2024-2025学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b∈R，复数a+bi=2i1+i，则a+b=( )
A. −2B. 1C. 0D. 2
2.已知在▵ABC中，AB=35，BC=1，AC=75，则csB=( )
A. 12B. −12C. 1314D. 1114
3.如图，已知等腰直角三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是( )
A. 2 2B. 1C. 2D. 22
4.已知点A(1,3),B(4,−1),则与AB同方向的单位向量为( )
A. 35,−45B. 45,−35C. −35,45D. −45,35
5.下列说法错误的是( )
A. 棱台侧棱的延长线必相交于一点B. 正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C. 棱柱的侧面都是平行四边形D. 矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
6.若tanα,tanβ是方程3x2+5x−7=0的两个根，则cs(α−β)sin(α+β)=( )
A. 54B. 45C. −54D. −45
7.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在B､C处测得雕像最高点的仰角分别为π4和π6，且A=π2，BC=2.92m，则该雕像的高度AD约为( )(参考数据： 3≈1.73)

A. 4.0m B. 4.6m C. 5.2m D. 6.2m
8.如图，正方形ABCD的边长为2,M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足BE=1，则DM⋅DN的最小值为( )
A. 8−4 2B. 4C. 16−8 2D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部是iB. z的共轭复数是1−i
C. zz=iD. z⋅z=z2
10.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，则下列说法正确的是( )
A. 若b=2,B=30∘，则▵ABC的外接圆的面积是4π
B. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
C. 若a=7,A=60∘，则b+c可能等于10
D. 若AB= 3,AC=1,B=30∘，则▵ABC的面积为 34或 32
11.设函数f(x)=sin5xsinx⋅csx，则( )
A. f(x)的图象有对称轴B. f(x)是周期函数
C. f(x)在区间0,π2上单调递增D. f(x)的图象关于点π2,0中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=a2−3a−4+(a+1)ia∈R是纯虚数，则a= ．
13.定义向量a,b的一种新运算：a×b=absinθ，其中θ是向量a,b的夹角.已知a= 3,b=2,a×b=3 22，则cs2θ= ．
14.在▵ABC中，已知BA⋅BC=13CA⋅CB+23AC⋅AB，则tanB的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b= 6，B=π3．
(1)若a=2，求sinA的值；
(2)▵ABC的面积等于 3，求a的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2),b=(−3,k)．
(1)若a→/\!/b→，求b的值；
(2)若a⊥a+2b，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且csC2a+c=12b．
(1)求B；
(2)若a=2,c=5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求▵ABD的面积．
18.(本小题17分)
已知向量a=2 3,sinωx，b=cs2ωx,2csωx，函数f(x)=a⋅b− 3(ω>0)，f(x)相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)单调递增区间和对称轴方程；
(3)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移π12个单位得g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在−π12,π6上只有一个解，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=π2，若E是AB上一点，BC=CE，记∠ABC=α，∠ACE=β．
(1)证明：cs2α+sinβ=0；
(2)若AC= 3AE，CD=3，AD=1．
(i)求β的值；
(ii)求BD的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.D
6.B
7.A
8.A
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.4
13.14
14. 142或12 14
15.解：(1)在▵ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=2× 32 6= 22，
所以sinA的值是 22．
(2)由▵ABC的面积等于 3，得S▵ABC=12acsinB= 34ac= 3，解得ac=4，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得a2+c2−ac=6，即a2+c2=10，
解得a=2 2,c= 2或a= 2,c=2 2，
所以a= 2或a=2 2．

16.解：(1)因为向量a=(1,2),b=(−3,k)，且a→/\!/b→，
所以1×k−2×(−3)=0，解得k=−6，
所以b= (−3)2+(−6)2=3 5．
(2)因为a+2b=(−5,2+2k)，且a⊥a+2b，
所以1×(−5)+2×(2+2k)=0，解得k=14．
(3)因为b与a的夹角是钝角，
则a⋅b