标系结合综合题，综合性强，难度较大，考查了平面直角坐标系，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键．
18．在中，，是边上一点，是边上一点，连接交于点，连接，且．
(1)如图1，若，，，求到的距离；
(2)如图2，若为中点，连接平分，为上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得，点为的中点，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图所示，过点作交延长线于，，先证明，即可证明得到，由勾股定理得，再由，得到，则点到的距离为；
（2）如图所示，延长到使得，，连接，先证明得到，，则，证明，得到，则；
（3）如图所示，连接，延长交于，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点在直线BE上，则要使的周长最小，则要最小，即最小，即当、、三点共线时有最小值，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作交延长线于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴点到的距离为；
（2）解：如图所示，延长到使得，，连接，
∵平分，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，


∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，延长交于，作直线，
由翻折的性质可知，，，，
∴，
又∵AB=AC，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，即，
∴，
∵H是的中点，
∴直线关于点的对称点在直线上，
∴，
∴要使C的周长最小，则要最小，即最小，
∴当、、三点共线时有最小值，
如图所示，连接交于，交于，连接，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∵平行线之间的间距相等，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，,
在中，，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了轴对称求线段和的最值问题，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】【小问1】证明见解析
【小问2】；
【分析】[问题情境]连接，取的中点，连接、，如图所示，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可得证；
[问题解决]（1）由[问题情境]中结论知四点共圆，如图所示，根据圆周角定理及正方形性质得到，利用勾股定理得到，从而由等腰直角三角形边的关系得到；（2）根据矩形性质得到，求的最小值就是求最小值，结合[问题情境]中结论知四点共圆，从而利用“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，即可得到答案．
【详解】[问题情境]
证明：连接，取的中点，连接、，如图所示：
，
，
四点共圆；
[问题解决]
（1）解：由[问题情境]中结论可知四点共圆，如图所示：
，
在正方形中，当点恰好落在正方形对角线上时，
，
在正方形中，，点是边的中点，，
，
，
在，，，，则，
故答案为：；
（2）由题意可知，四边形为矩形，则；由[问题情境]中结论知四点共圆，圆心为中点，如图所示：
的最小值就是求最小值，根据“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，则
的最小值就是最小值，
过作，则四边形为矩形，如图所示：
，
圆心为中点，
由平行线分线段成比例定理得到为中点，即为中位线，
，，
在中，，，则，
的最小值就是最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆综合，涉及四点共圆、正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、“圆外点到圆周上动点距离最值模型”、平行的判定与性质、中位线判定与性质等知识，熟练运用相关几何性质及判定求证是解决问题的关键．
20．如图直角坐标系中直线与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知，，P，Q分别是线段上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
(1)求线段的长，及点A的坐标；
(2)t为何值时，的面积为；
(3)若C为的中点，连接，以为邻边作平行四边形，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，若存在，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)1或
(3)①或；②
【分析】（1）由角的性质求出的长，由勾股定理求出的长，进而可求出点A的坐标；
（2）由运动知，，过点Q作于H，由勾股定理求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）①当点D在y轴上时，，利用平行线分线段成比例定理求解即可；当点D在x轴上时，，利用求解即可；
②如图，连接，过点Q作于H，过点D作于F，由平行四边形的性质知，由x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，可得，可证，然后证明延长相交于M，延长交于N，然后证明，可得，利用即可求出t的值．
【详解】（1）∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）如图1，
由运动知，，
∴，
过点Q作于H，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴或．
（3）①当点D在y轴上时，，
∴，
∵C是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点D在x轴上时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，或；
②如图，连接，过点Q作于H，过点D作于F，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，
∴，
∴点E是的中点，
易知，，
延长相交于M，延长交于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，锐角三角函数的概念，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想，本题用到的知识点较多，难度较大．