初中数学人教版九上抛物线中的压轴题(含答案)

拔高专题  抛物线中的压轴题

一、基本模型构建

二、拔高精讲精练

探究点一：因动点产生的平行四边形的问题

例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
解得，所以此函数解析式为：y=x2+x−4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，m2+m−4），

∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×4×（-m2-m+4）+×4×（-m）-×4×4=-m2-2m+8-2m-8

=-m2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S有最大值S=4．

（3）设P（x，x2+x-4）．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，

解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．

由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2 ，2+2 ）或（4，-4）．

【变式训练】（贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
（1）a ＞ 0，b2-4ac ＞  0（填“＞”或“＜”）；

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），

∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=，b=-，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；

（3）存在，理由为：

（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，

过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，

∵抛物线y=x2-x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，

又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；

（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是

平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，

∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，

又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，

∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=x2-x-4，
解得：x1=2+2，x2=2-2，
∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2-2，4）。

【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：

（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。

探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题

例2: （铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，，解得：b=-4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3

，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC-OC=3-3
∴P1（0，3+3），P2（0，3-3）；

②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，

∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3-3）或（0，-3）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，

即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。

【变式训练】（黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，

二次函数y1的解析式为y=-x2+x+3，B点坐标为（0，3）；

（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；

（3）直线AB的解析式为y=-x+3，AB的中点为（2，），

AB的垂直平分线为y=x-，当x=0时，y=-，P1（0，-），

当y=0时，x=，P2（，0），

综上所述：P1（0，-），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。

【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.