中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题45以函数为背景的直角三角形的存在性问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题45以函数为背景的直角三角形的存在性问题(原卷版+解析)，共58页。
一、解答题
1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点．
(1)求此二次函数解析式和点C的坐标；
(2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段上任意一点（不含端点），若是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)求b、c的值．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（在B的左侧），与y轴交于点C，已知点，此抛物线对称轴为
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（不包括的边界），求t的取值范围；
(3)如图2，设点P是抛物线上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
(1)求点，，的坐标；
(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中点，为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）；
(2)求的面积（用含m的代数式表示）；
(3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，直接写出抛物线的表达式，若不存在，请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图①连接，为等腰直角三角形，，求的最小值；
(3)如图②，连接，若，求点P的坐标．
18．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．
(1)求的值；
(2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式；
(3)当是直角三角形时，求点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
(3)试探究：在抛物线上是否存在点，使以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线经过点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，线段于点D，求点P的坐标；
(3)点E是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的横坐标．
专题45 以函数为背景的直角三角形的存在性问题
【题型演练】
一、解答题
1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为或或或
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：B是直角顶点，C是直角顶点，P是直角顶点，分别求解即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
如图，连接．
∵，
∴，∴，
∴当时，，可得．
当时，同理可得．
当时，设点的坐标为，
则，，．
∵，
∴，
解得，
∴点的坐标为或．
综上可得点的坐标为或或或．
【点睛】考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与y轴交于C点．
(1)求此二次函数解析式和点C的坐标；
(2)动点P在二次函数图象上，且位于第一象限，过点P作垂直x轴于点H，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，．
【分析】（1）根据二次函数的图象与轴交于，两点，写出二次函数的解析式，即可；
（2）过点P作于，根据等腰直角三角形的性质可得，设，可得，可得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴二次函数解析式为：，
令，则，
∴．
（2）解：存在，
如图，过点P作于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，即，
解得：，
∵位于第一象限，则舍去，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，掌握“利用待定系数法求解二次函数的解析式”是解本题的关键．
3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，P点坐标为或．
【分析】（1）根据对称轴为直线，点B的坐标为，得到关于b，c的方程组，解方程组，即可得到抛物线的解析式，令，得到，解方程即可得到点A的坐标，把抛物线的解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再求出，设的中点为E，则，设，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，点B的坐标为．
∴
解得，
∴，
令，，
∴，
∴，
∵D是抛物线的顶点，，
∴，
（2）存在，理由如下：
当时，，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
设的中点为E，则，设，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴或，
∴使是以为斜边的直角三角形时，P点坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
4．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据已知条件求出点两点的坐标， 再利用待定系数法求出平抛物线的解析式；
（2）根据题意列出的关系式，再根据关系式得出得到线段的最大值；
（3）根据直角三角形的性质分两种情况讨论，再根据直角三角形的性质即可求得的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与坐标轴的两个交点，，
∴，，
∵抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，
∴根据题意可得方程：
∴，
∴二次函数的解析式为：．
（2）解：∵点经过抛物线
∴设点，
∵是线段上的动点，
∴，
∴
∴的最大值为．
（3）解：①当时，如图所示
∵时，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
②当时，则，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：
∵，
∴，
综上所述点的坐标为：或
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
5．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)①；②存在点或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，则，， 进而推出，由此求解即可；
（3）①先由，得到， 进而证明，得到，则，证明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，则；②设，则，，，然后分别讨论、、为直角顶点时，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把、代入得
∴，即，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令得，
∴
设直线BC的解析式为，
∴
∴，
∴直线BC的解析式为：
∵P的横坐标为t，轴，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值2，此时；
（3）解：①∵、，
∴，
∵，
∴，
∵轴
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴；
②设，则，，，
（Ⅰ）当时，，
解得：（舍去）或，
∴；
（Ⅱ）当时，，
解得：，
∴
（Ⅲ）当时
解得：（舍去）
综上所述，存在点或使得为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知二次函数的相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析；，的最大值为
(3)或或或
【分析】（1）将、、代入即可求解析式；
（2）由，可得 ，，则求的最大值即可；
（3），点在上，则,,，勾股定理求得，分三种情况讨论，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3）， 点在上，则,
∵,，
∴,，
当为斜边时，，
解得：或，
或；
当为斜边时，，
解得：；
，
当为斜边时， ，
解得：；
，
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
7．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或或或
【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可；
（2）设点，由勾股定理得：；，，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）对于，令，则，即点，
抛物线的对称轴为直线，
设点，
由勾股定理得：；，，
当是斜边时，则，
解得：，
∴，
当是斜边时，则，
解得：；
∴，
如图，当是斜边时，
则，
整理得：，
解得：；
∴，，
即点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，勾股定理的应用，二次函数与直角三角形，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，：或或
【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入可求得直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，然后列出关于t的函数关系式，最后利用配方法求得的最大值即可；
（3）分两种情况讨论：若点为直角顶点，若点F为直角顶点，即可求解．
【详解】（1）解：∵A，C的坐标分别为，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴．
将点A和点B的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，
∴当时，线段取得最大值9，此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使是以为直角边的直角三角形．
如图，过点作直线交抛物线于点．
①若点为直角顶点，
设点的坐标为，由（2）可知，则有，解得，
∴此时点P的坐标为或；
②若点为直角顶点，
设点的坐标为，由（2）可知，则有，
解得：（舍去），
∴此时点P的坐标为；
综上所述，符合条件的点的坐标有：或或，使得是以为直角边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出的长关于t的函数关系式是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段上任意一点（不含端点），若是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为．
【分析】（1）把代入，可求得抛物线的解析式，联立得方程，可求得点B的坐标；
（2）过点P作轴于点D，过点B作轴于点Q．求得、都是等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵A点为直线与抛物线的交点，点A的坐标为，
代入，得．
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵A，B都是抛物线与直线的交点，
令，解得或4．
把代入并解得，．
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于点D，过点B作轴于点Q．
∵，，
∴，．
∴是等腰直角三角形，
∴．
由题意得，，
∴．
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴点D是AC的中点，
令，
解得，．
∴，
∴AC=4，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)求b、c的值．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当t=2时，四边形的面积最小，最小值为4
(3)存在，M点的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，证明，得到，，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点，，
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由点P的运动可知：，
过点P作轴，垂足为H，如图，
∴，即，
又，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，，
∴，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，．
∵是等腰直角三角形，，，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴点M的坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
解得： 或（舍），
∴M点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（在B的左侧），与y轴交于点C，已知点，此抛物线对称轴为
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（不包括的边界），求t的取值范围；
(3)如图2，设点P是抛物线上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式得到①，把点B坐标代入抛物线解析式得到②，联立①②，解方程组即可确定抛物线解析式；
（2）先求直线的解析式，再求出抛物线顶点坐标，求出上与顶点横坐标相同的点的坐标，即可求出平移的范围；
（3）分两种情况进行讨论：①当P在x轴上方时；②当P点在x轴下方时；过点P作于G，轴于H，根据全等三角形的判定定理和性质得出，设点，则可以用m表示，求出m即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线，
∴①，
∵点在抛物线的函数图象上，
∴②，
联立①②解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，当时，，即，
设直线的解析式为，代入可得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
在中，当时，，
∴抛物线顶点坐标为，，
当时，，
∴，
∴若将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在内部（包含边界），则；
（3）解：令直线为直线l，
如图3-1所示，当P在x轴上方时，
过点P作于G，轴于H，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
设点，则，，
∴，
解得：或，
∴或；
②当P点在x轴下方时，如图3-2所示：过点P作于G，轴于H，
同理可证
∴，
设点，则，，
∴，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴或；
综上所述，能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中等腰直角三角形的存在性问题；此题通过作两条互相垂直的辅助线，把等腰直角三角形的问题转化为全等三角形的问题，继而转化为线段相等的问题，是解题的关键．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，点的坐标为，或
【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为，然后将点代入求解即可；
（2）先求出直线的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式得出点的坐标，最后利用勾股定理证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在轴上时，②当点在轴上时，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线顶点式为，
将点代入顶点式得，
解得，
∴；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵直线过点，
∴设直线的解析式为，
∵点是对称轴与轴的交点，
∴，
把点代入，并解得，
∴直线的解析式为，
联立，并解得，，
∴，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）存在，点的坐标为，或．
①当点在轴上时，设，
∴，，，
若为斜边，则有，
解得，
∴，
若为斜边，则有，
解得，
∴；
②当点在轴上时，设，
∴，，，
若为斜边，则有，
解得，
∴，
若为斜边，则有，
解得（与点重合舍去），
综上所述，点的坐标为，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三角形是解题的关键．
13．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
(1)求点，，的坐标；
(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)存在，点的坐标为，，
【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；
（2）如图所示：根据平行四边形的性质得到，设点的坐标为，则，列方程即可得到结论；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①当时，根据勾股定理列方程求得，（不合题意，舍去），②当时，根据勾股定理列方程求得：，，于是得到结论．
【详解】（1），
令，得：，解得：，，
令得，，
∴，，．
（2）当时，四边形是平行四边形，
∵点与点关于轴对称，
∴点，，直线为，
由题可得，，
则，解得，（舍去），
因此当时，四边形是平行四边形．
（3）当时，有，
即
解得：，（舍去），∴有；
当时，有，
即
解得：，，∴有，；
综上所述：点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
14．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中点，为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)15
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）①当为直角时，证明为等腰直角三角形，即可求解；②当为直角时，同理可得，为等腰直角三角形，即可求解；③当为直角时，则点与点重合，即可求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，即点，
过点作轴交于点，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
故直线的表达式为：，
当时，，即点，
则，
则的面积；
（3）存在，理由：
如上图，由点、的坐标知，，则，
①当为直角时，
，则为等腰直角三角形，
则，
则，即点；
②当为直角时，
同理可得，为等腰直角三角形，
则，
即点；
③当为直角时，
则点与点重合，
即点；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
15．抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)或．
【分析】（1）将点和代入解析式，列方程组求解即可得到答案；
（2）根据（1）求出点C坐标，从而求出直线解析式，用t表示点P点坐标，从而得到关于t的函数，求出最值即可得到答案；
（3）①根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；
②设出点坐标，分，两类讨论根据勾股定理逆定理即可得到答案．
【详解】（1）解：将点和代入解析式得，
，解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：由题意可得P点坐标为：，
由（1）得，C点坐标为：，
设的解析式为：，将B、C坐标代入可得，
，解得，
∴，
∵轴，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
，
此时点的坐标为：；
（3）①解：由题意可得，如图，
∵，轴，
∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同，
∴点H的坐标为：，点N的坐标为：，
∵，
∴，
即：，
解得：，（不符合题意舍去）
∴点P的坐标为；
②解：I：当时，如图所示，
∵，
∴点Q、P的纵坐标相同，
∴此时Q点坐标为：，
即，；
II：当时，如图所示，
设，
根据勾股定理可得：，
解得： ，
∴，
综上所述点的坐标为：或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）；
(2)求的面积（用含m的代数式表示）；
(3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，直接写出抛物线的表达式，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，、
(2)
(3)或
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点的坐标；抛物线的解析式中， 令，可求得、的坐标 ．
（2）易求得点坐标， 即可得到的长，以为底，为高，即可求出的面积；
（3） 首先根据、、的坐标，求出、、的值， 由于中，、、都有可能是直角顶点， 所以要分三种情况讨论：①，②，③，在上述三种不同的直角三角形中， 利用勾股定理可求得的值，进而可确定抛物线的解析式 ．
【详解】（1）解：，
抛物线顶点的坐标为；
抛物线与轴交于、两点，
当时，，
，
；
解得，，
、两点的坐标为、．
（2）当时，，
点的坐标为．
；
（3）存在使为直角三角形的抛物线；
过点作于点，
则为直角三角形，，，
．
；
在中，，
在中，；
如果是直角三角形，且，
那么，
即，
解得，
，
．
存在抛物线使得是直角三角形；
②如果是直角三角形，且，
那么，
即，
解得，
，
；
存在抛物线，使得是直角三角形；
③如果是直角三角形，且，
那么，
即，整理得，此方程无解；
以为直角的直角三角形不存在；
综上所述， 存在抛物线和，使得是直角三角形 ．
【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知识；需要注意的是（3）题中，由于直角三角形的直角顶点不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图①连接，为等腰直角三角形，，求的最小值；
(3)如图②，连接，若，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入，即可求出函数的解析式；
（2）连接，过点做于点，连接交于点N，过点作，当点、、三点共线时，有最小值；
（3）当点在线段上方时，以为圆心，长为半径作圆，交上方抛物线的对称轴于点，此时，连接，求出，即可求；当点在线段下方时，以为写斜边在上方作等腰直角三角形，以为圆心，长为半径作圆，交下方抛物线的对称轴于点，此时，过点作，可得轴，轴，则，即可求．
【详解】（1）令，则，
解得：或，
∴，，
∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，过点做于点，连接交于点N，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴当点、、三点共线时，有最小值，
∴当点E与点H重合时，的值最小，
∵，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，，即的最小值为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为；
（3）当点在线段上方时，以为圆心，长为半径作圆，交上方抛物线的对称轴于点，此时，连接，
∴，
∵，
∴，
∴
当点在线段下方时，以为写斜边在上方作等腰直角三角形，以为圆心，长为半径作圆，交下方抛物线的对称轴于点，此时，过点作，
∵，，
∴，
∵，，
∴轴，
同理可得轴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解答，构造辅助圆的方法是解题的关键．
18．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．
(1)求的值；
(2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式；
(3)当是直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）将代入即可；
（2）由题意可得B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，由题意表示出点P的坐标是，点E的坐标是，进而得关于的函数关系式；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴的一个交点是
∴
∴
（2）如图
∵当时，
∴点B的坐标是
设直线的解析式为
∵过点，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵当时，
∴点E的坐标是
∵当时，
∴点P的坐标是
∴；
（3）①当时，直线交轴于，如图，
∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，即：，
∴，
设直线解析式为，代入，，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立：，解得：或，
∵
∴；
②当时，直线交轴于，如图，
同理可得为等腰直角三角形，即：，
∴，
设直线解析式为，代入，，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立：，解得：或，
∵
∴；
③当时，此时点在上方，设点横坐标为，且，
过点作轴，，如图，
∵，，轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，，
∵，
∴，即：，
亦即：，
∴，
解得：，（经检验是方程的解），
则： ，
∴
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
(3)试探究：在抛物线上是否存在点，使以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，符合条件的点的坐标为：或
【分析】（1）设抛物线解析式为，展开得到，然后求出的值即可得到抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图1，则，利用两点之间线段最短即可判断此时的值最小，此时的周长最小，然后求出直线的解析式即可得到点的坐标；
（3）过点作的垂线交抛物线于另一点，如图2，先用待定系数法求出直线的解析式，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值得到直线的解析式，再解方程组得此时点的坐标，过点作的垂线交抛物线于另一点，利用同样的方法可求出此时点的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
即，
，
解得，
抛物线解析式为：；
（2）解：，
顶点的坐标为，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图1，则，
，
，此时的值最小，
而的值不变，
此时的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入解析式得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：存在，
过点作的垂线交抛物线于另一点，如图2，
抛物线与轴交于点，
当时，，
点，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线解析式为：，
把代入得：，
直线解析式为，
解方程组，
解得或，
则此时点坐标为；
过点作的垂线交抛物线于另一点，
则直线的解析式可设为，
把代入得，解得，
直线的解析式为：，
解方程组，
解得或，
则此时点坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
20．已知抛物线经过点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，线段于点D，求点P的坐标；
(3)点E是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或 或-2或
【分析】（1）将点和点代入函数解析式即可解决问题．
（2）过点P作轴于H点，设，可得，根据，推出，列出方程求出t的值，进而求出P点的坐标．
（3）点E是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，分情况画图讨论当时，或当时，，然后根据等腰直角三角形的性质列出方程即可解决问题．
【详解】（1）将点和点代入函数解析式
可得
解得
∴抛物线的解析式
（2）过点P作轴于H点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设
∴
当得
∴
∵，
∴
在中
∵
∴
在中
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（3）点E是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时
第一种情况：当时，
如图，过点M作x轴的垂线于点G
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
设
∴
整理得，或，
解得，或
∵m在对称轴的左侧
∴
∴M的横坐标为-2或
点E是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时
第二种情况：当时，
如图，过点M作x轴的垂线于点G，作对称轴于点H
同理，
∴，
设
∴
整理得，或
解得或
∵m在对称轴的左侧
∴
∴M的横坐标为或
综上所所述：M的横坐标为或或-2或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是理解相关性质定理，利用数形结合思想解题．