中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题47以函数为背景的等腰三角形的存在性问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题47以函数为背景的等腰三角形的存在性问题(原卷版+解析)，共63页。
一、解答题
1．已知抛物线经过，两点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；
(3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线：与x轴交于点A，顶点为点P．
(1)直接写出抛物线的对称轴是______，用含a的代数式表示顶点P的坐标______；
(2)把抛物线绕点旋转180°得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当时，求线段AB的长：
②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标
(3)在坐标轴是否存在一点．使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
5．如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式及对称轴；
(2)设点为直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标？
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由．
6．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值．
7．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段所在直线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标．
(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点为D．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，当最大时，求点M的坐标．
(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值．
11．综合与探究
如图，抛物线经过，，三点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线和直线的函数解析式．
(2)D是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点D的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图①，若点为抛物线上第二象限内的一点，且到轴的距离是2.点为线段上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图②，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(1)求二次函数解析式；
(2)连接，，，试判断的形状，并说明理由；
(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积；
(3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)过点A作交抛物线于点M，求四边形的面积．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
16．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在（2）的条件下，直线上有一动点R，连接，将线段绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
19．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是___________；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点，点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标以及面积的最大值；
(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，的顶点为点G，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
专题47 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题
【题型演练】
一、解答题
1．已知抛物线经过，两点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；
(3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点坐标为；的周长最小值为
(3)存在符合条件的点，且坐标为，，，．
【分析】（1）把、代入抛物线解析式，即可求解；
（2）连结交于，根据抛物线的对称性可得，从而得到，此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把、代入抛物线解析式得：
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）解：当时，，
∴，
连结交于，如图，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
此时的周长最小，
设直线解析式为，
把，代入得：
解得：，
∴直线解析式为．
把代入得：，
则坐标为．
∵，，，
∴，
∴，
则的周长最小值．
（3）解：存在，理由如下：
设，
已知，，
则，，，
①若，则，
即，
解得，．
②若，则，
得，，
解得，．
③若，则，
得，，
解得，，，
当时，，，三点共线，构不成三角形，不合题意，舍去．
综上可知，存在符合条件的点，坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入解析式，待定系数法求解析式，进而令，得出点的坐标；
（2）若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上，如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接，勾股定理得出，即可得出点的坐标，进而根据中点坐标公式得出点的坐标，待定系数法求解析式求得直线的解析式，联立组成方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
令，解得：，
∴；
（2）存在，
∵，
∴，
若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上，
如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接，
则，设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
∵为的中点，
∴，
设直线得到的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
联立
解得：，
∴点的坐标为：或
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，抛物线：与x轴交于点A，顶点为点P．
(1)直接写出抛物线的对称轴是______，用含a的代数式表示顶点P的坐标______；
(2)把抛物线绕点旋转180°得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当时，求线段AB的长：
②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线，
(2)①6；②存在，取或
【分析】（1）根据二次函数的性质，求解即可；
（2）①利用旋转的性质可得，令，确定点的坐标，即可求解；②分三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线：，
∴，，
故答案为：直线，．
（2）解：①由旋转知，，
当时，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴
∵，，
∴，
，
当时，，解得：，（舍去）；
当时，，解得：，（舍去）；
当时，，不成立，
即当取或时，为等腰三角形．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标
(3)在坐标轴是否存在一点．使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)直线，
(3)或或或或或或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把点，，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：∵点，，
∴，
∴，
当时，
若点P在x轴上，点P与点B关于y轴对称，
∴此时点P的坐标为；
若点P在y轴上，或，
∴此时点P的坐标为或；
当时，
若点P在x轴上，或，
∴此时点P的坐标为或；
若点P在y轴上，点P与点B关于x轴对称，
∴此时点P的坐标为；
当时，
若点P在x轴上，连接，如图，
设点P的坐标为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
若点P在y轴上，连接，如图，
设点P的坐标为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上所述， 或或或或或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，还涉及了求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
5．如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式及对称轴；
(2)设点为直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标？
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)坐标为、、、
【分析】（1）待定系数法求解即可得出答案；
（2）点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，求出直线的表达式为，得出，则的周长最小值；
（3）设点，
由点、、的坐标知，，，，分三种情况：①当时，，②当时，， ③当时，，求解再检验即可得出答案．
【详解】（1）解：将、、代入抛物线中，
则，
解得，
故抛物线的解析式是；
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线；
（2）解：点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，理由：的周长为最小，
设直线的表达式为，
则，
解得，
故直线的表达式为，
当时，，
故点，
则的周长最小值；
（3）设点，
由点、、的坐标知，，，，
①当时，，解得：或（舍去），
②当时，，解得：或，
③当时，，解得：，
检验：当时，、、三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点有4个，
坐标为、、、．
【点睛】本题是二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
6．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值．
【答案】(1)
(2)存在，满足条件的K点的坐标为或或或或；
(3)的最大值为1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）可求得抛物线的对称轴为直线，故设，分、、三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可；
（3）先求得的解析式，根据题意可得，则，可得，运用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将、、代入中，
得：，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：存在．
∵二次函数的对称轴为直线，
∴设，
∵， ，
∴，
，
，
当时， ，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：，
综上，满足条件的K点的坐标为或或或或；
（3）解：设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
根据题意，，则，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为1．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、两点坐标距离公式、解一元二次方程、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
7．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段所在直线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，点代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（3）∵抛物线与x轴相交于、两点，
∴抛物线的对称轴为x=，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC==，
AP==，
CP==，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC=AP时，，
解得：t=±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；
②当AC=CP时，，
解得：t=0或t=8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A（-2，0）、C（0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
当x=2时，y=4+4=8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP=CP时，，
解得：t=，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，等腰三角形的定义等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．
8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)存在，，，
【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线解析式中即可求解；
（2）分两种情况：以点C为等腰三角形顶角的顶点，则有点满足条件，过点C作垂直对称轴于，利用等腰三角形的性质即可求得点的坐标；以点D为等腰三角形顶角的顶点，则有点、满足条件，由的长可直接写出坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过，．
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
，
抛物线的对称轴是直线．
．
，
．
在中，由勾股定理，得．
是以为腰的等腰三角形，
．
过点C作垂直对称轴于，
，
．
，，
【点睛】本题是二次函数与特殊三角形的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质等知识，注意分类讨论．
9．如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标．
(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，化成顶点式即可得D点坐标；
（2）设，根据列方程求解即可；
（3）分两种情况：当在的上方和当在的下方时分别求解即可．
【详解】（1）把代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点；
（2）设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
解得，，
∴；
（3）设，
①如图，当交x轴于G时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴的解析式为：，
则，
∴，
解得（舍），，
当时，，
∴；
②如图，当与x轴交于点N时，过B作于P，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，
则，
∴，
∴的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：（舍），
因为点M在抛物线上，所以当时，，
∴，
综上所述，存在点或，使得．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用解析式求交点坐标，方程和分类思想的运用是解题的关键．
10．如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点为D．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，当最大时，求点M的坐标．
(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)当最大时，点M的坐标为；
(3)当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作轴，设，则，求得，当时，有最大值为1，即有最大值，据此求解即可；
（3）求得顶点，根据题意推出点在水平方向和竖直方向都是以1个单位向右或向上平移，求得，再分和、三种情况讨论，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得
，解得，
∴抛物线的解析式为，
把，代入得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过M作轴交于点E，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为1，
此时，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴取得最大值时，也取得最大值时，
∴当最大时，点M的坐标为；
（3）解：∵，
∴顶点，
∵，，
∴，，
∵将抛物线沿射线AC方向以每秒个单位的速度平移，
∴点在水平方向和竖直方向都是以1个单位向右或向上平移，
∴，
∴，，
，
∵为等腰三角形，
∴当时，，解得；
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得；
综上，当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
11．综合与探究
如图，抛物线经过，，三点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线和直线的函数解析式．
(2)D是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点D的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的坐标为：或或或或．
【分析】（1）根据待定系数法，设抛物线解析式为，把代入，再解方程即可，或运用抛物线两点式求解析式；同样用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）如图，过作，当直线与抛物线只有一个交点时，上的高最大，此时最大，求解直线为，由，设直线为，利用，可得：，可得，连接，利用，从而可得答案；
（3）如图，由，可得抛物线的对称轴为直线：，设，而，，表示，，，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴设抛物线解析式为，
将代入，得， 解得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为；
（2）如图，过作，
当直线与抛物线只有一个交点时，上的高最大，此时最大，
∵直线为，
由，设直线为，
∴，
整理得：，
此时，解得：，
∴，解得：，
∴，
即方程组的解为：，则，
连接，
此时
．
（3）存在，理由如下：
如图，由，
∴抛物线的对称轴为直线：，
设，而，，
∴，，，
当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，，
当时，，
∴，
∴或，
综上：的坐标为：或或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，平行线的性质，求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
12．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图①，若点为抛物线上第二象限内的一点，且到轴的距离是2.点为线段上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图②，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)周长的最小值为
(3)存在点，使得为等腰三角形，点坐标为或或
【分析】（1）先根据对称轴确定的值，再将，代入，求函数的解析式即可；
（2）先确定点坐标，作点关于轴的对称点为，连接与轴交于点，则有，所以周长的最小值为；
（3）先求出旋转后点旋转后的点，，再用待定系数法求旋转后的抛物线解析式，设，分别求出，，，再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解： 对称轴为直线，
，
，
将，代入，
，
解得，
；
（2）解：点到轴的距离是2，
点横坐标为，
，
令，则，
解得或，
，，
点关于轴的对称点为，
连接与轴交于点，
，
，
，，
周长的最小值为；
（3）解：存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
，，
点旋转后的点，，
设旋转后的抛物线解析式为，
，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
此时不存在；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象旋转的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(1)求二次函数解析式；
(2)连接，，，试判断的形状，并说明理由；
(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为直角三角形，见解析
(3)最大值为，点
(4)存在，或或
【分析】（1）设二次函数表达式为：，，将代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点，以及顶点坐标，气得，根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）过点作轴交于点，得出直线的表达式为：，设点，则点，根据二次函数的性质求得最值即可求解；
（4）分三种情况讨论①当时，②当时，③当时，分类求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
则，解得：，
函数的表达式为：；
（2）由（1）知，点，
∴，，，
，
故为直角三角形；
（3）过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
当时，最大值为，此时点；
（4），
，
①当时，如下图，
为等腰直角三角形，，
点；
②当时，
设
∴
解得：（舍去）或
∴点；
③当时，
同理可得：点；
故点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，面积问题，特殊三角形问题，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
14．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积；
(3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）根据点，，可得，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出直线AC的解析式，可得，从而得到，进而得到，即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题．
【详解】（1）∵点，，
∴，
将，代入，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴
∵四边形的面积，
∴四边形的面积最大，即是的面积最大；
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大为，
∴；
∴四边形的最大面积
（3）∵轴，
∴，
① 当点E为顶点时
，
则，
∴轴
，
∴；
②当点C为顶点时，
，
则，
则代入解析式得，
；
③当点D为顶点时，，，
解得
综上：或或；
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰三角形的判定与性质，是重要考点，解题的关键是掌握综合知识，进行求解．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)过点A作交抛物线于点M，求四边形的面积．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)16
(3)或或或或
【分析】（1）将B，C坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）求出直线表达式，可设设直线的表达式为，求出M的坐标，再利用即可计算结果；
（3）求出抛物线对称轴，设点P坐标为，求出的长，再分，，三种情况分别求解．
【详解】（1）解：将和代入中，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）在中，令y=0，
则，
解得：或，
∴，
∵，，
∴设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
∵，
∴设直线的表达式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∴，解得：或，
∴点M的坐标为，
∴
；
（3）∵点P在抛物线的对称轴：直线上，
∴设点P坐标为，
∵，
当时，
，
解得：，
∴点P坐标为或；
当时，
，
解得：，
∴点P坐标为或；
当时，
，
解得：，
∴点P坐标为；
综上：抛物线的对称轴上存在点P，使得为等腰三角形，点P的坐标为或或或或．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定以及不规则图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解，涉及到等腰三角形的问题要注意分类讨论．
16．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点P坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式
（2）过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，求得直线的解析式为，求得，可得到，然后根据二次函数的性质即可求得点P的坐标
（3）要使得为等腰直角三角形，只需要，然后分两种情况分别求得点P的坐标即可
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
设直线的解析式为，
由（1）知，
∴，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
，
∴当时，的面积最大，
∴
（3）存在点P使为等腰直角三角形，理由如下：
∵轴，
∴，
要使得为等腰直角三角形，
只需要：
由（2）可知：，，，
∴设，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
当点P位于对称轴右侧时，即，
∴
∵，
∴，
解得：（舍）或，
∴，
当点P在对称轴左侧时，即，
∴
∵，
∴，
整理得：，
解得：（舍）或，
∴，
∴为等腰直角三角形时，点P坐标为：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键
17．抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在（2）的条件下，直线上有一动点R，连接，将线段绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标．
【答案】(1)
(2)时，PQ有最大值，最大值为
(3)或
(4)或
【分析】（1）将，代入即可 求解；
（2）先求直线的解析式为，根据M点的坐标为，表示出，，再表示出线段，即可求解；
（3）分情况讨论，，时，点Q的坐标；
（4）过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，证明，设，可求出，将T点代入抛物线即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得：
解得：
∴抛物线的表达式：
（2）解：令，则，
∴
设直线的解析式为：
解得
∴，
∵M点的坐标为，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为
（3）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由：
设，
∴，，
当时，
解得(舍)或，
∴；
当时，
解得或（舍），
当时，
解得（舍）；
综上所述：Q点坐标为或
（4）解：如图1，过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵T点在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或.
【点睛】本题是二次函数的综合题目，主要考查待定系数法求二次函数的关系式，线段最值问题，等腰三角形的存在性问题，旋转问题，全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是根据二次函数的性质进行求解相应的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)符合条件点的横坐标分别为、、、．
【分析】（1）用待定系数法把，代入可得．
（2）设直线的解析式为，把，代入可得，求出直线的解析式为，求出，当时，最大值为．
（3）求出左平移4个单位，再向上移3个单位的函数表达式，把，，表示出来，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：把，代入可得，
，
解得，，
∴，
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
，，
∴直线的解析式为，
设，则
，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
把P点的横坐标代入可得，
，
∴，
∴
当时，最大值为．此时，
（3）把变成顶点式为，
∵左平移4个单位，再向上移3个单位，
∴即，
∴，
设过的直线解析式为，
把，代入得，解得，，
∴的直线解析式，
设，M和N的横坐标相同，把M的横坐标代入，
∴，
∴，
，
I、当时，，
解得：，（舍去），，
∴，
II、当时，
整理得：，
∵，
当时，．
当时，．，此时M、N重合，不合题意，舍去，
III、当时，
整理得：
解得，
当时，，
综上所述：符合条件的点M有四个，其横坐标分别为、、、．
【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，解题关键是熟悉二次函数的基本性质、待定系数法、线段表示方法．
19．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是___________；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，得，即，由直线与轴交于点，与轴交于点，得，，因为抛物线经过点，，于是可列方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式为；
（2）设直线交于点，连接、，则，可根据直线垂直平分及两点之间线段最短证明当点与点重合时，的值最小，则点的坐标是；
（3）先求得，则，设点的坐标为，分五种情况讨论，①直线与轴交于点，则，此时是等腰三角形，；②是延长交直线于点，此时，但、、三点在同一条直线上，所以不存在以、、三点为顶点的等腰三角形；③是，且点在轴的上方，由，列方程得，可求得；④是，且且点在轴的下方，设直线与轴交于点，则，所以；⑤是，则，列方程得，可求得．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
∴，，
∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，设直线交于点，连接、，
∵直线，当时，，
∴，
∵直线垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴当点与点重合时，，
此时的值最小，
∴，
∴当的值最小时，点的坐标是，
故答案为：
（3）存在
设点的横坐标为，则，
解得：，
∴，
∴，
设点的坐标为，
如图2，直线与轴交于点，则，
∴点与点关于轴对称，
∴，
∴是等腰三角形，；
延长交直线于点，
∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵、、三点在同一条直线上，
∴不存在以、、三点为顶点的等腰三角形；
如图3，，且点在轴的上方，
∵，
∴，
解得：，，
∴；
如图3，，且且点在轴的下方，设直线与轴交于点，
∵，
∴，
∴；
如图3，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：点的坐标为或或或
【点睛】此题重点考查一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点，点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标以及面积的最大值；
(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，的顶点为点G，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，面积的最大值为
(3)或或或
【分析】（1）将点A代入二次函数解析式，求出b值，再将点E代入二次函数解析式，求出m值，再利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点P作轴交于点Q，设点P的横坐标为t，可表示点P和点Q的坐标，可表示出的面积，根据二次函数最值问题可求解；
（3）求出点D坐标，得到点N坐标，结合点A的坐标，求出平移方式，得到平移后的解析式，将点N代入，求出平移后的解析式，从而确定点G坐标和对称轴，再分，，，三种情况，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵经过，
∴，
解得：，即，
∴点
∵抛物线经过点，
∴，即，
设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）过点P作轴交于点Q，
设点P的横坐标为t，则，，
∴，
∴
，
∴当点P坐标为时，面积的最大值为；
（3）由抛物线解析式
∴顶点坐标为，与x轴交于点D点坐标为，
∴，又，
∴，
∴射线与x轴夹角为，
设抛物线向左平移n个单位，则向上平移了n个单位，
∴平移后的解析式为，
∵经过点N，
∴将点N代入，得，
解得：（舍）或，
∴的解析式为，顶点为，
∵点H在对称轴上，
∴当时，，
∴；
当时，若点H在点G下方，
∵，
∴点H的坐标为；
同理若点H在点G上方，点H的坐标为；
当时，，
设点H的坐标为，
则，
解得：，
∴点H的坐标为；
综上，存在点H，使得是等腰三角形，点H的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，等腰三角形的存在性等；求出的面积的函数解析式是解答（2）的关键；根据等腰三角形进行分类讨论是解答问题（3）的关键．